(共36张PPT)
课题名称：2.2一元二次方程的解法第1课时
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
经历 “探究原理 — 总结步骤 — 应用求解” 的过程，体会转化与化归思想，提升运算求解能力与问题转化能力；
02
掌握因式分解法解一元二次方程的 “右化零、左分解、两解判” 三步法，能运用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法求解符合特征的一元二次方程；
01
建立 “观察方程结构 — 转化标准形式 — 因式分解降次” 的思维模式，发展运算素养与推理意识；
03
感受方程解法的逻辑性与实用性，培养严谨规范的运算习惯，激发对数学转化思想的探究兴趣。
04
复习回顾
1.因式分解：将下列多项式分解因式：、、；
1.因式分解结果分别为、、；
复习回顾
2.思考：若，则 的值为多少？依据是什么？
2.或 ，依据是 “若两个数的积为 0，则至少其中一个数为 ”；
3.尝试：能否利用上述知识求解方程？
3.可将方程化为，得 或 。
探究新知
探究一:一元二次方程解法引入
如园，工人师傅为了修屋项，把一架梯子靠在墙上。已知米，墙高是梯子底端点B南墙的距离的倍，求墙高。
解：设梯子底端到墙的距离 BC 为 米，则墙高 米。
根据勾股定理，，列方程：，
整理得：，即，
因式分解得：，
解得(舍去负根)，则 米。
答：墙高为米。
探究新知
探究二：因式分解法解一元二次方程
我们知道，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”转化为一元一次方程求解。一元二次方程可转化为一元一次方程求解吗？其基本思路是什么？
合作学习：
1.若,下面两个结论正确吗
(1) 和都为,即,且.
(2) 和中至少有一个为,即或.
2.你能用上面的结论解方程吗 试一试.
探究新知
探究二：因式分解法解一元二次方程
解：1.因为
所以①
②
③
答案：1.(1)不正确，只说明了①这种情况，还有②③情况存在.
(2)正确,①②③都表明若,和中至少有一个为0.
探究新知
探究二：因式分解法解一元二次方程
2.根据,则或解方程即可
解：由题意可得或
∴x1=, x2=
故答案为,
探究新知
探究二：因式分解法解一元二次方程
例1 解下列方程:
(1) . (2).
解:(1)将原方程的左边分解因式,
得,
则或,
解得.
探究新知
探究二：因式分解法解一元二次方程
例1 解下列方程:
(1) . (2).
解: (2)移项,得.
将方程的左边分解因式，
得,
则或,
解得, .
探究新知
概念提取：
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
依据是 “若两个数的积为 0，则至少其中一个数为 ”
探究新知
方法归纳：
因式分解法解方程的基本步骤：
1.移项：将方程的右边化为0；
2.化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
3.转化：令每一个因式都为0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，得原方程的解.
探究新知
探究三：因式分解法的应用
例2 解下列一元二次方程:
(1) ; (2).
解:(1)化简方程,得.
将方程的左边分解因式,得,
则或,
解得.
探究新知
探究三：因式分解法的应用
例2 解下列一元二次方程:
(1) ; (2).
(2)移项,得.
将方程的左边分解因式,得.
,
即.
则,或,
解得.
探究新知
探究三：因式分解法的应用
例3 解方程.
解：移项,得,
即.
则,
解得 .
注意： 表示一元二次方程有两个相等的实数根。
探究新知
方法归纳：
1.方程整理：含括号的方程先展开移项，平方形式的方程先移项化为 “平方差” 形式，统一转化为 ax +bx+c=0（a≠0）的标准形式；
2.因式选择：根据方程特征选合适方法 —— 含公因式的先提公因式，平方差形式用平方差公式，完全平方式用完全平方公式；
3.求解验证：分解后令每个因式为 0，解一元一次方程，结果需结合实际情境验证合理性（如长度为正）。
课堂练习
1.一元二次方程的解是( )
A. B. C.或 D.或
2.一元二次方程的解是( )
A. B. C.， D.，
3.下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是( ).
