2.2 一元二次方程的解法（4）公式法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·诸暨期末）已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
2．（2025八下·慈溪期末）若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
3．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（ ）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
4．（2024八下·义乌期中）若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
5．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则 的值为( )
A．0 或 4 B．4 或 8 C．0 D．4
7．一元二次方程 中， 判别式 的值为( )
A．5 B．13 C．-13 D．-5
8．（2024八下·西湖月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二、填空题（每空3分，共18分）
9．（2024八下·慈溪期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是 ．
10．（2025八下·杭州月考）关于x 的一元二次方程（k-1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
11．（2025八下·义乌月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是 ．
12．（2025八下·苍南期末）若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 （写出一个即可）.
13．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
14．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题（共4题，共38分）
15．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
16．（2024八下·慈溪期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
17．设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．
18．（2024八下·鄞州期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2-6x+9=0，
∴a=1，b=-6，c=9，
∴判别式，
∴当时，方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】根据判别式与根的关系（即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根），通过计算判断的值即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2=4c，
，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
故答案为：D.
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝0，则可判断方程有两个相等的实数根，从而确定关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0
∴
当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误
当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确
当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误
故答案为：C
【分析】根据二次根式的判别式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，判别式，结合一元二次方程的定义即可得解.
5．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根，
∴(-2k)2-4k×4=0且k≠0
解得k=4.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意建立不等式组，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：移项，得，
b2-4ac=9-4×1×（-1）=13
故答案为：B.
【分析】先整理为一般形式，再确定a、b、c的值，代入判别式计算即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
9．【答案】15
【知识点】公式法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解一元二次方程 得：
，
设，，
∴
．
故答案为：15．
【分析】先利用公式法求出m和n的值，再代入求值即可.
10．【答案】k>-3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由已知条件可知
∴，b，a，c分别为一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项，
∴ =（-4）2－4（k-1）×（-1）>0
整理得
k>-3
故答案为：k>-3.
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式确定K的值.
11．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
整理得，，
解得．
∴的最大整数值是0．
故答案为：0．
【分析】一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由此即可列出关于k的不等式，求解不等式即可确定出k的最大整数值.
12．【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
15．【答案】（1）解：对方程 ，
a=1，b=4，c=-1，
=，
∴x=，
∴，
（2）解：，
，
，
即9x2=1，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接利用公式法求一元二次方程的解即可；
（2）先将一元二次方程进行变形，再将3x+1看作一个整体利用完全平方公式进行求解即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
16．【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
整理得，且，
解得：且；
（2）解：∵且；
∴满足条件的最小正整数值是，
此时方程为，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，且，代入a，b，c的值即可求出的取值范围；
（2）根据（1）的结论得到的最小正整数值，再代入方程利用公式法求解即可．
17．【答案】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b -4ac>0，即b >4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为
选③解方程，则这个方程为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，选出②③组，然后直接利用公式法解一元二次方程即可.
18．【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，再跟m的取值范围得到4m+13的取值范围，再根据“快乐方程”为完全平方数，得到或36，最后根据m为整数，确定m的值，再代入方程，求其“快乐数”即可；
（3）由关于x的一元二次方程是“快乐方程”，计算，并令，分解因式即可求出整数m的值，再求出方程的“快乐数”，最后根据“开心数”的定义即可求出n的值．
1 / 12.2 一元二次方程的解法（4）公式法—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·诸暨期末）已知方程x2-6x+9=0，那么这个方程（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ x2-6x+9=0，
∴a=1，b=-6，c=9，
∴判别式，
∴当时，方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】根据判别式与根的关系（即当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根），通过计算判断的值即可得出答案.
2．（2025八下·慈溪期末）若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b2=4c，
，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
故答案为：D.
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝0，则可判断方程有两个相等的实数根，从而确定关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
3．（2025八下·杭州月考）关于x的一元二次方程x2+x-2=m，下列说法正确的是（ ）
A．当m=0时，此方程有两个相等的实数根
B．当m<0时，此方程没有实数根
C．当m>0时，此方程有两个不相等的实数根
D．此方程的根的情况与m的值无关
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：x2+x-2=m，即x2+x-2-m=0
∴
当9+4m=0，即时，方程有两个相等的实数根，A错误
当9+4m>0，即时，方程有两个不相等的实数根，C正确
当9+4m<0，即时， 方程没有实数根，D错误
故答案为：C
【分析】根据二次根式的判别式即可求出答案.
