一元二次方程含参问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·温州期中） 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 a 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出方程解此方程即可求解.
2．（2025八下·鄞州期中） 若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程改写为：
∵关于x的一元二次方程有一根为2025，
∴
∴
∴
∴
解得：，
故答案为：A.
【分析】将关于x的一元二次方程改写为：由第一个方程得到：进而可得到：解此方程即可求解.
3．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
4．已知关于 的一元二次方程 有实数根， 则 的取值范围是 ( )
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
一元二次方程 有实数根，
则m-1≠0，
解得， 且
故答案为：D.
【分析】方程是一元二次方程，则二次项系数不为0，方程有实数根，则根的判别式大于等于0，列不等式可求出m的范围。
5．（2025八下·宁海期中）若关于x的方程x2-x=k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-x=k有两个不相等的实数根，
∴
即
解得：
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到不等式解此不等式即可求解.
6．（2025八下·鄞州期中） 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．，且
C． D．
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴
即
解得：
故答案为：A.
【分析】根据题意结合一元二次方程根的判别式得到：即解此不等式即可求解.
7．（2025八下·临平月考）若关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a-b＞0 B．a-b＜0 C．ab＜0 D．ab＞0
【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴x+1=，
∴ab＞0.
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，通过开平方求得根，再得到ab的符号.
8．已知关于x的一元二次方程（ 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>-2 B．k≥-2
C．k≥-2且 k≠2 D．k>-2且 k≠2
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意，得b2-4ac=(-2k)2-4(k-2)(k+1)≥0且k-2≠0，
解得k≥-2且k≠2.
故选C.
【分析】根据根的判别式大于或等于零且二次项系数不等于零列式求解即可.
二、填空题
9．（2025八下·柯桥期中）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 ．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程得，
解得，
，
方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，
等腰△ABC的三条边长为2，4，4，
△ABC的周长=2+4+4=10.
故答案为：10.
【分析】把x=2代入方程解得m的值，再通过韦达定理求得方程的另一个根，进而得到等腰△ABC的三条边长为2，4，4，即可计算出△ABC的周长.
10．（2025八下·杭州期中） 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
即
解得：
∵原方程为一元二次方程，则
∴ｋ的取值范围为：且
故答案为：且．
【分析】根据题意得到进而列出不等式解此不等式并结合一元二次方程定义即可求出ｋ的取值范围．
11．（2025八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程，有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等实数解，
且
即 且
解关于y的分式方程 可得 且
且 y为整数，
∴足条件的所有整数m的和为：
故答案为：
【分析】先根据一元二次方程 有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程 得到 且 最后结合整数解可得答案.
12．（2024八下·苍南期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 .
【答案】10
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
则4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个实数根，则有，列方程，即可解出m的值.
13．（2025八下·温州期中）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，k为整数，则k的一个值可以为 .
【答案】答案不唯一，比如-1，-2，-3等
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由已知条件“ 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根 ”，得一元二次方程根的判别式.其中，二次项系数a=k，一次项系数b=2，常数项c=1，代入，得，化简可得k的取值范围.由于k为一元二次方程的二次项系数，且“k为整数”，因此，且，答案不唯一，比如-1，-2，-3等.
故答案为：答案不唯一，比如-1，-2，-3等.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系，当一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根时，，同时还需满足
14．已知关于x的一元二次方程（ 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
【答案】m<2且m≠1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得b2-4ac=4-4(m-1)=8-4m>0，且m-1≠0，
解得m<2且m≠1.
故答案为m<2且m≠1
故答案为：m<2且m≠1.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.
三、解答题
15．（2025八下·新昌期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是﹣3，求k的值．
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：把代入方程，得
解得
（2）解：由题意，得
∴
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解参数k；
（2）一元二次方程根的判别式与根的情况“一元二次方程有两个不相等的实数根则判别式大于0”，解不等式即可.