A. B. C. D.
4.已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为( )
A. B.
C. D.
D
C
B
D
课堂练习
5.方程的根为 .
6.关于的方程的解与的解相同，则的值为 .
7.若，则 = .
或
0
5
课堂练习
8.解下列方程：(1) ; (2) ; (3);
(4) ; (5).
(1)解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
(2)解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
课堂练习
8.解下列方程：(1) ; (2) ; (3);
(4) ; (5).
(4)解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
(3)解：，
系数化为1得：，
=0
，，
，；
课堂练习
8.解下列方程：(1) ; (2) ; (3);
(4) ; (5).
(4)解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
(3)解：，
系数化为1得：，
=0
，，
，；
课堂练习
8.解下列方程：(1) ; (2) ; (3);
(4) ; (5).
(5)解：，
移项得：，
因式分解得：，
，
，.
课堂小结
知识点
1.核心方法：因式分解法解一元二次方程，核心是 “右化零、左分解、降次求解”，依赖提公因式、平方差、完全平方公式。
2.原理本质：利用 “乘积为 0 则至少一个因式为 0” 的逻辑，将二次方程转化为两个一元一次方程，体现转化与化归思想。
3.适用场景：方程能化为两个一次因式乘积形式，尤其适用于含公因式、平方差结构的方程。
4.规范要求：必须先将方程化为标准形式（右边为 0），分解要彻底，结果需结合情境验证合理性，培养严谨运算素养。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.方程的解是 ( )
A. B. C. D.
2.方程的解是 .
3.解方程.
(1) ; (2) .
D
解:(1)方程左边分解因式,
得,
所以或,
解得.
(2)移项,得,
方程左边分解因式,得,
所以或,
解得.
课后提升
基础作业：
4.方程的解是 ( )
A.x=3 B.x=-3 C.x1=3,x2=-3 D.x=9
5.方程的解是 .
6.解下列方程:(1); (2; (3).
C
解:(1),方程两边同时除以4,得,
移项,得,
将方程的左边分解因式,得,
则或,
解得.
课后提升
解:(2),方程两边同时乘,得,
将方程的左边分解因式,得,
则或,
解得.
解:(3),移项,得,
将方程的左边分解因式,得,则或,
解得.
课后提升
提升作业：
7.方程x2=4x 4的解是 ( )
A.x1=x2=2 B.x1=x2= 2 C.x1=2，x2= 2 D.x1=4，x2= 4
8.方程x2+2x+2=0的解是 .
9.若关于x的一元二次方程x2+8x+m=0(m为整数)能利用完全平方公式求解，则m= .
A
x1=x2=-
16
课后提升
提升作业：
10.如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根分别为x1=1，x2= 2，那么二次三项式x2+px+q可分解为 ( )
A.(x+1)(x 2) B.(x+1)(x+2) C.(x 1)(x+2) D.(x 1)(x 2)
C
课后提升
提升作业：
11.下列方程的根是无理数的是 ( )
A. B.
C. D.
12.我们知道,则方程的解为 .
D
,
课后提升
拓展作业：
13.解下列方程:(1);(2);
(3).
解:(1)移项,得,
将方程的左边分解因式,得,
即,
或,
解得,.
课后提升
拓展作业：
13.解下列方程:(1);(2);
(3).
(2)方程可化为,
移项,得,
将方程的左边分解因式,
得,
即,则或,
解得.
课后提升
拓展作业：
13.解下列方程:(1);(2);
(3).
(3)移项,得,即,
则,
解得.
课后提升
拓展作业：
14.探究下表中的奥秘,并完成填空.
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
,
= ,= ( )( )
课后提升
拓展作业：
14.探究下表中的奥秘,并完成填空.
将你发现的结论一般化,并写出来.
发现的一般结论:若一元二次方程的两个根为,则.
Thanks!
