(共33张PPT)
课题名称：2.1一元二次方程和它的解
第二章：一元二次方程
初中数学
学习目标
经历 “实际问题 — 列方程 — 抽象定义 — 探究一般形式” 的过程，提升抽象概括与建模能力；
02
理解一元二次方程的定义及根的概念，能准确判断一元二次方程；掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数和常数项；
01
发展模型观念与推理意识，建立 “实际问题—数学模型” 的转化思维；
03
感受一元二次方程与生活的紧密联系，激发探究兴趣，培养规范严谨的数学思维习惯。
04
情境创设
学校计划在操场旁修建一个长方形健身区域，总面积为平方米。已知该区域的长比宽的2倍少米，设宽为 米。
1.请用含 的代数式表示该区域的长；
1.长为米；
2.根据长方形面积公式，列出关于 的方程；
2.面积公式为长×宽，可列方程：，整理得；
情境创设
学校计划在操场旁修建一个长方形健身区域，总面积为平方米。已知该区域的长比宽的2倍少米，设宽为 米。
3.这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
3.该方程含未知数的平方项()，未知数最高次数为 ，而一元一次方程未知数最高次数为 。
探究新知
探究一：一元二次方程的引入
将一个容积为的包装剪开、铺平纸样如图所示。图中应满足怎样的方程？
已知包装容积为，
长：;宽：;高：;
列方程：，
整理得：，
探究新知
探究一：一元二次方程的引入
将一个容积为的包装剪开、铺平纸样如图所示。图中应满足怎样的方程？
问题1:包装展开图中，哪些边长与未知数 相关？它们之间存在怎样的数量关系？
与未知数x相关的边长是展开图中标注的边长、包装的宽；数量关系为：包装的长，且需满足，包装的高固定为。
探究新知
探究一：一元二次方程的引入
将一个容积为的包装剪开、铺平纸样如图所示。图中应满足怎样的方程？
问题2:结合容积公式，如何列出关于的方程？该方程与情景创设中的方程有哪些共同特征？
列方程思路：根据长方体容积公式 “容积 = 长 × 宽 × 高”，代入长、宽、高、容积，列出方程：，整理后得。
共同特征：与情景创设中的方程均为整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为 2 次。
探究新知
探究二：一元二次方程的定义
合作学习：列出下列问题中关于未知数的方程：
(1)某小区规划在两幢楼之间设置一块面积为平方米的长方形绿地，并且长比宽多米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？
设长方形绿地的宽为米，可列出方程： 。
(2)某放射性物质经天后，该物质的质量衰变为原来的。这种放射性物质平均每天减少率为多少？
设平均每天减少率为,可列出方程 。
探究新知
探究二：一元二次方程的定义
观察上面所列的两个方程，它们有什么共同特征？与一元一次方程比较，有什么相同和不同之处？(请与你的同伴交流)
相同之处：1.只含有一个未知数，
2.方程的两边都是整式；
不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次，这些方程所含未知数的最高次数为2次.
探究新知
归纳总结：
方程和的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次。我们把这样的方程叫作一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。
探究新知
做一做：
1.判断下列方程是否为一元二次方程：
; ;
; .
答案：(1),(3)为一元二次方程；(2)为一元一次方程；(4)不是一元二次方程；
探究新知
做一做：
2.判断未知数的值是不是方程的根。
解：将代入方程得：方程左边方程右边，故是方程的根；
将代入方程得：方程左边方程右边，故不是方程的根；
将代入方程得：方程左边方程右边，故是方程的根.
探究新知
归纳总结：
1.一元二次方程判断方法:先看是否为整式方程，再看是否只含一个未知数，最后验证未知数最高次数是否为2；
2.验根方法:将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则该值是方程的根(解)。
探究新知
探究二：一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于的一元二次方程都可以化为的形式。我们把(为已知数，)称为一元二次方程的一般形式，其中,,分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。
想一想：为什么要限制 可以为零吗？
若a=0，则未知数的最高次数不是2次，
所以该方程不是一元二次方程.
b,c可以为零.