16．（2025八下·宁波月考）已知关于的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数．
【答案】解：原方程可化为，
当时，代入得：，
，
，
是正整数，
且为整数，
，
，
，
，
且为整数，
，，，，，，
依次代入，得：，，，，，
满足条件的正整数的值有个，分别为：，，或．
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】由完全平方公式可将原方程化为：（x+2）2a=2x+12，根据方程至少有一个整数根可得x≠-2，于是可将a用含x的代数式表示出来，根据a为正整数可得不等式，由偶次方的非负性解不等式可求得x的取值范围，再根据x是正整数即可求解.
17．（2024八下·杭州期末）已知有关于x的一元二次方程．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算一元二次方程的判别式即可判断方程根的情况；
（2）把代入原方程求解k，再回代到原方程中，即可解出另一个解；
（3）先解出含参数的一元二次方程的两个根，再分两种情况讨论即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
18．（2024·瑞安竞赛）已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.
【答案】解：设一元二次方程的两个整数解分别为
由根与系数的关系知：
都是整数
能被72整除
或或或
、、、、、、
同时能被整除
和和都应舍去
综上所述，的值等于或或.
答：的值等于或或.
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】设出方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得出两根的和与两根的积分别为，由于已知都是整数，则先由能被72整除确定出满足条件的的值，再求出整数；由于同时能被整除，可排除不符合条件的的值，剩余部分即所有满足条件的的值.
1 / 1一元二次方程含参问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·温州期中） 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 a 的值为（ ）
A．16 B．4 C．-4 D．-16
2．（2025八下·鄞州期中） 若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（ ）
A．2022 B．2024 C．2025 D．2028
3．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于 的一元二次方程 有实数根， 则 的取值范围是 ( )
A． B．
C． 且 D． 且
5．（2025八下·宁海期中）若关于x的方程x2-x=k有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
6．（2025八下·鄞州期中） 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．，且
C． D．
7．（2025八下·临平月考）若关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A．a-b＞0 B．a-b＜0 C．ab＜0 D．ab＞0
8．已知关于x的一元二次方程（ 有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>-2 B．k≥-2
C．k≥-2且 k≠2 D．k>-2且 k≠2
二、填空题
9．（2025八下·柯桥期中）已知x＝2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 ．
10．（2025八下·杭州期中） 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
11．（2025八下·义乌月考）若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程，有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ．
12．（2024八下·苍南期中）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 .
13．（2025八下·温州期中）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，k为整数，则k的一个值可以为 .
14．已知关于x的一元二次方程（ 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 .
三、解答题
15．（2025八下·新昌期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有一个根是﹣3，求k的值．
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
16．（2025八下·宁波月考）已知关于的二次方程至少有一个整数根，试求出所有满足条件的正整数．
17．（2024八下·杭州期末）已知有关于x的一元二次方程．
（1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；
（2）若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根；
（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值．
18．（2024·瑞安竞赛）已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出方程解此方程即可求解.
2．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程改写为：
∵关于x的一元二次方程有一根为2025，
∴
∴
∴
∴
解得：，
故答案为：A.
【分析】将关于x的一元二次方程改写为：由第一个方程得到：进而可得到：解此方程即可求解.
3．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：
一元二次方程 有实数根，
则m-1≠0，
解得， 且
故答案为：D.
【分析】方程是一元二次方程，则二次项系数不为0，方程有实数根，则根的判别式大于等于0，列不等式可求出m的范围。
5．【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-x=k有两个不相等的实数根，
∴
即
解得：
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到不等式解此不等式即可求解.
6．【答案】A
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴
即
解得：
故答案为：A.
【分析】根据题意结合一元二次方程根的判别式得到：即解此不等式即可求解.
7．【答案】D
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程a（x+1）2-b=0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴x+1=，
∴ab＞0.
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，通过开平方求得根，再得到ab的符号.