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分课时学案
课题 2.2一元二次方程的解法第1课时 单元 二 学科 数学 年级 八
学习目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程的 “右化零、左分解、两解判” 三步法，能运用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法求解符合特征的一元二次方程； 2.经历 “探究原理 — 总结步骤 — 应用求解” 的过程，体会转化与化归思想，提升运算求解能力与问题转化能力； 3.建立 “观察方程结构 — 转化标准形式 — 因式分解降次” 的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受方程解法的逻辑性与实用性，培养严谨规范的运算习惯，激发对数学转化思想的探究兴趣。
重点 1.理解因式分解法解一元二次方程的核心原理(利用 “若 A×B=0 则 A=0 或 B=0” 实现降次)； 2.掌握因式分解法 “右化零、左分解、解一次方程” 的规范步骤，能熟练运用三种因式分解方法求解方程。
难点 将需整理的一元二次方程(如含括号、移项后有常数项或根式系数的方程)转化为 “右边为 0，左边可因式分解” 的标准形式，同时确保因式分解的准确性。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.因式分解：将下列多项式分解因式：、、； 2.思考：若，则 的值为多少？依据是什么？ 3.尝试：能否利用上述知识求解方程？
新知讲解 探究活动一：一元二次方程的实际应用 如园，工人师傅为了修屋项，把一架梯子靠在墙上。已知AB=5米，培高AC是梯子底端点B南培的距离BC的2倍，求墙高AC。 探究活动二：因式分解法 我们知道，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”转化为一元一次方程求解。一元二次方程可转化为一元一次方程求解吗？其基本思路是什么？ 合作学习： 1.若，下面两个结论正确吗？ (1) 和都为，即，且. (2) 和中至少有一个为，即或. 2.你能用上面的结论解方程吗？试一试. 例1 解下列方程： (1) . (2). 探究活动三：因式分解法的运用 例2 解下列一元二次方程： (1) . (2). 例3 解方程. 注意：①表示一元二次方程有两个相等的实数根。 方法总结：
课堂练习 课堂练习 1.一元二次方程的解是( ) A. B. C.或 D.或 2.一元二次方程的解是( ) A. B. C.， D.， 3.下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是( ). A. B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为( ) A. B. C. D. 5.方程的根为 . 6.关于的方程的解与的解相同，则的值为 . 7.若，则 = . 8.解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 9.已知多项式乘法，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：. 【示例】分解因式：. (1)【尝试】分解因式：( )·( ). (2)【应用】请用上述方法解方程. ①； ②.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点 1.核心方法：因式分解法解一元二次方程，核心是 “右化零、左分解、降次求解”，依赖提公因式、平方差、完全平方公式。 2.原理本质：利用 “乘积为 0 则至少一个因式为 0” 的逻辑，将二次方程转化为两个一元一次方程，体现转化与化归思想。 3.适用场景：方程能化为两个一次因式乘积形式，尤其适用于含公因式、平方差结构的方程。 4.规范要求：必须先将方程化为标准形式（右边为 0），分解要彻底，结果需结合情境验证合理性，培养严谨运算素养。
作业设计 基础达标： 1.方程的解是 ( ) A.x=0 B.x=9 C.x=3 D.x1=0，x2=9 2.方程的解是 . 3.解方程. (1) ；(2) . 4.方程的解是 ( ) A.x=3 B.x=-3 C.x1=3，x2=-3 D.x=9 5.方程的解是 . 6.解下列方程： (1)； (2； (3). 能力提升： 7.方程的解是 ( ) A. B. C. D. 8.方程的解是 . 9.若关于的一元二次方程(为整数)能利用完全平方公式求解，则m= . 10.如果关于的方程的两个根分别为，那么二次三项式可分解为 ( ) A. B. C. D. 11.下列方程的根是无理数的是 ( ) A. B. C. D. 拓展迁移： 12.我们知道，则方程的解为 . 13.解下列方程： (1)； (2)； (3). 14.探究下表中的奥秘，并完成填空. 一元二次方程两个根二次三项式因式分解，= ，= ( )( )
将你发现的结论一般化，并写出来.
