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2.4一元二次方程的应用第2课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 2.4一元二次方程的应用第2课时 课时 1
课标要求 本节课需落实“数与代数”“图形与几何”“应用与建模”跨领域核心要求：引导学生运用一元二次方程解决几何图形面积、动态运动(动点、台风移动)等复杂实际问题，掌握“数形结合”的建模方法，发展模型观念“几何直观”与应用意识；能从几何图形变形、动态情境中提炼等量关系(如面积公式、勾股定理)，规范列方程并检验解的几何意义与实际合理性；衔接第1课时应用基础与几何知识，深化“实际问题—数学模型—求解验证”的思维链条，契合新课标“强化跨领域应用，发展综合素养”的导向。
教材分析 本节课是一元二次方程应用的深化拓展课，承接第1课时“利润、增长率”等静态问题，聚焦“几何图形面积”“动态运动”两类复杂情境。教材以“几何变形(无盖纸盒)—动态综合(轮船与台风)—动点问题”为逻辑主线，例题设计从静态图形裁剪到动态位置变化，层层递进。核心是通过“图形分析—标注边长/位置—提炼等量关系(面积、距离公式)—建立方程”的流程，突出“数形结合”思想；同时强化解的检验，重点关注几何量的取值范围(如边长为正、距离合理)。内容既延续列方程解应用题的通用步骤，又突破动态情境的分析难点，是提升学生综合建模能力与几何直观的关键载体。
学情分析 学生已掌握一元二次方程解法、第1课时应用基础及基本几何公式(长方形面积、勾股定理)，能解决简单静态几何问题，但存在明显短板：一是面对几何图形变形(如裁去小正方形折纸盒)，不会用含未知数的代数式准确表示变形后图形的边长；二是分析动态情境(如轮船与台风移动、动点问题)时，难以梳理“时间—位置—数量”的关联，不会用变量表达动态量；三是检验时忽略几何量的约束条件(如边长不能超过原图形边长、距离非负)，易保留不合理解，个体差异集中在“动态关系梳理”与“几何量表达准确性”上。
教学目标 1.能运用一元二次方程解决几何图形面积、动态运动(动点、台风移动)等复杂实际问题，熟练掌握“数形结合—提炼等量关系—建模求解—检验合理性”的完整流程； 2.学会用含未知数的代数式表示几何图形变形后的边长、动态情境中的位置与距离，提升几何直观与逻辑分析能力； 3.深化对“方程解与实际情境、几何约束关联”的理解，养成严谨检验的习惯，发展模型观念与应用意识； 4.体会数形结合思想在解决复杂问题中的价值，激发运用数学知识解决综合情境问题的兴趣，培养综合应用能力。
教学重点 1.掌握几何图形变形、动态运动问题的建模方法，能准确提炼等量关系(面积、勾股定理等)建立一元二次方程； 2.规范完成“图形/动态分析—设元—列方程—求解—检验几何/实际合理性”的完整步骤。
教学难点 动态情境(如轮船与台风移动、三角形内动点)中，实时梳理“时间—位置—数量”的动态关联，并用含未知数的代数式表示相关量，进而精准提炼等量关系。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 校园计划将一块长30m、宽20m的长方形绿地改造，在绿地四周开辟一条宽度相同的健身步道，改造后绿地(步道内侧)的面积为504m 。求这条健身步道的宽度。 预设答案 1.数形结合分析：设步道宽度为，则内侧绿地的长为，宽为(因步道在四周，长和宽均需减去)； 2.等量关系：内侧绿地面积=长×宽=； 3.列方程：； 4.化简求解：整理得，解得(保留一位小数)，； 5.检验：时，(负数，不符合宽度实际意义)，舍去；符合题意； 6.结论：步道宽度约为。 呈现长方形绿地改造步道的实际情境，引导学生分析内侧绿地与步道宽度的关系，提炼“长×宽=面积”的等量关系。 标注图形边长，用未知数表示内侧绿地的长和宽，尝试列出一元二次方程。 从生活实际切入，激发应用兴趣，为几何图形变形问题的建模铺垫基础。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动一：几何问题 例3如图2-3，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-4的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？ 思考1：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：长方形硬纸片长，宽，纸盒的底面积是； 未知量：纸盒的高. 思考2：若设纸盒的高为，那么裁去的四个小正方形的边长为多少？你能用含的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？你能找出题中的主要数量关系吗？ 答案： ；长：，宽：，高：； 主要数量关系：纸盒的底面积=长×宽 解题过程： 解：设纸盒的高为x(cm)，则纸盒底面长方形的长和宽分别为. 由题意，得. 化简、整理，得. 解这个方程，得(不合题意，舍去). 答：纸盒的高为. 方法总结：利用一元二次方程解决几何图形问题的方法：1.图形分析：明确变形方式（裁剪、加步道等），确定“原图形边长”与“变形量（如宽度x）”的关系； 2.边长表达：四周变形时，边长需“减去”，单方向变形需“减去”，确保代数式符合几何逻辑； 3.建模求解：根据面积公式列方程，解后检验“边长为正”“变形量不超过原边长”等几何约束。 引导分析硬纸板裁剪与折叠的边长变化规律，示范用未知数表示纸盒底面边长的方法，强调“裁去小正方形边长=纸盒高”的关键关联。 