探究新知
探究二：一元二次方程的一般形式
例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1); (2)。
解：(1)移项，整理，得。
这个方程的二次项系数是9，一次项系数是4，常数项是-5。
(2)方程左边多项式相乘，得,
移项，整理，得,
这个方程的二次项系数是-3，一次项系数是2，常数项是5。
探究新知
探究二：一元二次方程的一般形式
例2：已知一元二次方程的两个根为和,求这个方程。
解：将代入方程，得
,
解得：,
所以这个一元二次方程是.
强调：一元二次方程的一般形式中，通常将项按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。
探究新知
归纳总结：
1.一般形式转化步骤：移项（将所有项移到左边，右边为 0）→ 整理（按未知数次数从高到低排列）；
2.系数识别技巧：先化为标准一般形式 ax +bx+c=0（a≠0），再依次识别二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c，注意符号不可遗漏；
3.关键提醒：a≠0 是方程为一元二次方程的必要条件，若 a=0，方程退化为一元一次方程。
课堂练习
1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若方程的一个根是，则常数的值为( )
A. B. C. D.
3.关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A.1,, B.,, C.1,,1 D.1,5,1
C
B
C
课堂练习
4.在某渔民画展览中,有一幅长60cm,宽40cm的画,为给它的四周镶一条纸带,制成一幅矩形挂图(如图),如果要使整个挂图的面积是,设纸带的宽为x cm,那么x满足的方程是( )
A.
B.
C.
D.
D
课堂练习
5.已知是方程的一个根,则 .
6.若关于的方程是一元二次方程,则 .
7.已知关于x的方程
(1)当k取何值时,它是一元一次方程？
(2)当k取何值时,它是一元二次方程？
4
-1
课堂练习
解：(1)由关于的一元一次方程,得
或,
解得或,
当或时,关于x的一元一次方程；
(2)由关于的一元二次方程,得
,解得,
当时,关于的一元二次方程.
课堂练习
8.已知是关于x的方程的一个根.
(1)求的值；
(2)若这个方程的另一个根为整数,且,这两个根恰好是等腰三角形的两条边长,求的周长.
(1)解:将代入方程,得,
解得m=2.
课堂练习
(2)解：由(1)得方程.
∵为整数,且,
∴可找出是方程的另一个根
∴这两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,
∴三边长只能为2,5,5,
∴△ABC的周长.
课堂小结
知识点：
定义与特征：掌握一元二次方程的三个核心特征,能准确判断给定方程是否为一元二次方程。
一般形式：熟练将方程化为的形式,准确识别各项系数(含符号),理解 的本质意义。
根的概念：明确方程根的定义,能验证给定未知数的值是否为方程的根。
建模应用：能从面积、容积等实际问题中提取等量关系,列出一元二次方程,发展模型观念。
知识梳理
作业设计
基础作业：
1.下列方程是一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D.
2.已知关于的方程的一个根是,则 .
3.下列方程是一元二次方程的一般形式的是( )
A. B. C. D.
B
3
A
作业设计
基础作业：
4.四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:,乙:,丙:,丁:,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为 ( )
A. B.
C. D
C
C
作业设计
基础作业：
解:设其邻边长为x m,则可列方程为.
6.把面积为的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为,求其邻边长(只需列出方程).
作业设计
能力提升：
7.关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项,则的值为 ( )
A.0 B.±3 C.3 D.-3
8.若关于x的一元二次方程的一个根为,则下列等式成立的是 ( )
A. B. C. D.
9.若是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是 ( )
A.-1 B.±1 C.-3 D.±3
D
B
C
作业设计
能力提升：
10.方程化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是 ( )
A.4,-1 B.4,1 C.-4,-1 D.-4,1
11.已知是一元二次方程的两个根,求a,b的值.
D
解:把分别代入一元二次方程,
得解得
作业设计
拓展迁移
12.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
解:根据题意可得关于x的方程为,
它是一元二次方程,整理为一般形式为,
二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
作业设计
拓展迁移
13.已知实数是一元二次方程的解,求代数式的值.