复习回顾：
1.因式分解结果分别为、、；
2.或 ，依据是 “若两个数的积为 0，则至少其中一个数为 ”；
3.可将方程化为，得 或 。
例题精讲：
例1：解：(1)将原方程的左边分解因式，得，
则或，
解得.
(2)移项，得.
将方程的左边分解因式，得，
则或，
解得x1 = ， x2 = .
例2： 解：(1)化简方程，得.
将方程的左边分解因式，得，
则或，
解得.
(2)移项，得.
将方程的左边分解因式，得.
，
即.
则，或-x-1=0，
解得.
例3：解：移项，得，
即.
则，
解得.①
课堂练习：
答案：1.D；2.C；3.B；4.D；5. 或；
6.0；7. 5；
8. (1)解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
(2)解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
(3)解：，
系数化为1得：，
=0
，，
，；
(4)解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
(5)解：，
移项得：，
因式分解得：，
，
，.
9.(1)，
故答案为：.
(2)解：①，，则或，解得，
②，，
则或，解得.
作业设计：
1.D；2.x1=0，x2=4；3.解：(1)方程左边分解因式，得，
所以或，解得.
(2)移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得.
4.C；5.；
6.解：(1)，方程两边同时除以4，得，
移项，得，将方程的左边分解因式，得，则或，解得.
(2)，方程两边同时乘，得，
将方程的左边分解因式，得，
则或，解得.
(3)，移项，得，将方程的左边分解因式，得，则或，解得.
7.A；8.x1=x2=-；9.16；10.C；11.C；12.
13.解：(1)移项，得，
将方程的左边分解因式，得，
即，或，
解得或.
(2)方程可化为，
移项，得，
将方程的左边分解因式，
得，
即，则或，
解得.
(3)移项，得，即，
则，解得.
14.解：.
发现的一般结论：若一元二次方程的两个根为，则.
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2.2一元二次方程的解法第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 2.2一元二次方程的解法第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实 “数与代数” 领域核心要求：引导学生掌握因式分解法解一元二次方程的基本原理与步骤，理解 “降次”(将二次方程转化为一次方程)的核心思想，发展运算素养与推理意识；能根据方程可因式分解的特征规范求解，体会转化与化归的数学思想；结合因式分解旧知构建方程解法逻辑，为后续配方法、公式法学习奠定基础；通过运算实践培养严谨规范的思维习惯，契合新课标 “强化运算本质，渗透数学思想” 的导向。
教材分析 本节课是一元二次方程解法的起始课，承接 “一元二次方程的定义与一般形式”，聚焦 “因式分解法” 这一基础解法。教材以 “若 则 或 ” 的逻辑为核心铺垫，通过提公因式、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，引导学生将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。例题设计从简单的右化零方程(如)到需整理后分解的方程(如)，再到完全平方形式方程(如)，层层递进。内容编排既衔接因式分解旧知，又构建 “降次求解” 的方程解法体系，体现新课标 “旧知迁移、梯度递进” 的编写理念，是后续复杂解法学习的关键基础。
学情分析 学生已掌握一元二次方程的定义、因式分解的三种基本方法(提公因式、平方差、完全平方公式)，且具备 “转化” 初步思维(如二元一次方程组消元转化)。但存在明显短板：一是对 “若则 或 ” 的逻辑本质理解不透彻，易遗漏 “方程右边化为 0” 的关键步骤；二是面对需先整理的方程(如含括号、移项类)，不会先转化为标准形式再分解；三是因式分解技能不熟练，尤其是含根式或复杂系数的多项式分解易出错，导致影响方程求解，个体差异集中在 “方程整理规范性” 与 “因式分解准确性” 上。