小组讨论边长变化逻辑，用含未知数的代数式表示底面长、宽，根据底面积公式列方程并求解，检验解的几何合理性。 掌握几何变形问题的建模方法，提升图形分析与代数表达能力，强化“解需符合几何约束”的意识。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动二：动点问题 合作学习： 一轮船(C)以的速度由西向东航行(图2-5)，在途中接到台风警报，台风中心(B)正以的速度由南向北移动.已知距台风中心的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得. (1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ (2)如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？ 思考1：假设经小时后，轮船和台风中心分别在的位置，你能求出的距离吗？ 答案： ， 由勾股定理可得， 经过小时后 ， . 思考2：你能找出相等关系吗？根据相等关系列方程解决问题。 相等关系： 即 解：轮船会受到台风影响，理由如下： ， . 设当轮船接到报警后经过小时受到台风影响， 则. . 解得. 受影响的时间为(时). 答：轮船会进入台风影响区，且受影响的时间约为小时。 思考3：如果把航速改为，结果将怎样？ 解：若将船速改为， 则令， 化简得. 因为， 所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区. 方法总结：利用一元二次方程解决动点问题 1.动态梳理：用时间变量t表示运动距离，标注不同时刻的位置，建立“初始位置—移动距离—当前位置”的关联； 2.等量提炼：借助勾股定理、路程公式等建立方程，聚焦“临界状态”（如台风影响边界）； 3.检验取舍：舍去负解、超出运动范围的解，若方程无实数根，说明不存在对应实际情境。 借助示意图梳理轮船与台风的运动方向和速度，引导用时间变量表示移动后的线段长度，提炼勾股定理的等量关系。 画动态位置示意图，用时间t表示关键线段长度，列方程求解“进入台风影响区的时间”，讨论方程无实数根的实际意义。 突破动态情境建模难点，培养几何直观与动态思维，理解“方程解与实际情境的关联”。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A. B. C. D. 2.某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程( ) A. B. C. D. 3.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为( ) A. B. C. D. 4.某小区原有一块长为米，宽为米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周(场内)筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为米，可以列出方程是( ) A. B. C. D. 5.如图，用米长的竹篱笆一边靠墙(墙长米)围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个米宽的门，围成的养鸡场的面积为平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 . 6.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为 m. 7.如图，在中.动点在线段上从点出发，沿方向运动；动点在线段上同时从点出发，沿方向运动.如果点的运动速度均为，那么运动几秒时，它们相距？ 8.如图所示，四边形为矩形，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动，如果分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止.设运动的时间为. (1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在使为等腰三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.建模核心：两类情境均需“图形分析+代数表达”，几何变形聚焦边长变化，动态运动聚焦位置与时间的关联。 2.关键技能：熟练用含未知数的代数式表示几何量，掌握“面积公式、勾股定理”等量关系的提炼，强化解的几何/实际意义检验。 3.思想方法：深化数形结合思想，通过画图标注辅助分析，突破动态与静态情境的建模难点。 4.规范要求：解题需标注图形、规范代数式表达、检验解的合理性，养成严谨的建模与运算习惯，落实模型观念与应用意识的培养。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.4一元二次方程的应用(第2课时) 一、核心情境与建模 1.几何图形变形(无盖纸盒/步道) 关键：边长表达(四周变形→±2x) 等量关系：面积公式(长×宽=面积) 2.动态运动(轮船与台风) 关键：时间t→线段长度(路程=速度×时间) 等量关系：勾股定理(a +b =c ) 二、解题流程 审(析图形/动态)→设(未知数)→表(边长/位置)→列(方程)→解(方程)→验（几何/实际意义）→答 三、易错提醒 几何变形：勿漏“2x”(四周宽度)； 动态表达：明确变量与线段的对应关系； 检验：确保解符合几何约束(边长为正)或实际意义(时间非负)。