解:因为实数a是一元二次方程的解,
所以,
所以,,
所以原式.
Thanks!
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2.1 一元二次方程和它的解教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 2.1一元二次方程和它的解 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程模型，理解其定义、一般形式及 “根” 的概念，发展模型观念与抽象思维；能准确判断一元二次方程，掌握将方程化为一般形式的方法，明确二次项系数、一次项系数及常数项的定义；通过验证未知数的值是否为方程的根，培养严谨的推理意识；体会一元二次方程在解决实际问题(如面积、增长率)中的价值，为后续解方程、用方程解决实际问题奠定基础，契合新课标 “从实际到抽象，发展核心素养” 的导向。
教材分析 本节课是 “一元二次方程” 章节的起始课，承接一元一次方程的知识体系，是二次方程学习的基础与起点。教材以实际问题(绿地面积、放射性物质衰变)为切入点，引导学生列出方程并观察共同特征，抽象出一元二次方程的定义；再通过例题讲解一般形式及相关概念，最后结合练习巩固判断、转化与验根技能。内容编排遵循 “实际问题 — 方程抽象 — 概念建构 — 应用巩固” 的逻辑，既衔接旧知，又构建新的方程模型体系，体现新课标 “问题驱动、概念建构” 的编写理念，是培养学生建模能力的关键载体。
学情分析 学生已熟练掌握一元一次方程的定义、解法及应用，具备从实际问题中抽象一元一次方程的经验，但存在明显认知短板：一是抽象思维不足，难以从含平方项的实际问题中提炼一元二次方程模型；二是对 “一元二次方程一般形式中 ” 的限制条件理解不深刻，易忽略该前提；三是在将复杂方程化为一般形式时，常出现移项变号错误或整理不规范的问题，个体差异集中在 “实际问题到方程的抽象转化” 与 “一般形式的规范整理” 上。
教学目标 1.理解一元二次方程的定义及 “根” 的概念，能准确判断一元二次方程；掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数和常数项； 2.经历 “实际问题 — 列方程 — 抽象定义 — 探究一般形式” 的过程，提升抽象概括与建模能力； 3.发展模型观念与推理意识，建立 “实际问题—数学模型” 的转化思维； 4.感受一元二次方程与生活的紧密联系，激发探究兴趣，培养规范严谨的数学思维习惯。
教学重点 1.理解一元二次方程的定义，能准确判断给定方程是否为一元二次方程； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为一般形式并正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。
教学难点 从含平方关系的实际问题中，准确抽象出一元二次方程模型，同时深刻理解一般形式中 “” 的本质原因(避免方程退化为一元一次方程)。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景创设 学校计划在操场旁修建一个长方形健身区域，总面积为平方米。已知该区域的长比宽的2倍少 米，设宽为 米。 提问引导 1.请用含 的代数式表示该区域的长； 2.根据长方形面积公式，列出关于 的方程； 3.这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？ 预设答案 1.长为米； 2.面积公式为长×宽，可列方程：，整理得； 3.该方程含未知数的平方项()，未知数最高次数为 ，而一元一次方程未知数最高次数为 。 解读健身区域面积问题中的数量关系，引导用含未知数的代数式表示长和宽，列出方程并对比一元一次方程。 根据长方形面积公式列方程，发现未知数最高次数为 2 的特征，明确与一元一次方程的区别。 从实际问题抽象方程，激发探究兴趣，为一元二次方程定义的引出铺垫现实背景。
探究活动一：一元二次方程的引入 将一个容积为的包装剪开、铺平纸样如图所示。图中应满足怎样的方程？ 已知包装容积为， 长： 宽： 高： 列方程：， 整理得：， 问题1：包装展开图中，哪些边长与未知数 相关？它们之间存在怎样的数量关系？ 与未知数x相关的边长是展开图中标注的边长、包装的宽；数量关系为：包装的长，且需满足，包装的高固定为。 问题2：结合容积公式，如何列出关于 的方程？该方程与情景创设中的方程有哪些共同特征？ 列方程思路：根据长方体容积公式 “容积 = 长 × 宽 × 高”，代入长、宽、高、容积，列出方程：，整理后得。 共同特征：与情景创设中的方程均为整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为 2 次。 引导学生分析包装容积问题中的立体图形关系，明确未知数含义，指导列出含平方项的方程。 梳理包装展开图的边长关系，列出方程，进一步感知 “未知数最高次数为 2” 的方程特征。 通过立体图形问题拓展方程应用场景，强化对新方程类型的认知，为定义抽象积累素材。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：一元二次方程的定义 合作学习： 列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)某小区规划在两幢楼之间设置一块面积为1200平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，可列出方程： 。 (2)某放射性物质经2天后，该物质的质量衰变为原来的。这种放射性物质平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为，可列出方程 。 答案：；. 观察上面所列的两个方程，它们有什么共同特征？与一元一次方程比较，有什么相同和不同之处？(请与你的同伴交流) 相同之处：1.只含有一个未知数， 2.