一元二次方程同解问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
4．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的两根分别是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·高州月考）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2025八下·温州期中） 若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
7．（2025九上·东坡期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024九上·凉州月考）已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
二、填空题
9．（2024九上·温州开学考） 若关于的一元二次方程的解为，，则关于的一元二次方程的解为 ．
10．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
11．（2023九上·邗江期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为 ．
12．（2024八下·拱墅期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝ ．
13．（2025·怀化模拟）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．
如与是“同类方程”．
（1）若与是“同类方程”，则 ．
（2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
14．（2025八下·慈溪期中） 对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：，若，则实数x的值为 .
三、解答题
15．（2023八下·烟台经济技术开发期末）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
16．（2025九上·岳阳楼期中） 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．化简，得
故所求方程为．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求一元二次方程的两根．
17．（2025九上·成都开学考）阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
（2）已知实数、满足，求的值．
（3）解方程．
18．（2024九上·梁山期中）阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解这个方程得：，．
当时，，；
当时，，，
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，则原方程可转化为______；
（2）若，求______；
（3）参照上面解题的思想方法解方程：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：设关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的另一个根为t，
根据根与系数的关系得t＋m＝ ＝ 2，
解得：t＝ m 2，
即关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的根为m， m 2，
把方程a（x 1）2＋2a（x 1）＋c＝0看作关于（x 1）的一元二次方程，
∴x 1＝m或x 1＝ m 2，
解得：x1＝m＋1，x2＝ m 1．
故答案为：A．
【分析】设关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的另一个根为t，根据根与系数的关系得t＋m＝ ＝ 2，所以t＝ m 2，再把方程a（x 1）2＋2a（x 1）＋c＝0看作关于（x 1）的一元二次方程，则x 1＝m或x 1＝ m 2，然后解两个一次方程即可．
5．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：设，则新方程化为，
∵方程的解为，，
∴或，
解得或，
∴新方程的解为，．
故答案为：B．
【分析】本题通过设进行整体代换，将新方程转化为与原方程形式相同的方程。由原方程的解可知，，代回得到或，从而求出新方程的解。
6．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：【方法一】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.由题意可得关于x的一元二次方程的解为，将x的值代入方程，得，解得.将解得的b、c代入关于y的一元二次方程，得，化简为一般形式，解得.
【方法二】观察关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，可以发现，若将关于x的一元二次方程中的x用（y-1）替换，则能得到已知条件中关于y的一元二次方程.因此，由已知条件，可以推出，即.
故答案为：D.
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，如方法一，已知一元二次方程的解可以求出一次项系数b和常数项c，再将其代入关于y的一元二次方程中，便可求出方程的解；也可以采用观察的方法，如方法二，发现已知条件中两个方程具有相同的特征，因此利用换元的思想，用（y-1）替换x，方程依然成立，随后根据求出。
7．【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题知，
将一元二次方程中的“”用“”替换，
可得方程，
∵一元二次方程的两根分别为，1，
∴或1，
解得或2，
即方程的两根分别为，．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题．
8．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，是方程的解，
∴令，，满足方程，即．
∴，，
∴方程的解是，，
故答案为：B.
【分析】令，，满足方程，即，再结合，是方程的解，可得，，再求解即可.
9．【答案】y1=0，y2=1
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴ 中
令y+1=x
∴y1=0，y2=1
∴的解为y1=0，y2=1
故答案为：y1=0，y2=1.
【分析】根据一元二次方程的结构，令（y+1）作为一个整体即可得结果.
10．【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程，其中一根为，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，2023是一元二次方程的根，可得 方程 的根满足，求解即可．
12．【答案】-1
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：根据方程（x 3）（x b）＝0得：x1＝3，x2＝b.
∵方程（x 1）2＝a的两个根与方程（x 3）（x b）＝0的两个根相同，
∴将x＝3代入（x 1）2＝a得：a＝4，
解方程（x 1）2＝4得：x3＝3，x4＝ 1，
∴b＝ 1．
故答案为： 1．
【分析】先求出方程（x 3）（x b）＝0的解，再将x=3代入方程（x 1）2＝a求出a的值，最后求出b的值即可.
13．【答案】；2026
【知识点】解二元一次方程组；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵与是“同类方程”，
∴与是“同类方程”，
∴，解得：，
故答案为：；
（2）∵与是“同类方程”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
∴当时，取得最大值为2026．
故答案为：2026．
【分析】（1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值；
（2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．
14．【答案】3
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：当x≥-2时，x2+x-2=10，
解得：x1=3，x2=-4(不合题意，舍去)；
当x<-2时，(-2)2+x-2=10，
解得：x=8(不合题意，舍去)；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】根据定义，分x≥-2和x<-2两种情况进行解方程，得出x的值.