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的长方形窗框.若窗框的面积为，则窗框AB的长为 ( ) A.1m B.1.5m C.1.6m D.1.8m 2.学校计划在长为12m，宽为9m的长方形地块的正中间建一座劳动实践大棚.大棚是占地面积为88m2的长方形.建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为 ( ) A.1.8m B.1.5m C.1m D.0.5m 3.用一条长为20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的长方形？如果能，请说明围法；如果不能，请说明理由. 4.如图，某小区规划在一个长为16m，宽为9m的长方形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽. 5.某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块面积为600m2的长方形实验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆)，求AB的长. 能力提升： 6.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块长方形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？ ( ) A.15 B.12 C.9 D.6 7.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计).若该无盖盒子的底面积为900cm2，则盒子的容积是 ( ) A.3600cm3 B.4000cm3 C.4500cm3 D.9000cm3 8.某单位要兴建一个长方形的活动区(图中阴影部分)，根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480m2. (1)求小路的宽度； (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 9.如图，利用一面墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个长方形围栏ABCD，且中间共留两个1米宽的小门，设栅栏BC的长为x米. (1)AB= 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长； (3)长方形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由. 拓展迁移： 10.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的面积相等.设BC的长度为xm. (1)求AE的长(用含x的代数式表示)； (2)当长方形ABCD的面积为600m2时，求BC的长. 11.用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG.已知DG=60cm，设正方形的边长AB=xcm. (1)当x=72时，EG为 cm； (2)置物架ABCD的高AD为 cm(用含x的代数式表示)； (3)为了便于放置物品，EG的高度不小于22cm，若矩形ABCD的面积为12000cm2，求x的值.
教学反思 本节课通过几何情景导入衔接新旧知识，多数学生能掌握静态几何问题的建模，但在动态情境分析中存在明显不足：一是部分学生不会用时间变量表示动态位置(如动点移动后的线段长度)；二是几何变形中，误将“四周步道宽度”仅减去x(而非2x)，导致边长表达错误；三是检验时仍未重视几何量的约束条件。后续需优化教学：增加“动态情境画图标注训练”，用时间轴、图形标注辅助梳理关系；设计“几何量表达易错辨析题”，强化变形后边长的正确表达；通过小组合作分析动态问题的数量关联，提升学生的几何直观与动态建模能力，更好落实核心素养培养目标。
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课题名称：2.4一元二次方程的应用第2课时
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
学会用含未知数的代数式表示几何图形变形后的边长、动态情境中的位置与距离，提升几何直观与逻辑分析能力；
02
能运用一元二次方程解决几何图形面积、动态运动(动点、台风移动)等复杂实际问题，熟练掌握“数形结合—提炼等量关系—建模求解—检验合理性”的完整流程；
01
深化对“方程解与实际情境、几何约束关联”的理解，养成严谨检验的习惯，发展模型观念与应用意识；
03
体会数形结合思想在解决复杂问题中的价值，激发运用数学知识解决综合情境问题的兴趣，培养综合应用能力。
04
情景问题
校园计划将一块长30m、宽20m的长方形绿地改造，在绿地四周开辟一条宽度相同的健身步道，改造后绿地(步道内侧)的面积为504m 。求这条健身步道的宽度。
1.数形结合分析:设步道宽度为，则内侧绿地的长为，宽为(因步道在四周，长和宽均需减去)；
2.等量关系:内侧绿地面积=长×宽=；
3.列方程:；
情景问题
4.化简求解:整理得，解得(保留一位小数)，；
5.检验:时，(负数，不符合宽度实际意义)，舍去；符合题意；
6.结论:步道宽度约为。
探究新知
探究一:几何问题
已知量:长方形硬纸片长，宽，纸盒的底面积是；
未知量:纸盒的高.