方程的两边都是整式； 不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次，这些方程所含未知数的最高次数为2次. 方程和的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次。我们把这样的方程叫作一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 做一做： 1.判断下列方程是否为一元二次方程： ； ； ； . 答案：(1)，(3)为一元二次方程；(2)为一元一次方程；(4)为分式方程； 2.判断未知数的值是不是方程的根。 答案：将代入方程得：方程左边方程右边，故是方程的根； 将代入方程得：方程左边方程右边，故不是方程的根； 将代入方程得：方程左边方程右边，故是方程的根. 总结归纳：1.一元二次方程判断方法：先看是否为整式方程，再看是否只含一个未知数，最后验证未知数最高次数是否为 2； 2.验根方法：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则该值是方程的根(解)。 组织小组对比两个探究活动中的方程，提炼共同特征，明确一元二次方程及 “根” 的定义，引导完成判断练习。 总结方程 “整式、单未知数、最高次数 2” 的特征，掌握定义并完成验根、判断等练习。 通过对比抽象定义，培养概括能力，巩固定义与 “根” 的概念应用。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于的一元二次方程都可以化为的形式。我们把(为已知数，)称为一元二次方程的一般形式，其中，，分别称为二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数。 想一想：为什么要限制 可以为零吗？ 若a=0，则未知数的最高次数不是2次，所以该方程不是一元二次方程.b，c可以为零. 例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)； (2)。 解：(1)移项，整理，得。 这个方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 (2)方程左边多项式相乘，得， 移项，整理，得 这个方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。 例2：已知一元二次方程的两个根为和，求这个方程。 解：将代入方程，得 ， 解得：， 所以这个一元二次方程是. 强调：一元二次方程的一般形式中，通常将项按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。 方法总结： 1.一般形式转化步骤：移项(将所有项移到左边，右边为 0)→ 整理(按未知数次数从高到低排列)； 2.系数识别技巧：先化为标准一般形式 ax +bx+c=0(a≠0)，再依次识别二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c，注意符号不可遗漏； 3.关键提醒：a≠0 是方程为一元二次方程的必要条件，若 a=0，方程退化为一元一次方程。 示范方程化为一般形式的步骤，强调 “a≠0” 的限制条件，引导识别二次项系数、一次项系数和常数项。 按 “移项、整理” 步骤将方程化为一般形式，准确识别各项系数，理解 “a≠0” 的本质原因。 规范方程转化流程，深化对一般形式的理解，培养严谨的数学表达习惯。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 若方程的一个根是，则常数的值为( ) A. B. C. D. 3.关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.1， B. C.1，，1 D.1，5，1 4.在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是( ) A. B. C. D. 5.已知是方程的一个根，则 . 6.若关于的方程是一元二次方程，则 . 7.已知关于x的方程 (1)当k取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k取何值时，它是一元二次方程？ 8.已知x=2是关于x的方程的一个根. (1)求m的值； (2)若这个方程的另一个根为整数x2，且，这两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求的周长. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 定义与特征：掌握一元二次方程的三个核心特征，能准确判断给定方程是否为一元二次方程。 一般形式：熟练将方程化为 ax +bx+c=0(a≠0)的形式，准确识别各项系数(含符号)，理解 a≠0 的本质意义。 根的概念：明确方程根的定义，能验证给定未知数的值是否为方程的根。 建模应用：能从面积、容积等实际问题中提取等量关系，列出一元二次方程，发展模型观念。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.1 一元二次方程和它的解 一、定义 特征：①整式方程；②单未知数；③最高次数为 2 根(解)：使方程左右两边相等的未知数的值 二、一般形式 ax + bx + c = 0(a、b、c 为常数，a≠0) 二次项：ax (系数 a) 一次项：bx(系数 b) 常数项：c 三、核心步骤 列方程：分析实际问题→找等量关系→列方程 化一般形式：移项→整理 验根：代入验证左右两边是否相等 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 2.已知关于的方程的一个根是，则 . 3.下列方程是一元二次方程的一般形式的是( ) A. B. C. D. 4.