教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程的 “右化零、左分解、两解判” 三步法，能运用提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法求解符合特征的一元二次方程； 2.经历 “探究原理 — 总结步骤 — 应用求解” 的过程，体会转化与化归思想，提升运算求解能力与问题转化能力； 3.建立 “观察方程结构 — 转化标准形式 — 因式分解降次” 的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受方程解法的逻辑性与实用性，培养严谨规范的运算习惯，激发对数学转化思想的探究兴趣。
教学重点 1.理解因式分解法解一元二次方程的核心原理(利用 “若 A×B=0 则 A=0 或 B=0” 实现降次)； 2.掌握因式分解法 “右化零、左分解、解一次方程” 的规范步骤，能熟练运用三种因式分解方法求解方程。
教学难点 将需整理的一元二次方程(如含括号、移项后有常数项或根式系数的方程)转化为 “右边为 0，左边可因式分解” 的标准形式，同时确保因式分解的准确性。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.因式分解：将下列多项式分解因式：、、； 2.思考：若，则 的值为多少？依据是什么？ 3.尝试：能否利用上述知识求解方程？ 预设答案 1.因式分解结果分别为、、； 2.或 ，依据是 “若两个数的积为 0，则至少其中一个数为 ”； 3.可将方程化为，得 或 。 引导学生回顾因式分解旧知与 “若 A×B=0 则 A=0 或 B=0” 的逻辑，关联一元二次方程求解需求，搭建旧知迁移桥梁。 完成因式分解练习，理解乘积为 0 的逻辑本质，尝试用旧知求解简单一元二次方程。 唤醒知识储备，为因式分解法的原理与步骤学习奠定基础，培养知识迁移意识。
探究活动一：一元二次方程的解法引入 如园，工人师傅为了修屋项，把一架梯子靠在墙上。已知AB=5米，墙高AC是梯子底端点B南墙的距离BC的2倍，求墙高AC。 解析梯子靠墙的几何情境，引导学生用勾股定理列一元二次方程，关联因式分解法求解思路。 分析直角三角形边长关系，列出方程并尝试转化为可因式分解的形式，感知实际问题与方程解法的关联。 通过实际情境激发应用兴趣，强化 “实际问题→方程模型→因式分解求解” 的逻辑链。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：因式分解法解一元二次方程 我们知道，解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”转化为一元一次方程求解。一元二次方程可转化为一元一次方程求解吗？其基本思路是什么？ 合作学习： 1.若，下面两个结论正确吗？ (1) 和都为，即，且. (2) 和中至少有一个为，即或. 2.你能用上面的结论解方程吗？试一试. 解：1.因为 所以① ② ③ 答案：1.(1)不正确，只说明了①这种情况，还有②③情况存在. (2)正确，①②③都表明若，和中至少有一个为0. 2.根据，则或解方程即可 解：由题意可得或 ∴x1=， x2= 故答案为， 例1 解下列方程： (1) . (2). 解：(1)将原方程的左边分解因式，得， 则或， 解得. (2)移项，得. 将方程的左边分解因式，得， 则或， 解得x1 = ， x2 = . 概念提取：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 方法归纳：因式分解法解方程的基本步骤： 1.移项：将方程的右边化为0； 2.化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 3.转化：令每一个因式都为0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，得原方程的解. 引导学生验证 “若 A×B=0 则 A=0 或 B=0” 的正确性，示范因式分解法 “右化零、左分解、解一次方程” 的规范步骤。 通过合作学习理解原理，跟随例题掌握步骤，独立完成基础方程求解，交流易错点。 突破 “降次” 核心思想，规范解题流程，培养严谨的运算习惯与推理意识。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：因式分解法的运用 例2 解下列一元二次方程： (1) . (2). 解：(1)化简方程，得. 将方程的左边分解因式，得， 则或， 解得. (2)移项，得. 将方程的左边分解因式，得. ， 即. 则，或， 解得. 例3 解方程. 解：移项，得， 即. 则， 解得. 注意： 表示一元二次方程有两个相等的实数根。 方法总结：1.方程整理：含括号的方程先展开移项，平方形式的方程先移项化为 “平方差” 形式，统一转化为 ax +bx+c=0（a≠0）的标准形式； 2.