例3如图2-3，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-4的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少
思考1:题中的已知量是什么？未知量是什么？
探究新知
探究一:几何问题
；
长:，宽:，高:；
主要数量关系:纸盒的底面积=长×宽
思考2:若设纸盒的高为，那么裁去的四个小正方形的边长为多少？你能用含的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？你能找出题中的主要数量关系吗？
探究新知
探究一:几何问题
解:设纸盒的高为，则纸盒底面长方形的长和宽分别为.
由题意，得.
化简、整理，得.
解这个方程，得(不合题意，舍去).
答:纸盒的高为.
探究新知
方法总结：
利用一元二次方程解决几何图形问题的方法:1.图形分析：明确变形方式（裁剪、加步道等），确定“原图形边长”与“变形量（如宽度x）”的关系；
2.边长表达：四周变形时，边长需“减去”，单方向变形需“减去”，确保代数式符合几何逻辑；
3.建模求解：根据面积公式列方程，解后检验“边长为正”“变形量不超过原边长”等几何约束。
探究新知
探究二：动点问题
合作学习:一轮船(C)以的速度由西向东航行(图2-5)，在途中接到台风警报，台风中心(B)正以的速度由南向北移动.已知距台风中心的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得.
(1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断
(2)如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区
探究新知
探究二：动点问题
思考1:假设经小时后，轮船和台风中心分别在的位置，你能求出的距离吗？
，
由勾股定理可得，
经过小时后
，
.
思考2:你能找出相等关系吗？根据相等关系列方程解决问题。
相等关系:，
即.
探究新知
探究二：动点问题
解:轮船会受到台风影响，理由如下:
，
.
设当轮船接到报警后经过小时受到台风影响，
则.
.
解得.
受影响的时间为(时).
答:轮船会进入台风影响区，且受影响的时间约为小时。
探究新知
探究二：动点问题
思考3:如果把航速改为，结果将怎样
解:若将船速改为，
则令，
化简得.
因为，
所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区.
探究新知
方法总结：
利用一元二次方程解决动点问题
1.动态梳理：用时间变量t表示运动距离，标注不同时刻的位置，建立“初始位置—移动距离—当前位置”的关联；
2.等量提炼：借助勾股定理、路程公式等建立方程，聚焦“临界状态”（如台风影响边界）；
3.检验取舍：舍去负解、超出运动范围的解，若方程无实数根，说明不存在对应实际情境。
课堂练习
1.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为( )
A. B.
C. D.
2.某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程( )
A.
B.
C.
D.
D
D
课堂练习
3.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
4.某小区原有一块长为米，宽为米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周(场内)筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为米，可以列出方程是( )
A.
B.
C.
D.
C
C
课堂练习
5.如图，用米长的竹篱笆一边靠墙(墙长米)围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个米宽的门，围成的养鸡场的面积为平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 .
6.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为 m.
课堂练习
解:设运动秒时，它们相距，则，
根据题意得:，
解得:.
答:运动秒或秒时，它们相距
7.如图，在中.动点在线段上从点出发，沿方向运动；动点在线段上同时从点出发，沿方向运动.如果点的运动速度均为，那么运动几秒时，它们相距
课堂练习
(1)解:由题意可得:，
四边形为矩形，，
，
，
，
解得:或；
，不符合题意，则，
当时，的面积为.
8.如图所示，四边形为矩形，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动，如果分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止.设运动的时间为.
(1)当为何值时，的面积为？
(2)是否存在使为等腰三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
课堂练习
(2)解:不存在使为等腰三角形.
由题意可得:，
，
为钝角三角形；且为等腰三角形，
，
，
，
，
方程无解，
不存在使为等腰三角形.
课堂小结
知识点：
1.建模核心：两类情境均需“图形分析+代数表达”，几何变形聚焦边长变化，动态运动聚焦位置与时间的关联。
2.关键技能：熟练用含未知数的代数式表示几何量，掌握“面积公式、勾股定理”等量关系的提炼，强化解的几何/实际意义检验。
3.思想方法：深化数形结合思想，通过画图标注辅助分析，突破动态与静态情境的建模难点。
4.规范要求：解题需标注图形、规范代数式表达、检验解的合理性，养成严谨的建模与运算习惯，落实模型观念与应用意识的培养。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的长方形窗框.若窗框的面积为，则窗框AB的长为 ( )
A.1m B.1.5m C.1.6m D.1.8m
B
2.学校计划在长为12m，宽为9m的长方形地块的正中间建一座劳动实践大棚.大棚是占地面积为88m2的长方形.建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为 ( )
A.1.8m B.1.5m C.1m D.0.5m
D
课后提升
基础作业：
3.用一条长为20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的长方形 如果能，请说明围法；如果不能，请说明理由.