15．【答案】解：（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）根据二次方程有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程可得得，把和分别代入一元二次方程，结合二次方程的定义即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）解：设所求方程的根是，则，所以，
由条件可得，
化简，得，
故所求方程为；
（3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以，
得，
则方程的两根是两根的倒数，
所以方程的两根分别是、.
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.
把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0，化简，得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
故填：y2-y-2=0.
【分析】（1）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，将x=-y代入原方程化简即可；
（2）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则，所以，将代入原方程化简即可；
（3）观察方程和可知a，c的位置刚好相反，而方程可化为，即可得两个方程根的关系，根据关系写出答案即可.
17．【答案】（1），，，
（2）解：设．
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
∴，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；含绝对值的一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
【分析】
（1）根据题意设最小数为，根据“ 四个连续正整数的积为 ”列出关于x的方程，用换元法即可求解；
（2）设．由已知等式得出，结合可求解；
（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质可求解.
（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
18．【答案】（1）
（2）4
（3）解：设，则，
原方程变形为：，
解得：，
∴，
去分母得：
解得：，，
经检验，和是上述分式方程的根，
∴原方程的解为：，．
【知识点】解分式方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设，原方程可变形为：；
（2）解：设，则原方程可变为：，
解得：，，
∴或（舍去）．
【分析】（1）根据换元法即可求出答案.
（2）设，则原方程可变为：，再解方程即可求出答案.
（3）设，则，原方程变形为：，再解方程即可求出答案.
（1）解：设，原方程可变形为：；
（2）解：设，则原方程可变为：，
解得：，，
∴或（舍去）．
（3）解：设，则，
原方程变形为：，
解得：，
∴，
去分母得：
解得：，，
经检验，和是上述分式方程的根，
∴原方程的解为：，．
1 / 1一元二次方程同解问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·嘉兴期末） 已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵关于x的方程a（x-m）2+k=0（a，m，k均为常数，且a≠0）的两个解是x1=1，x2=4，
∴方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，
解得x1=3，x2=6，
故答案为：B .
【分析】 根据已知方程得出方程a（x-m-2）2+k=0中x-2=1或x-2=4，据此可得答案.
2．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
3．若关于x的一元二次方程 5=0有一个根为2025，则方程 1）=-5必有一个根为 （ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 1）=-5 可整理为1）+5=0，与 方程 5=0 可知x+1=2025，
∴x=2024，
故答案为：A.
【分析】对比方程 1）=-5与1）+5=0知x+1=2025，从而得新方程的根.
4．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的两根分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：设关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的另一个根为t，
根据根与系数的关系得t＋m＝ ＝ 2，
解得：t＝ m 2，
即关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的根为m， m 2，
把方程a（x 1）2＋2a（x 1）＋c＝0看作关于（x 1）的一元二次方程，
∴x 1＝m或x 1＝ m 2，
解得：x1＝m＋1，x2＝ m 1．
故答案为：A．
【分析】设关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋c＝0（a≠0）的另一个根为t，根据根与系数的关系得t＋m＝ ＝ 2，所以t＝ m 2，再把方程a（x 1）2＋2a（x 1）＋c＝0看作关于（x 1）的一元二次方程，则x 1＝m或x 1＝ m 2，然后解两个一次方程即可．
5．（2025九上·高州月考）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：设，则新方程化为，
∵方程的解为，，
∴或，
解得或，
∴新方程的解为，．
故答案为：B．
【分析】本题通过设进行整体代换，将新方程转化为与原方程形式相同的方程。由原方程的解可知，，代回得到或，从而求出新方程的解。
6．（2025八下·温州期中） 若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：【方法一】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.由题意可得关于x的一元二次方程的解为，将x的值代入方程，得，解得.将解得的b、c代入关于y的一元二次方程，得，化简为一般形式，解得.
【方法二】观察关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，可以发现，若将关于x的一元二次方程中的x用（y-1）替换，则能得到已知条件中关于y的一元二次方程.因此，由已知条件，可以推出，即.
故答案为：D.
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，如方法一，已知一元二次方程的解可以求出一次项系数b和常数项c，再将其代入关于y的一元二次方程中，便可求出方程的解；也可以采用观察的方法，如方法二，发现已知条件中两个方程具有相同的特征，因此利用换元的思想，用（y-1）替换x，方程依然成立，随后根据求出。
7．（2025九上·东坡期中）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题知，
将一元二次方程中的“”用“”替换，
可得方程，
∵一元二次方程的两根分别为，1，
∴或1，
解得或2，
即方程的两根分别为，．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题．
8．（2024九上·凉州月考）已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，是方程的解，
∴令，，满足方程，即．
∴，，
∴方程的解是，，
故答案为：B.
【分析】令，，满足方程，即，再结合，是方程的解，可得，，再求解即可.
二、填空题
9．（2024九上·温州开学考） 若关于的一元二次方程的解为，，则关于的一元二次方程的解为 ．
【答案】y1=0，y2=1
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴ 中
令y+1=x
∴y1=0，y2=1
∴的解为y1=0，y2=1
故答案为：y1=0，y2=1.
