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分课时学案
课题 2.2一元二次方程的解法第3课时 单元 二 学科 数学 年级 八
学习目标 1.掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法步骤，能规范求解含整数、分数、根式系数的此类方程； 2.学会运用配方法证明代数式的恒正(负)性，拓展配方法的应用场景，提升运算求解与综合应用能力； 3.深化“化归”思想，建立“非标准方程—标准方程—配方求解”的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受配方法的逻辑性与实用性，培养严谨细致的运算习惯，激发对数学方法综合应用的探究兴趣。
重点 1.掌握“化二次项系数为1—移项—配方—开方—求解”的完整步骤，能规范求解二次项系数不为1的一元二次方程； 2.理解配方法证明代数式恒正(负)性的原理，能运用配方法解决此类综合问题。
难点 在二次项系数不为1的配方过程中，准确处理“化系数为1”后的分数运算，尤其是配方时“一次项系数一半的平方”的计算，避免因分数运算失误导致配方错误。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.用配方法解方程：，请说出关键步骤； 2.尝试求解方程：，这个方程与上一个方程有什么不同？能否转化为上一个方程的形式求解？ 3.思考：代数式的值能否为负数？为什么？
新知讲解 探究活动一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 思考：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？ 合作探究：尝试求解方程：. 探究活动二：用配方法解一元二次方程 例6用配方法解下列一元二次方程： (1)； (2). 探究活动三：配方法的综合运用 例7试说明代数式的值恒为正数。
课堂练习 课堂练习 1.用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是 A．B．C． D． 2.设，其中a为实数，则M与N的大小关系是( ) A．M>N B．M>=N C．M<=N D．不能确定． 3.已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是( ) A．x＞yB．x＝yC．x＜y D．x＞y、x＝y、x＜y都有可能 4.用配方法解一元二次方程，变形为，则 ， ． 5.若，则 . 6.已知，那么的值是 ． 7.若为有理数，且，则 ． 8.解方程(配方法) (1) (2) 9.教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等. 例如：分解因式：x2＋2x－3. 原式. 例如：求代数式的最小值. 原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8 ∴当时，有最小值，最小值是－8. (1)请用上述方法分解因式： ； (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数； (3)当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.核心方法：掌握 “化系数为 1→移项→配方→开方→求解” 的完整流程，核心是通过等式性质将非标准方程转化为已学类型，体现化归思想。 2.运算规范：重点突破分数运算、二次项系数转化、配方时的常数项计算等易错点，确保每一步变形的恒等性。 3.综合应用：能运用配方法对二次三项式变形，证明代数式的恒正（负）性，理解完全平方式的非负性本质。
作业设计 基础达标： 1.方程的解是( ) A B.C. D. 2.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为( ) A.9 B.-9 C.1 D.-1 3.方程的一个解是，则另一个解是 . 4.用配方法解一元二次方程，变形为的形式(均为常数)，则h和k的值分别为 . 5.用配方法解下列一元二次方程. (1)； (2). 能力提升： 6.在解方程时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是 ( ) A.两人都正确 B.小贤正确，小淇不正确 C.小贤不正确，小淇正确 D.两人都不正确 7.设x1为一元二次方程较小的根，则 ( ) A. B.C. D. 8.写出一个一元二次方程，使它的二次项系数为2，一个根是-3，另一个根为正数，则这个方程可以为 . 9.关于x的一元二次方程的配方结果为，则a= ，b= . 10.解方程：. 11.一个容器盛满纯药液45升，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是20升，则每次倒出的液体是多少升？ 12.已知是一个关于x的完全平方式，求常数a的值. 拓展迁移： 13.小明同学用配方法解方程的简要步骤如下： 解： ， (1)上述步骤，发生错误是在 ( ) A.第二步 B.第三步 C.第四步 D.第一步 (2)写出上述步骤中发生错误的原因，并尝试写出解方程的步骤. 14.阅读材料：把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、或、是的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项). 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)将配方(至少两种形式)； (3)已知，求的值.
参考答案：
复习回顾：
1.关键步骤：移项得，配方加9得，开方解得或；
2.不同点是二次项系数为(不为1)；可两边同除以转化为，再用配方法求解；
3.不能为负数，配方得，因，故代数式最小值为，恒为正数。
探究活动一：
合作探究：解：方程两边同时除以3，得，
移项，得，
方程两边同加上4，得，
即，
则或，
解得，.