解：不能.理由:设围成的长方形的长为，则宽为.
根据题意，得，即.
因为，
所以此一元二次方程无实数根.
∴用一条长为的绳子不能围成一个面积为30cm2的长方形.
课后提升
基础作业：
解:设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度分别为.
根据题意即可得出方程为，
解得.
，不符合题意，舍去，.
答:小路的宽为.
4.如图，某小区规划在一个长为16m，宽为9m的长方形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽.
课后提升
基础作业：
解:设的长为，则的长为，
根据题意，得，
整理，得，解得，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答:AB的长为.
5.某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块面积为600m2的长方形实验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆)，求AB的长.
课后提升
能力提升：
C
D
6.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何 ”意思是一块长方形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步 ( )
A.15 B.12 C.9 D.6
7.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计).若该无盖盒子的底面积为900cm2，则盒子的容积是 ( )
A.3600cm3 B.4000cm3 C.4500cm3 D.9000cm3
课后提升
提升作业：
解:(1)设小路的宽度是，
根据题意得，
整理得，解得(舍去).
答:小路的宽度是.
8.某单位要兴建一个长方形的活动区(图中阴影部分)，根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480m2.
(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
课后提升
提升作业：
解: (2)设每次降价的百分率为，
依题意得，
解得(舍去).
答:每次降价的百分率为.
8.某单位要兴建一个长方形的活动区(图中阴影部分)，根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480m2.
(1)求小路的宽度；
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
课后提升
提升作业：
9.如图，利用一面墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个长方形围栏ABCD，且中间共留两个1米宽的小门，设栅栏BC的长为x米.
(1)AB= 米(用含x的代数式表示)；
(2)若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)长方形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米 若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由.
解:(2)依题意，得，
整理，得，解得.
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意.
答:栅栏的长为米.
课后提升
提升作业：
9.如图，利用一面墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个长方形围栏ABCD，且中间共留两个1米宽的小门，设栅栏BC的长为x米.
(1)AB= 米(用含x的代数式表示)；
(2)若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长；
(3)长方形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米 若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由.
解:(3)不可能.理由如下:依题意，得，
整理得，，
方程没有实数根，长方形围栏面积不可能达到平方米.
课后提升
拓展作业：
解:(1)设，
由题意知，
，，
，，
依题意得，
，的长为m.
10.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的面积相等.设BC的长度为xm.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示)；
(2)当长方形ABCD的面积为600m2时，求BC的长.
课后提升
拓展作业：
解:(2)依题意得，即，
整理得，解得.
，
均符合题意.
答:的长为或.
10.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的面积相等.设BC的长度为xm.
(1)求AE的长(用含x的代数式表示)；
(2)当长方形ABCD的面积为600m2时，求BC的长.
课后提升
解:(3)依题意得.
整理，得，解得.
的高度不小于，即，
，不合题意，舍去.
答:的值为.
11.用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG.已知DG=60cm，设正方形的边长AB=xcm.
(1)当x=72时，EG为 cm；
(2)置物架ABCD的高AD为 cm(用含x的代数式表示)；
(3)为了便于放置物品，EG的高度不小于22cm，若矩形ABCD的面积为12000cm2，求x的值.