四位同学一起做游戏，分别出一个一元二次方程，甲：，乙：，丙：，丁：，当这四个方程化为一般形式时，常数项为0的赢，则这次游戏谁赢了 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A. B. C. D 6.把面积为的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分，已知长方形的一边长为6 m，求其邻边长(只需列出方程). 能力提升： 7.关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 ( ) A.0 B.±3 C.3 D.-3 8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1，则下列等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 9.若是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是 ( ) A.-1 B.±1 C.-3 D.±3 10.方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是 ( ) A.4，-1 B.4，1 C.-4，-1 D.-4，1 11.已知是一元二次方程的两个根，求a，b的值. 拓展迁移： 12.有一个三角形，面积为30 cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1 cm，若设这边上的高为x cm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程，若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 13.已知实数是一元二次方程的解，求代数式的值.
教学反思 本节课通过健身区域面积的实际情景，有效激发了学生的探究兴趣，多数学生能理解一元二次方程的定义及一般形式。但存在两点不足：一是部分学生在抽象方程时，因审题不清导致等量关系错误，如混淆 “长比宽的 倍少 米” 的代数式表达；二是对 “” 的理解流于表面，在判断方程是否为一元二次方程时，易忽略该限制条件。后续需增加 “实际问题等量关系辨析” 练习，通过对比 “” 与 “” 时方程的差异，强化对定义本质的理解；同时优化练习设计，分层巩固方程转化与验根技能，更好落实模型观念与推理意识的培养目标。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时学案
课题 2.1一元二次方程和它的解 单元 二 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.理解一元二次方程的定义及 “根” 的概念，能准确判断一元二次方程；掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数和常数项； 2.经历 “实际问题 — 列方程 — 抽象定义 — 探究一般形式” 的过程，提升抽象概括与建模能力； 3.发展模型观念与推理意识，建立 “实际问题—数学模型” 的转化思维； 4.感受一元二次方程与生活的紧密联系，激发探究兴趣，培养规范严谨的数学思维习惯。
重点 1.理解一元二次方程的定义，能准确判断给定方程是否为一元二次方程； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为一般形式并正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。
难点 从含平方关系的实际问题中，准确抽象出一元二次方程模型，同时深刻理解一般形式中 “” 的本质原因(避免方程退化为一元一次方程)。
教学过程
导入新课 情景创设 学校计划在操场旁修建一个长方形健身区域，总面积为平方米。已知该区域的长比宽的2倍少 米，设宽为 米。 提问引导 1.请用含 的代数式表示该区域的长； 2.根据长方形面积公式，列出关于 的方程； 3.这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？
新知讲解 探究活动一：一元二次方程的引入 将一个容积为的包装剪开、铺平纸样如图所示。图中应满足怎样的方程？ 问题1：包装展开图中，哪些边长与未知数 相关？它们之间存在怎样的数量关系？ 问题2结合容积公式，如何列出关于 的方程？该方程与情景创设中的方程有哪些共同特征？ 探究活动二：一元二次方程的定义 合作学习： 列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)某小区规划在两幢楼之间设置一块面积为1200平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，可列出方程： 。 (2)某放射性物质经2天后，该物质的质量衰变为原来的。这种放射性物质平均每天减少率为多少？ 设平均每天减少率为，可列出方程 。 观察上面所列的两个方程，它们有什么共同特征？与一元一次方程比较，有什么相同和不同之处？(请与你的同伴交流) 方程和的两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 次。我们把这样的方程叫作 (quadratic equation in one unknown)。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根)。 做一做： 1.判断下列方程是否为一元二次方程： ； ； ； . 2.判断未知数的值是不是方程的根。 探究活动三：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于的一元二次方程都可以化为 的形式。我们把 称为一元二次方程的一般形式，其中，，分别称为 、 和 ，分别称为 和 。 想一想：为什么要限制？可以为零吗？ 例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)； (2)。 例2：已知一元二次方程的两个根为和，求这个方程。