探究活动二：例6：解：(1)方程的两边同时除以，得，
移项，得解得，
方程的两边同时加上，得，即
则，或，
解得，.
(2)方程的两边同时除以，得，
移项，得解得，
方程的两边同时加上，得，
即，
则，或，
解得，.
探究活动三：例7：解：.
因为，
所以，
所以代数式的值恒为正数。
课堂练习：
答案：1.A；2.D；3.A；4.；；5.1；-9；6.-5；7.9；
8.(1)解：，
，
，
，即，
，
；
9.解：(1)
(2)解：原式=
(3)解：原式
∴当，，
即，时，最小值为5.
作业设计：
答案：1.C 方程2x2-3x-5=0两边同时除以2，
得x2-=0，移项，得x2-，
方程两边同时加上，
得x2-，
即，则x-，
解得x1=，x2=-1.
2.C 方程3x2-6x+2=0，
方程两边同时除以3，得x2-2x+=0.
移项，得x2-2x=-.
方程两边同时加上1，得x2-2x+1=1-，
即(x-1)2=，∴m=1.
3.x=-
解析 因为2x2-x-a=0的一个解是x=1，
所以2-1-a=0，解得a=1，
所以这个方程为2x2-x-1=0，解得x1=-，x2=1.
所以这个方程的另一个解为x=-.
4.，-
解析 移项，得4x2-7x=1，方程两边都除以4，
得x2-，方程两边都加上，
得x2-，
即，∴=0，
∴h=，k=-.
5.解析 (1)方程两边同时除以2，得x2+2x+=0，
移项，得x2+2x=-，
方程两边同时加上1，得x2+2x+1=-+1，
即(x+1)2=，则x+1=，
解得x1=-1+，x2=-1-.
(2)方程两边同时除以4，得x2-2x+=0，
移项，得x2-2x=-，
方程两边同时加上1，得x2-2x+1=-+1，
即(x-1)2=，则x-1=，
解得x1=，x2=.
6.A
7.B ∵2x2-4x=2，∴x2-2x+1=2，∴(x-1)2=2，
∴x-1=±，∴x1=1-，x2=1+，
∴-18.2(x+3)(x-2)=0(答案不唯一)
解析 答案不唯一，如：设方程的另一个正数解为x=2，
则方程为2(x+3)(x-2)=0.
9.-5；5
解析 方程5x2-2ax-b=0两边同时除以5，
得x2-=0，
移项，得x2-，
方程两边同时加上，
得x2-，
即，
因为关于x的一元二次方程5x2-2ax-b=0的配方结果为(x+1)2=2，
所以-=1，=2，
解得a=-5，所以b=5.
10.解析 方程两边同时除以2，得x2-x-=0，
移项，得x2-x=，
方程两边同时加上，得x2-x+，
所以，开平方，得x-，
解得x1=，x2=.
11.解析 设每次倒出的液体是x升，则第一次倒出再加满水后药液的浓度为×100%，
(45-x)×100%=20，
解得x1=15，x2=75(不合题意，舍去).
∴每次倒出的液体是15升.
12.解析 -4x2+8(2a-3)x-24a
=-4[x2-2(2a-3)x]-24a
=-4[x2-2(2a-3)x+(2a-3)2-(2a-3)2]-24a
=-4[x2-2(2a-3)x+(2a-3)2]+4(2a-3)2-24a
=-4[x-(2a-3)]2+4(2a-3)2-24a，
∵-4x2+8(2a-3)x-24a是一个关于x的完全平方式，
∴4(2a-3)2-24a=0，解得a1=，a2=.
13.解析 (1)发生错误是在第三步.故选B.
(2)错误的原因是等式的两边应该加上“一次项系数一半的平方”，其正确的解题步骤为6x2-x-1=0，
∴x2-=0，∴x2-，
∴x2-，
∴，∴x-，
则x=，解得x1=，x2=-.
14.解析 (1)x2-4x+2=(x-2)2-2，
x2-4x+2=(x+)2-(2+4)x
=(x-)2+(2-4)x，
x2-4x+2=()2-x2.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab，
a2+ab+b2=b2，
a2+ab+b2=a2.