8．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意，得b2-4ac=(-2k)2-4(k-2)(k+1)≥0且k-2≠0，
解得k≥-2且k≠2.
故选C.
【分析】根据根的判别式大于或等于零且二次项系数不等于零列式求解即可.
9．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入方程得，
解得，
，
方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，
等腰△ABC的三条边长为2，4，4，
△ABC的周长=2+4+4=10.
故答案为：10.
【分析】把x=2代入方程解得m的值，再通过韦达定理求得方程的另一个根，进而得到等腰△ABC的三条边长为2，4，4，即可计算出△ABC的周长.
10．【答案】且
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
即
解得：
∵原方程为一元二次方程，则
∴ｋ的取值范围为：且
故答案为：且．
【分析】根据题意得到进而列出不等式解此不等式并结合一元二次方程定义即可求出ｋ的取值范围．
11．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等实数解，
且
即 且
解关于y的分式方程 可得 且
且 y为整数，
∴足条件的所有整数m的和为：
故答案为：
【分析】先根据一元二次方程 有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程 得到 且 最后结合整数解可得答案.
12．【答案】10
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 方程有两个相等的实数根，a=1，b=6，c=m-1，
∴，
则4（m-1）=36，
m-1=9，
解得：m=10；
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个实数根，则有，列方程，即可解出m的值.
13．【答案】答案不唯一，比如-1，-2，-3等
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由已知条件“ 关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根 ”，得一元二次方程根的判别式.其中，二次项系数a=k，一次项系数b=2，常数项c=1，代入，得，化简可得k的取值范围.由于k为一元二次方程的二次项系数，且“k为整数”，因此，且，答案不唯一，比如-1，-2，-3等.
故答案为：答案不唯一，比如-1，-2，-3等.
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系，当一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根时，，同时还需满足
14．【答案】m<2且m≠1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意，得b2-4ac=4-4(m-1)=8-4m>0，且m-1≠0，
解得m<2且m≠1.
故答案为m<2且m≠1
故答案为：m<2且m≠1.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.
15．【答案】（1）解：把代入方程，得
解得
（2）解：由题意，得
∴
【知识点】已知一元二次方程的根求参数；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解参数k；
（2）一元二次方程根的判别式与根的情况“一元二次方程有两个不相等的实数根则判别式大于0”，解不等式即可.
16．【答案】解：原方程可化为，
当时，代入得：，
，
，
是正整数，
且为整数，
，
，
，
，
且为整数，
，，，，，，
依次代入，得：，，，，，
满足条件的正整数的值有个，分别为：，，或．
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】由完全平方公式可将原方程化为：（x+2）2a=2x+12，根据方程至少有一个整数根可得x≠-2，于是可将a用含x的代数式表示出来，根据a为正整数可得不等式，由偶次方的非负性解不等式可求得x的取值范围，再根据x是正整数即可求解.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程，∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算一元二次方程的判别式即可判断方程根的情况；
（2）把代入原方程求解k，再回代到原方程中，即可解出另一个解；
（3）先解出含参数的一元二次方程的两个根，再分两种情况讨论即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴；
而
，
∴原方程方程有两个实数根．
（2）∵方程有一个根为，
∴，
解得：，
∴方程为：，
∴，
∴，
解得：，，
∴方程的另一个解为1．
（3）∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∵方程的一个根是另一个根3倍，
当时，解得：，经检验符合题意；
当时，解得：，经检验符合题意；
综上：或．
18．【答案】解：设一元二次方程的两个整数解分别为
由根与系数的关系知：
都是整数
能被72整除
或或或
、、、、、、
同时能被整除
和和都应舍去
综上所述，的值等于或或.
答：的值等于或或.
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】设出方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得出两根的和与两根的积分别为，由于已知都是整数，则先由能被72整除确定出满足条件的的值，再求出整数；由于同时能被整除，可排除不符合条件的的值，剩余部分即所有满足条件的的值.
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