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分课时学案
课题 2.4一元二次方程的应用第2课时 单元 二 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.能运用一元二次方程解决几何图形面积、动态运动(动点、台风移动)等复杂实际问题，熟练掌握“数形结合—提炼等量关系—建模求解—检验合理性”的完整流程； 2.学会用含未知数的代数式表示几何图形变形后的边长、动态情境中的位置与距离，提升几何直观与逻辑分析能力； 3.深化对“方程解与实际情境、几何约束关联”的理解，养成严谨检验的习惯，发展模型观念与应用意识； 4.体会数形结合思想在解决复杂问题中的价值，激发运用数学知识解决综合情境问题的兴趣，培养综合应用能力。
重点 1.掌握几何图形变形、动态运动问题的建模方法，能准确提炼等量关系(面积、勾股定理等)建立一元二次方程； 2.规范完成“图形/动态分析—设元—列方程—求解—检验几何/实际合理性”的完整步骤。
难点 动态情境(如轮船与台风移动、三角形内动点)中，实时梳理“时间—位置—数量”的动态关联，并用含未知数的代数式表示相关量，进而精准提炼等量关系。
教学过程
导入新课 情景问题 校园计划将一块长30m、宽20m的长方形绿地改造，在绿地四周开辟一条宽度相同的健身步道，改造后绿地(步道内侧)的面积为504m 。求这条健身步道的宽度。
新知讲解 探究活动一：几何问题 例3如图2-3，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-4的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？ 思考1：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 思考2：若设纸盒的高为，那么裁去的四个小正方形的边长为多少？你能用含的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？你能找出题中的主要数量关系吗？ 探究活动二：航海问题 合作学习： 一轮船(C)以的速度由西向东航行(图2-5)，在途中接到台风警报，台风中心(B)正以的速度由南向北移动.已知距台风中心的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得. (1)如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ (2)如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？ 思考1：假设经小时后，轮船和台风中心分别在的位置，你能求出的距离吗？ 思考2：你能找出相等关系吗？根据相等关系列方程解决问题。 思考3：如果把航速改为，结果将怎样？
课堂练习 课堂练习 1.2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x支队伍参加比赛，则所列方程为( ) A. B. C. D. 2.某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草，若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程( ) A. B. C. D. 3.如图，在一块长，宽的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为，设道路的宽为，则根据题意，可列方程为( ) A. B. C. D. 4.某小区原有一块长为米，宽为米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周(场内)筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为米，可以列出方程是( ) A. B. C. D. 5.如图，用米长的竹篱笆一边靠墙(墙长米)围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个米宽的门，围成的养鸡场的面积为平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为___________________________________ 6.如图，在一块长、宽的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为，则修建的路宽应为 m. 7.如图，在中.动点在线段上从点出发，沿方向运动；动点在线段上同时从点出发，沿方向运动.如果点的运动速度均为，那么运动几秒时，它们相距？ 8.如图所示，四边形为矩形，，若点从点出发沿以的速度向运动，从点出发沿以的速度向运动，如果分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止.设运动的时间为.
(1)当为何值时，的面积为？ (2)是否存在使为等腰三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.用6m长的铝合金材料做一个形状如图所示的长方形窗框.若窗框的面积为，则窗框AB的长为 ( ) A.1m B.1.5m C.1.6m D.1.8m 2.学校计划在长为12m，宽为9m的长方形地块的正中间建一座劳动实践大棚.大棚是占地面积为88m2的长方形.建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为 ( ) A.1.8m B.1.5m C.1m D.0.5m 3.用一条长为20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的长方形？如果能，请说明围法；如果不能，请说明理由. 4.如图，某小区规划在一个长为16m，宽为9m的长方形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽. 5.某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块面积为600m2的长方形实验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门(不包括篱笆)，求AB的长. 能力提升： 6.《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块长方形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？ ( ) A.15 B.12 C.9 D.6 7.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计).若该无盖盒子的底面积为900cm2，则盒子的容积是 ( ) A.3600cm3 B.4000cm3 C.4500cm3 D.9000cm3 8.某单位要兴建一个长方形的活动区(图中阴影部分)，根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480m2. (1)求小路的宽度； (2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 9.如图，利用一面墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个长方形围栏ABCD，且中间共留两个1米宽的小门，设栅栏BC的长为x米. (1)AB= 米(用含x的代数式表示)； (2)若长方形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长； (3)长方形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由. 拓展迁移： 10.为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边，用总长为120m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块长方形区域，且三块区域的面积相等.设BC的长度为xm. (1)求AE的长(用含x的代数式表示)； (2)当长方形ABCD的面积为600m2时，求BC的长. 11.用总长680cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图)，已知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG.已知DG=60cm，设正方形的边长AB=xcm. (1)当x=72时，EG为 cm； (2)置物架ABCD的高AD为 cm(用含x的代数式表示)； (3)为了便于放置物品，EG的高度不小于22cm，若矩形ABCD的面积为12000cm2，求x的值.