(3)∵a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0，
∴(b-2)2+(c-1)2=0，
∴
∴a+b+c=4.
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课题名称：2.2一元二次方程的解法第3课时
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
学会运用配方法证明代数式的恒正(负)性，拓展配方法的应用场景，提升运算求解与综合应用能力；
02
掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法步骤，能规范求解含整数、分数、根式系数的此类方程；
01
深化“化归”思想，建立“非标准方程—标准方程—配方求解”的思维模式，发展运算素养与推理意识；
03
感受配方法的逻辑性与实用性，培养严谨细致的运算习惯，激发对数学方法综合应用的探究兴趣。
04
复习回顾
1.用配方法解方程:，请说出关键步骤；
1.关键步骤:移项得，配方加9得，开方解得或；
2.尝试求解方程:，这个方程与上一个方程有什么不同？能否转化为上一个方程的形式求解？
2.不同点是二次项系数为(不为1)；可两边同除以转化为，再用配方法求解；
复习回顾
3.思考:代数式的值能否为负数？为什么？
3.不能为负数，配方得，
因为，
故代数式最小值为，恒为正数。
探究新知
探究一:配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
思考:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？
答案:当一元二次方程的二次项系数不是1时，只要在方程的两边同时除以二次项系数，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型.
探究新知
探究一:配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
合作探究:尝试求解方程:.
解:方程两边同时除以3，得，
移项，得，
方程两边同加上4，得，
即，
则或，
解得，.
探究新知
方法总结：
配方法解方程的基本步骤:
1.二次项系数化为1:如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数
2.移项:将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方
4.写成的形式
5.用开平方法求解
探究新知
探究二：配方法解一元二次方程
例6 用配方法解下列一元二次方程:
(1); (2).
解:(1)方程的两边同时除以，得，
移项，得解得，
方程的两边同时加上，得，即
则，或，
解得，.
探究新知
探究二：配方法解一元二次方程
例6 用配方法解下列一元二次方程:
(1); (2).
解:(2)方程的两边同时除以，得，
移项，得解得，
方程的两边同时加上，得，
即，
则，或，
解得，.
探究新知
方法总结：
1.转化先行:方程两边同时除以二次项系数，化为的形式；
2.延续旧知:按“移项(常数项到右边)→配方(加一次项系数一半的平方)→化完全平方式→开方→求解”步骤操作；
3.结果规范:根式化为最简，分数化为最简形式，确保解的准确性。
注意事项:
1.化系数为时，所有项(含常数项)需同时除以，不可漏除；
2.配方时，“一次项系数一半的平方”需基于转化后(系数为)的一次项系数计算，而非原方程系数；
3.分数运算需通分、约分规范，避免出现的一半平方误算为以外的错误。
探究新知
探究三：配方法的综合运用
例7 试说明代数式的值恒为正数。
解:
.
因为，
所以，
所以代数式的值恒为正数。
探究新知
方法总结：
方法总结:
1.提取系数:提取二次项系数(若不为1)，将代数式化为的形式；
2.配方变形:对括号内部分配方，化为整理为的形式；
3.分析取值:根据完全平方式的非负性()，结合的符号，判断代数式的取值范围。
注意事项:
1.提取二次项系数时，括号内各项需同步除以该系数，避免符号或系数失误；
2.配方后需保留完整的常数项(含提取系数后的运算)，不可遗漏常数项的变形；
3.证明时需明确“完全平方式非负”的前提，逻辑连贯推导代数式的取值结论。
课堂练习
1.用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是( )
A. B. C. D.
2.设，其中a为实数，则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定．
A
D
课堂练习
3.已知，，当实数变化时，与的大小关系是( )
A. B. C. D.、、都有可能
4.用配方法解一元二次方程，变形为，则 ， ．
A
课堂练习
5.若，则 .
6.已知，那么的值是 .
7.若为有理数，且，则 .
8.解方程:(1); (2)
1
-9
(1)解：，
，
，即，
，
，
即，；
(2)解：，
，
，即，
，则或，
即．
课堂练习
9.教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：.
原式.
例如：求代数式的最小值.
原式
∴当时，有最小值，最小值是－8.
(1)请用上述方法分解因式： ；
(2)试说明：取任何实数时，多项式的值总为正数；
(3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值.