4．（2024八下·义乌期中）若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，判别式，结合一元二次方程的定义即可得解.
5．（2025八下·杭州期中） 在用求根公式 求一元二次方程的根时，小南正确地代入了a，b，c 得到 ，则他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意
故答案为：A.
【分析】得出a，b，c的值即可解题.
6．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则 的值为( )
A．0 或 4 B．4 或 8 C．0 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根，
∴(-2k)2-4k×4=0且k≠0
解得k=4.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意建立不等式组，求解即可.
7．一元二次方程 中， 判别式 的值为( )
A．5 B．13 C．-13 D．-5
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：移项，得，
b2-4ac=9-4×1×（-1）=13
故答案为：B.
【分析】先整理为一般形式，再确定a、b、c的值，代入判别式计算即可。
8．（2024八下·西湖月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①若，则方程有一个根为，
∴；故①正确；
②若方程有两个不相等的实根，则：，
∴方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
③若是方程的一个根，则，
当时，有，当c=0时不成立，故③错误；
④若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式和方程的解进行判断，①中由， 可得方程有根x=1，于是可得判别式≥0，可判断结论；②根据题意得，结合题意可判断结论；③根据c为一根，可得，分c=0和c≠0两种情况进行讨论，即可判断结论；④根据题意得，变形即可判断结论．
二、填空题（每空3分，共18分）
9．（2024八下·慈溪期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是 ．
【答案】15
【知识点】公式法解一元二次方程；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解一元二次方程 得：
，
设，，
∴
．
故答案为：15．
【分析】先利用公式法求出m和n的值，再代入求值即可.
10．（2025八下·杭州月考）关于x 的一元二次方程（k-1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k>-3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由已知条件可知
∴，b，a，c分别为一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项，
∴ =（-4）2－4（k-1）×（-1）>0
整理得
k>-3
故答案为：k>-3.
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式确定K的值.
11．（2025八下·义乌月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
整理得，，
解得．
∴的最大整数值是0．
故答案为：0．
【分析】一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由此即可列出关于k的不等式，求解不等式即可确定出k的最大整数值.
12．（2025八下·苍南期末）若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 （写出一个即可）.
【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
13．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先由新运算的定义化方程为关于x的一元二次方程，再依据一元二次方程根的判别式列关于m的一元一次方程并求解即可，另注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．
14．（2025八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
三、解答题（共4题，共38分）
15．（2025八下·杭州期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：对方程 ，
a=1，b=4，c=-1，
=，
∴x=，
∴，
（2）解：，
，
，
即9x2=1，
∴，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）直接利用公式法求一元二次方程的解即可；
（2）先将一元二次方程进行变形，再将3x+1看作一个整体利用完全平方公式进行求解即可．
（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
16．（2024八下·慈溪期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
整理得，且，
解得：且；
（2）解：∵且；
∴满足条件的最小正整数值是，
此时方程为，
解得：，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，且，代入a，b，c的值即可求出的取值范围；
（2）根据（1）的结论得到的最小正整数值，再代入方程利用公式法求解即可．
17．设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
①b=2，c= 1；②b=3，c= 1；③b=3，c=-1；④b=2，c=2．
【答案】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b -4ac>0，即b >4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为
选③解方程，则这个方程为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，选出②③组，然后直接利用公式法解一元二次方程即可.
18．（2024八下·鄞州期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13是完全平方数，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为可化为：，
∴，
故其“快乐数”数是；
（3）解：∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设，a为整数，
则，
∴或或或或或或或
解得或或（舍）或(舍)，
∴方程为：或；
∵为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：，
综上，n的值为0或3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）由定义可得：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【分析】（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，再跟m的取值范围得到4m+13的取值范围，再根据“快乐方程”为完全平方数，得到或36，最后根据m为整数，确定m的值，再代入方程，求其“快乐数”即可；
（3）由关于x的一元二次方程是“快乐方程”，计算，并令，分解因式即可求出整数m的值，再求出方程的“快乐数”，最后根据“开心数”的定义即可求出n的值．
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