【分析】根据一元二次方程的结构，令（y+1）作为一个整体即可得结果.
10．（1） 若关于 的方程 的两个根分别是 与 ， 则 ．
（2） 若关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ， 则方程 的根是 ．
【答案】（1）1
（2）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得方程的两个和互为相反数，
∴m+1+2m-4=0，
解得：m=1，
故答案为：1；
（2）∵方程可变形为：，
∵ 关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ，
∴2x-1=3或2x-1=7，
解得：x=2或x=4，
故答案为：.
【分析】（1）利用“方程的两个和互为相反数”可得m+1+2m-4=0，再求出m的值即可；
（2）将原方程变形为，再结合“关于 的方程 均为常数， 且 的两个根是 和 ”可得2x-1=3或2x-1=7，最后求出x的值即可.
11．（2023九上·邗江期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】整理得，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于x的方程，其中一根为，
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意，2023是一元二次方程的根，可得 方程 的根满足，求解即可．
12．（2024八下·拱墅期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝ ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：根据方程（x 3）（x b）＝0得：x1＝3，x2＝b.
∵方程（x 1）2＝a的两个根与方程（x 3）（x b）＝0的两个根相同，
∴将x＝3代入（x 1）2＝a得：a＝4，
解方程（x 1）2＝4得：x3＝3，x4＝ 1，
∴b＝ 1．
故答案为： 1．
【分析】先求出方程（x 3）（x b）＝0的解，再将x=3代入方程（x 1）2＝a求出a的值，最后求出b的值即可.
13．（2025·怀化模拟）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．
如与是“同类方程”．
（1）若与是“同类方程”，则 ．
（2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ．
【答案】；2026
【知识点】解二元一次方程组；直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵与是“同类方程”，
∴与是“同类方程”，
∴，解得：，
故答案为：；
（2）∵与是“同类方程”，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
∴当时，取得最大值为2026．
故答案为：2026．
【分析】（1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值；
（2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．
14．（2025八下·慈溪期中） 对于实数m，n，先定义一种运算“”如下：，若，则实数x的值为 .
【答案】3
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：当x≥-2时，x2+x-2=10，
解得：x1=3，x2=-4(不合题意，舍去)；
当x<-2时，(-2)2+x-2=10，
解得：x=8(不合题意，舍去)；
∴x=3.
故答案为：3.
【分析】根据定义，分x≥-2和x<-2两种情况进行解方程，得出x的值.
三、解答题
15．（2023八下·烟台经济技术开发期末）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】解：（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）根据二次方程有实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程可得得，把和分别代入一元二次方程，结合二次方程的定义即可求出答案.
16．（2025九上·岳阳楼期中） 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．化简，得
故所求方程为．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
（3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求一元二次方程的两根．
【答案】（1）
（2）解：设所求方程的根是，则，所以，
由条件可得，
化简，得，
故所求方程为；
（3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以，
得，
则方程的两根是两根的倒数，
所以方程的两根分别是、.
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.
把x=-y代入已知方程，得(-y)2+(-y)-2=0，化简，得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
故填：y2-y-2=0.
【分析】（1）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，将x=-y代入原方程化简即可；
（2）根据材料中的方法，设所求方程的根为y，则，所以，将代入原方程化简即可；
（3）观察方程和可知a，c的位置刚好相反，而方程可化为，即可得两个方程根的关系，根据关系写出答案即可.
17．（2025九上·成都开学考）阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
（1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
（2）已知实数、满足，求的值．
（3）解方程．
【答案】（1），，，
（2）解：设．
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
∴，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；含绝对值的一元二次方程
【解析】【解答】
（1）
解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
【分析】
（1）根据题意设最小数为，根据“ 四个连续正整数的积为 ”列出关于x的方程，用换元法即可求解；
（2）设．由已知等式得出，结合可求解；
（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质可求解.
（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
18．（2024九上·梁山期中）阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，
解这个方程得：，．
当时，，；
当时，，，
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，则原方程可转化为______；
（2）若，求______；
（3）参照上面解题的思想方法解方程：．
【答案】（1）
（2）4
（3）解：设，则，
原方程变形为：，
解得：，
∴，
去分母得：
解得：，，
经检验，和是上述分式方程的根，
∴原方程的解为：，．
【知识点】解分式方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设，原方程可变形为：；
（2）解：设，则原方程可变为：，
解得：，，
∴或（舍去）．
【分析】（1）根据换元法即可求出答案.
（2）设，则原方程可变为：，再解方程即可求出答案.
（3）设，则，原方程变形为：，再解方程即可求出答案.
（1）解：设，原方程可变形为：；
（2）解：设，则原方程可变为：，
解得：，，
∴或（舍去）．
（3）解：设，则，
原方程变形为：，
解得：，
∴，
去分母得：
解得：，，
经检验，和是上述分式方程的根，
∴原方程的解为：，．
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