课堂练习
解:(1);
(2)解:原式=;
(3)解:原式
∴当，，
即，时，最小值为5.
课堂小结
知识点：
1.核心方法：掌握“化系数为1→移项→配方→开方→求解”的完整流程，核心是通过等式性质将非标准方程转化为已学类型，体现化归思想;
2.运算规范：重点突破分数运算、二次项系数转化、配方时的常数项计算等易错点，确保每一步变形的恒等性;
3.综合应用：能运用配方法对二次三项式变形，证明代数式的恒正（负）性，理解完全平方式的非负性本质。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.方程的解是( )
A. B. C. D.
2.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为( )
A.9 B.-9 C.1 D.-1
3.方程的一个解是，则另一个解是 .
4.用配方法解一元二次方程，变形为的形式(均为常数)，则和的值分别为 .
C
C
，-
课后提升
基础作业：
5.用配方法解下列一元二次方程.
(1) (2).
解:(1)方程两边同时除以2，得，
移项，得，
方程两边同时加上1，得，
即，则，
解得，.
课后提升
基础作业：
5.用配方法解下列一元二次方程.
(1) (2).
解:(2)方程两边同时除以4，得，
移项，得，
方程两边同时加上1，得，
即，则，
解得，.
课后提升
能力提升：
6.在解方程时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是 ( )
A.两人都正确 B.小贤正确，小淇不正确
C.小贤不正确，小淇正确 D.两人都不正确
A
课后提升
提升作业：
7.设x1为一元二次方程较小的根，则 ( )
A. B. C. D.
8.写出一个一元二次方程，使它的二次项系数为2，一个根是-3，另一个根为正数，则这个方程可以为 .
9.关于x的一元二次方程的配方结果为，则a= ，b= .
10.解方程:.
B
(答案不唯一)
-5
解:方程两边同时除以2，得x2-x-=0，移项，得x2-x=，
方程两边同时加上，得x2-x+，所以，开平方，得x-，
解得x1=，x2=.
5
课后提升
提升作业：
11.已知是一个关于x的完全平方式，求常数a的值.
解
，
是一个关于x的完全平方式，
，解得，.
课后提升
拓展作业：
12.小明同学用配方法解方程的简要步骤如下:
解:，
(1)上述步骤，发生错误是在( )
A.第二步 B.第三步 C.第四步 D.第一步
(2)写出上述步骤中发生错误的原因，并尝试写出解方程的步骤.
B
课后提升
拓展作业：
(2)错误的原因是等式的两边应该加上“一次项系数一半的平方”，其正确的解题步骤为，
，，
，
，，
则，解得，.
课后提升
13.阅读材料:把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.
例如:、或、是的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方;
(2)将配方(至少两种形式);
(3)已知，求的值.
课后提升
拓展作业：
解:(1)，
，
.
(2)，
，
.
课后提升
拓展作业：
解: (3)，
，
∴解得
Thanks!
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2.2一元二次方程的解法第3课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 2.2一元二次方程的解法第3课时 课时 3
课标要求 本节课需落实“数与代数”领域核心要求：引导学生掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法，深化“化归”思想(将非标准形式转化为标准形式)，发展运算素养与推理意识；能规范完成“化二次项系数为1—配方—开方—求解”的完整流程，拓展配方法的适用范围；通过代数式恒正(负)性证明，体会配方法的综合应用价值；为后续推导求根公式奠定逻辑基础，契合新课标“强化运算完整性，渗透思想方法”的导向。
教材分析 本节课是配方法教学的深化拓展课，承接第2课时“二次项系数为1的配方法”，聚焦“二次项系数不为1的配方法”及配方法的综合应用。教材以“化归思想”为核心，通过“两边同除以二次项系数”将非标准方程转化为已学类型，再延续“移项—配方—开方”步骤；同时新增代数式恒正(负)性证明例题，拓展配方法的应用场景。例题设计从整数系数方程(如)到分数、根式系数方程，层层递进。内容编排既巩固旧知又突破局限，体现新课标“梯度拓展、综合应用”的编写理念，是构建完整配方法知识体系的关键环节。
学情分析 学生已掌握二次项系数为1的配方法、等式性质及完全平方公式，理解“配方需加一次项系数一半的平方”的操作，但存在明显短板：一是面对二次项系数不为1的方程，不会主动先“化系数为1”，或化系数时出现分数运算错误；二是配方过程中，忽略“化系数后再计算一次项系数一半的平方”，仍沿用原系数计算；三是处理含分数、小数系数的方程时，运算严谨性不足，易出现步骤遗漏或计算失误，个体差异集中在“系数转化的准确性”与“分数运算的规范性”上。