参考答案
情景问题：
1.数形结合分析：设步道宽度为，则内侧绿地的长为，宽为(因步道在四周，长和宽均需减去)；
2.等量关系：内侧绿地面积=长×宽=；
3.列方程：；
4.化简求解：整理得，解得(保留一位小数)，；
5.检验：时，(负数，不符合宽度实际意义)，舍去；符合题意；
6.结论：步道宽度约为。由此引出“几何图形变形中的一元二次方程应用”，进而拓展到动态问题的探究。
探究一：
思考1：
已知量：长方形硬纸片长，宽，纸盒的底面积是；
未知量：纸盒的高.
思考2：
；长：，宽：，高：；
主要数量关系：纸盒的底面积=长×宽
解答：
解：设纸盒的高为x(cm)，则纸盒底面长方形的长和宽分别为.
由题意，得.
化简、整理，得.
解这个方程，得(不合题意，舍去).
答：纸盒的高为.
探究二：
思考1：
答案：
，
由勾股定理可得，
经过小时后
，
.
思考2：
相等关系：
解：轮船会受到台风影响，理由如下：
，
.
设当轮船接到报警后经过小时受到台风影响，
则.
.
解得.
受影响的时间为(时).
答：轮船会进入台风影响区，且受影响的时间约为小时。
思考3：
解：若将船速改为，
则令，
化简得.
因为，
所以方程无实数根，所以船不会进入台风影响区.
课堂练习；
答案：1.D；2.D；3.C；4.C；5.；6.1；
7.解：设运动秒时，它们相距，则，根据题意得：，解得：.
答：运动秒或秒时，它们相距
8.(1)解：由题意可得：，
四边形为矩形，，
，
，
，
解得：或；
，
不符合题意，则，
当时，的面积为.
(2)解：不存在使为等腰三角形.
由题意可得：，
，
为钝角三角形；且为等腰三角形，
，
，
，
，
方程无解，
不存在使为等腰三角形.
作业设计：
答案
1.B 设窗框AB的长为xm，则AB的邻边长为m，
依题意得x·=1.5，
整理得4x2-12x+9=0，解得x1=x2=1.5.
故选B.
2.D 设大棚外围留下的宽度为xm，
则大棚的长为(12-2x)m，宽为(9-2x)m，
依题意得(12-2x)(9-2x)=88，
整理得2x2-21x+10=0，
解得x1=0.5，x2=10(不合题意，舍去).
故选D.
3.解析 不能.理由：设围成的长方形的长为xcm，则宽为(10-x)cm.
根据题意，得x(10-x)=30，即x2-10x+30=0.
因为b2-4ac=(-10)2-4×30=-20<0，
所以此一元二次方程无实数根.
∴用一条长为20cm的绳子不能围成一个面积为30cm2的长方形.
4.解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度分别为(16-2x)m，(9-x)m.
根据题意即可得出方程为，
解得.
，不符合题意，舍去，.
答：小路的宽为.
5.解：设AB的长为，则BC的长为，
根据题意，得，
整理，得，解得，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意.
答：AB的长为.
6.D 设长为x步，则宽为(60-x)步，
依题意得x(60-x)=891，解得x1=33，x2=27.
又∵x≥60-x，∴x≥30，∴x=33，
∴x-(60-x)=33-(60-33)=6，∴长比宽多6步.
故选D.
7.C 设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为正方形，其边长为(40-2x)cm，
依题意得(40-2x)2=900，
解得x1=5，x2=35(不合题意，舍去)，
∴盒子的容积为900×5=4500(cm3).
故选C.
8.解：(1)设小路的宽度是，
根据题意得，
整理得，解得(舍去).
答：小路的宽度是.
(2)设每次降价的百分率为，
依题意得，
解得(舍去).
答：每次降价的百分率为.
9.解析 (1)∵栅栏的全长为米，且中间共留两个1米宽的小门，
米，故答案为.
(2)依题意，得，
整理，得，解得.
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意.
答：栅栏的长为米.
(3)不可能.理由如下：依题意，得，
整理得，，
∴方程没有实数根，∴长方形围栏ABCD面积不可能达到240平方米.
10.解析 (1)设，
由题意知，
，，
，，
依题意得，
，的长为m.
(2)依题意得，即，
整理得，解得.
，均符合题意.
答：的长为或.
11.解析 由题意可得，
，
.
(1)当时，.
故答案是.
(2)依题意得.
故答案是.
(3)依题意得.
整理，得，解得.
的高度不小于，即，，不合题意，舍去.
答：的值为.
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