因式选择：根据方程特征选合适方法 —— 含公因式的先提公因式，平方差形式用平方差公式，完全平方式用完全平方公式； 3.求解验证：分解后令每个因式为 0，解一元一次方程，结果需结合实际情境验证合理性（如长度为正）。 示范含括号、平方形式方程的整理与分解技巧，强调先转化为标准形式再分解的关键，巡视指导复杂方程的求解。 尝试整理含括号、平方项的方程，运用提公因式、平方差等方法分解，规范完成求解过程。 提升因式分解法的综合应用能力，突破 “方程整理→复杂分解” 的难点，落实运算素养。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.一元二次方程的解是( ) A. B. C.或 D.或 2.一元二次方程的解是( ) A. B. C.， D.， 3.下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是( ). A. B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为( ) A. B. C. D. 5.方程的根为 . 6.关于的方程的解与的解相同，则的值为 . 7.若，则 = . 8.解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) 9.已知多项式乘法，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：. 【示例】分解因式：. (1)【尝试】分解因式：( )·( ). (2)【应用】请用上述方法解方程. ①；②. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.核心方法：因式分解法解一元二次方程，核心是 “右化零、左分解、降次求解”，依赖提公因式、平方差、完全平方公式。 2.原理本质：利用 “乘积为 0 则至少一个因式为 0” 的逻辑，将二次方程转化为两个一元一次方程，体现转化与化归思想。 3.适用场景：方程能化为两个一次因式乘积形式，尤其适用于含公因式、平方差结构的方程。 4.规范要求：必须先将方程化为标准形式（右边为 0），分解要彻底，结果需结合情境验证合理性，培养严谨运算素养。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2 一元二次方程的解法（第 1 课时）—— 因式分解法 一、核心原理 若 A×B=0，则 A=0 或 B=0（降次思想） 二、解题步骤 右化零：移项使方程右边为 0； 左分解：将左边分解为两个一次因式的乘积； 解一次：令每个因式为 0，解一元一次方程。 三、典型示例 四、易错提醒 先化零再分解，不可直接分解非零右边的方程； 分解要彻底，避免因式中含二次项； 结果需验证实际意义（如长度、数量为正）。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.方程的解是 ( ) A. B. C. D. 2.方程的解是 . 3.解方程. (1) ；(2) . 4.方程的解是 ( ) A.x=3 B.x=-3 C.x1=3，x2=-3 D.x=9 5.方程的解是 . 6.解下列方程： (1)； (2； (3). 能力提升： 7.方程的解是 ( ) A. B. C. D. 8.方程的解是 . 9.若关于的一元二次方程(为整数)能利用完全平方公式求解，则m= . 10.如果关于的方程的两个根分别为，那么二次三项式可分解为 ( ) A. B. C. D. 11.下列方程的根是无理数的是 ( ) A. B. C. D. 12.我们知道，则方程的解为 . 拓展迁移： 13.解下列方程： (1)； (2)； (3). 14.探究下表中的奥秘，并完成填空. 一元二次方程两个根二次三项式因式分解，= ，= ( )( )
将你发现的结论一般化，并写出来.
教学反思 本节课通过复习旧知有效衔接新知，多数学生能掌握因式分解法的基本步骤，并用提公因式、平方差公式求解基础方程。但存在两点不足：一是部分学生未先将方程右边化为 0 就直接分解(如误分解为)；二是面对含根式或需展开整理的方程(如)，因式分解准确性不足，或不会转化为完全平方形式。后续需增加 “解法易错辨析” 对比练习，强化 “右化零” 的必要性；设计 “阶梯式方程” 练习(直接可分解→需移项→需展开整理→含根式)，逐步提升转化能力，同时穿插因式分解专项巩固，尤其是复杂形式的分解训练，让学生在实践中深化 “降次” 思想，更好落实运算素养的培养目标。
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