教学目标 1.掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法步骤，能规范求解含整数、分数、根式系数的此类方程； 2.学会运用配方法证明代数式的恒正(负)性，拓展配方法的应用场景，提升运算求解与综合应用能力； 3.深化“化归”思想，建立“非标准方程—标准方程—配方求解”的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受配方法的逻辑性与实用性，培养严谨细致的运算习惯，激发对数学方法综合应用的探究兴趣。
教学重点 1.掌握“化二次项系数为1—移项—配方—开方—求解”的完整步骤，能规范求解二次项系数不为1的一元二次方程； 2.理解配方法证明代数式恒正(负)性的原理，能运用配方法解决此类综合问题。
教学难点 在二次项系数不为1的配方过程中，准确处理“化系数为1”后的分数运算，尤其是配方时“一次项系数一半的平方”的计算，避免因分数运算失误导致配方错误。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.用配方法解方程：，请说出关键步骤； 2.尝试求解方程：，这个方程与上一个方程有什么不同？能否转化为上一个方程的形式求解？ 3.思考：代数式的值能否为负数？为什么？ 预设答案 1.关键步骤：移项得，配方加9得，开方解得或； 2.不同点是二次项系数为(不为1)；可两边同除以转化为，再用配方法求解； 3.不能为负数，配方得，因，故代数式最小值为，恒为正数。 回顾二次项系数为1的配方法步骤，呈现二次项系数不为1的方程，引导学生思考“如何转化为已学类型”，唤醒化归意识。 复述旧知步骤，尝试转化新方程，感知“化系数为1”的必要性。 搭建“已知→未知”的迁移桥梁，强化配方法核心逻辑，为新知突破铺垫。
探究活动一：配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 思考：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？ 答案：当一元二次方程的二次项系数不是1时，只要在方程的两边同时除以二次项系数，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型. 合作探究：尝试求解方程：. 解：方程两边同时除以3，得， 移项，得， 方程两边同加上4，得， 即， 则或， 解得，. 总结归纳：配方法解方程的基本步骤： 1.二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数 2.移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成的形式 5.用开平方法求解 示范“两边同除以二次项系数”的转化步骤，强调转化依据(等式性质)，引导对比与二次项系数为1的配方差异。 跟随操作完成转化，小组讨论转化的关键目的，明确“统一二次项系数为1”的核心思路。 突破“化系数为1”的难点，理解转化的数学本质，落实化归思想。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：用配方法解一元二次方程 例6用配方法解下列一元二次方程： (1)；(2). 解：(1)方程的两边同时除以，得， 移项，得解得， 方程的两边同时加上，得，即 则，或， 解得，. (2)方程的两边同时除以，得， 移项，得解得， 方程的两边同时加上，得， 即， 则，或， 解得，. 方法总结： 1.转化先行：方程两边同时除以二次项系数，化为的形式； 2.延续旧知：按“移项(常数项到右边)→配方(加一次项系数一半的平方)→化完全平方式→开方→求解”步骤操作； 3.结果规范：根式化为最简，分数化为最简形式，确保解的准确性。 注意事项： 1.化系数为时，所有项(含常数项)需同时除以a，不可漏除； 2.配方时，“一次项系数一半的平方”需基于转化后(系数为)的一次项系数计算，而非原方程系数； 3.分数运算需通分、约分规范，避免出现的一半平方误算为以外的错误。 规范“化系数为1→移项→配方→开方→求解”完整流程，聚焦分数运算细节，巡视纠正配方时的常数项计算错误。 按步骤求解整数、分数系数方程，规范书写过程，交流易错点(如配方时漏乘系数、分数平方失误)。 掌握完整解题流程，强化运算严谨性，提升规范解题能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：配方法的综合运用 例7试说明代数式的值恒为正数。 解：. 因为， 所以， 所以代数式的值恒为正数。 方法总结： 1.提取系数：提取二次项系数(若不为1)，将代数式化为的形式； 2.配方变形：对括号内部分配方，化为整理为的形式； 3.分析取值：根据完全平方式的非负性()，结合的符号，判断代数式的取值范围。 注意事项： 1.提取二次项系数时，括号内各项需同步除以该系数，避免符号或系数失误； 2.配方后需保留完整的常数项(含提取系数后的运算)，不可遗漏常数项的变形； 3.