课堂练习 课堂练习 1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( ) A． B． C． D． 2． 若方程的一个根是，则常数的值为( ) A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．1，， B．，， C．1，，1 D．1，5，1 4．在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图(如图)，如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是( ) A． B． C． D． 5．已知是方程的一个根，则 ． 6．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 7．已知关于x的方程 (1)当k取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k取何值时，它是一元二次方程？ 8．已知x=2是关于x的方程的一个根. (1)求m的值； (2)若这个方程的另一个根为整数x2，且，这两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求的周长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1.下列方程是一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 2.已知关于的方程的一个根是，则 . 3.下列方程是一元二次方程的一般形式的是( ) A. B. C. D. 4.四位同学一起做游戏，分别出一个一元二次方程，甲:，乙:，丙:，丁:，当这四个方程化为一般形式时，常数项为0的赢，则这次游戏谁赢了 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1 260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( ) A. B. C. D 6.把面积为的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分，已知长方形的一边长为6 m，求其邻边长(只需列出方程). 能力提升： 7.关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为 ( ) A.0 B.±3 C.3 D.-3 8.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1，则下列等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 9.若是关于x的一元二次方程，则该方程的一次项系数是 ( ) A.-1 B.±1 C.-3 D.±3 10.方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是 ( ) A.4，-1 B.4，1 C.-4，-1 D.-4，1 11.已知是一元二次方程的两个根，求a，b的值. 拓展迁移： 12.有一个三角形，面积为30 cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1 cm，若设这边上的高为x cm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程，若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项. 13.已知实数是一元二次方程的解，求代数式的值.
情景创设：
1.长为米；
2.面积公式为长×宽，可列方程：，整理得；
3.该方程含未知数的平方项()，未知数最高次数为 ，而一元一次方程未知数最高次数为 。
做一做：
1.答案：(1)，(3)为一元二次方程；(2)为一元一次方程；(4)为分式方程；
2.答案：将代入方程得：方程左边==方程右边，故是方程的根；
将代入方程得：方程左边=≠方程右边，故不是方程的根；
将代入方程得：方程左边==方程右边，故是方程的根.
例1：解：(1)移项，整理，得。
这个方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
(2)方程左边多项式相乘，得，
移项，整理，得
这个方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
例2：解：将代入方程，得
，
解得：，
所以这个一元二次方程是.
课堂练习：
答案：1.C；2.B；3.C；4.D；5.4；6.-1；
7. 解：(1)由关于x的一元一次方程，得
或，
解得或，
当或时，关于x的一元一次方程；
(2)由关于的一元二次方程，得
，
解得k=1，
当时，关于的一元二次方程．
8. (1)解：将代入方程，得，解得m=2.
(2)解：由(1)得方程.
∵为整数，且，
∴可找出是方程的另一个根
∴这两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
∴三边长只能为2，5，5，
∴△ABC的周长.
作业设计：
答案：1.B；2.3；3.A；4.C；5.C；
6.解析 设其邻边长为x m，则可列方程为.
7.D；8.B；；9.C；10.C；
11.解:把x1=1，x2=-3分别代入一元二次方程，
得
解得
12.解:根据题意可得关于x的方程为，它是一元二次方程，整理为一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为.
13.解:因为实数a是一元二次方程的解，
所以，
所以，，
所以原式.
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