证明时需明确“完全平方式非负”的前提，逻辑连贯推导代数式的取值结论。 引导迁移配方法至代数式变形，示范提取二次项系数后的配方技巧，解释非负项与常数项的关系。 尝试对二次三项式配方，分析完全平方式的非负性，证明代数式的取值范围。 拓展配方法应用场景，深化对代数式结构的理解，为后续函数最值学习埋下伏笔。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是 A. B. C. D. 2.设，其中a为实数，则M与N的大小关系是( ) A.M>N B.M>=N C.M<=N D.不能确定. 3.已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣10，当实数a变化时，x与y的大小关系是( ) A.x＞ yB.x＝y C.x＜y D.x＞y、x＝y、x＜y都有可能 4.用配方法解一元二次方程，变形为，则 ， . 5.若，则 . 6.已知，那么的值是 . 7.若为有理数，且，则 . 8.解方程(配方法) (1) (2) 9.教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等. 例如：分解因式：x2＋2x－3. 原式. 例如：求代数式的最小值. 原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8 ∴当时，有最小值，最小值是－8. (1)请用上述方法分解因式： ； (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数； (3)当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.核心方法：掌握 “化系数为 1→移项→配方→开方→求解” 的完整流程，核心是通过等式性质将非标准方程转化为已学类型，体现化归思想。 2.运算规范：重点突破分数运算、二次项系数转化、配方时的常数项计算等易错点，确保每一步变形的恒等性。 3.综合应用：能运用配方法对二次三项式变形，证明代数式的恒正（负）性，理解完全平方式的非负性本质。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2 一元二次方程的解法（第 3 课时） 一、核心任务 解二次项系数不为 1 的一元二次方程 + 配方法综合应用 二、解题流程（核心） 三、综合应用 代数式恒正 / 负性证明： （利用分析取值） 四、易错提醒 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.方程的解是 ( ) A B. C. D. 2.用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ( ) A.9 B.-9 C.1 D.-1 3.方程的一个解是，则另一个解是 . 4.用配方法解一元二次方程，变形为的形式(均为常数)，则h和k的值分别为 . 5.用配方法解下列一元二次方程. (1)； (2). 能力提升： 6.在解方程时，对方程进行配方，文本框①中是小贤做的，文本框②中是小淇做的，对于两人的做法，下列说法正确的是 ( ) A.两人都正确 B.小贤正确，小淇不正确 C.小贤不正确，小淇正确 D.两人都不正确 7.设x1为一元二次方程较小的根，则 ( ) A. B.C. D. 8.写出一个一元二次方程，使它的二次项系数为2，一个根是-3，另一个根为正数，则这个方程可以为 . 9.关于x的一元二次方程的配方结果为，则a= ，b= . 10.解方程：. 11.已知是一个关于x的完全平方式，求常数a的值. 拓展迁移： 12.小明同学用配方法解方程的简要步骤如下： 解： ， (1)上述步骤，发生错误是在( ) A.第二步 B.第三步C.第四步 D.第一步 (2)写出上述步骤中发生错误的原因，并尝试写出解方程的步骤. 13.阅读材料：把形如的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即. 例如：、或、是的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项). 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出的三种不同形式的配方； (2)将配方(至少两种形式)； (3)已知，求的值.
教学反思 本节课通过旧知迁移有效突破新知难点，多数学生能掌握“化系数为1—配方”的基本流程。但存在两点不足：一是部分学生化二次项系数为1时，分数运算错误(如误化为)；二是证明代数式恒正(负)性时，不会主动配方或配方后忽略非负项的性质分析。后续需增加“系数转化专项练习”，强化分数运算规范；设计“配方步骤分解题”，明确每一步运算依据；同时通过对比不同系数方程的配方过程，深化“化归”思想，提升学生运算的严谨性与综合应用能力，更好落实运算素养的培养目标。
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