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2.2一元二次方程的解法第4课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 2.2一元二次方程的解法第4课时 课时 1
课标要求 本节课需落实“数与代数”领域核心要求：引导学生推导一元二次方程的求根公式，掌握公式法解一元二次方程的步骤，理解根的判别式的意义及作用，发展运算素养与推理意识；能运用求根公式规范求解一元二次方程，通过判别式判断方程根的情况，体会“从特殊到一般”“化归”的数学思想；衔接配方法旧知，构建完整的一元二次方程解法体系，为后续方程应用、函数学习奠定基础，契合新课标“强化逻辑推导，发展核心素养”的导向。
教材分析 本节课是一元二次方程解法的终结性核心课，承接第3课时“二次项系数不为1的配方法”，聚焦“求根公式推导”与“根的判别式应用”。教材以配方法为基础，通过对一般形式进行配方，推导得出求根公式，再从公式推导过程中提炼出根的判别式，明确其与根的情况的关系。例题设计从直接套用公式的基础方程，到需整理后用公式的复杂方程，再到判别式的单独应用，层层递进。内容编排遵循“推导公式—应用公式—拓展判别式”的逻辑，既体现知识的连贯性，又突出公式的普适性，是学生掌握通用解法、提升代数推理能力的关键载体。
学情分析 学生已熟练掌握配方法、二次根式运算，具备一定的代数推理能力，但存在明显短板：一是推导求根公式时，面对含字母的配方过程(如配方)，抽象思维不足，易在字母运算、移项变号环节出错；二是应用求根公式时，忽略先将方程化为一般形式，或代入系数时混淆a、b、c的符号(尤其是b为负数时)；三是对根的判别式与根的情况的对应关系理解不透彻，不会结合判别式预判方程解的可能性，个体差异集中在“字母运算的严谨性”与“公式、判别式的灵活应用”上。
教学目标 1.掌握一元二次方程的求根公式，能将方程化为一般形式后，准确代入公式求解；理解根的判别式的意义，能通过判别式判断方程根的情况(有两个不相等实根、两个相等实根、无实根)； 2.经历“配方推导公式—验证公式—应用公式—探究判别式”的过程，提升代数推理与运算求解能力，体会“从特殊到一般”的思想； 3.建立“先判根(可选—化一般式—代公式—求根”的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受数学公式的简洁性与严谨性，培养规范推理、细致运算的习惯，激发对代数推导的探究兴趣。
教学重点 1.掌握求根公式的推导过程，能熟练运用求根公式解一元二次方程； 2.理解根的判别式的意义，能通过的符号判断一元二次方程根的情况。
教学难点 求根公式的推导过程，尤其是对一般形式方程进行字母配方时，涉及的移项、化系数为1、配方、开方等步骤的严谨性，以及对判别式中“是方程有实根的前提”的本质理解。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 1.用配方法解方程：，请完整写出步骤； 2.思考：若将方程改为，能否用同样的配方法求出的表达式？ 3.尝试：解方程，用配方法求解时步骤繁琐，是否存在更通用、便捷的解法？ 预设答案 1.步骤：两边除以2得，移项得，配方加1得 ，开方解得； 2.理论上可通过配方法推导，但需处理含字母的运算； 3.配方法步骤较多，易出错，需要一种直接代入系数就能求解的通用方法。 回顾二次项系数不为 1 的配方法步骤，提出 “通用解法” 需求，引导学生思考一般形式方程的求解思路。 完成具体方程的配方求解，梳理配方关键步骤，感知 “字母配方” 的必要性。 衔接旧知，搭建 “具体配方→一般推导” 的思维桥梁，为求根公式推导铺垫。
探究活动一：公式法 思考：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式①，你能否用配方法得出①的解？ 填空： 方程的两边同除以____，得. 移项，得=_____________. 方程的两边同加上_____________，得______________. 即 当时， 可得，或 ∴，或 我们也可以简单地表示为 答案： a，，，，， 概念提取： 对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为. 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 引导学生对一般形式方程分步配方，标注每步变形依据，强调的前提。 跟随推导过程完成字母运算，小组讨论关键步骤，验证求根公式的合理性。 经历公式推导的完整过程，培养代数推理能力，深化 “化归” 与 “从特殊到一般” 的数学思想。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：用公式法解一元二次方程 例8用公式法解下列一元二次方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)对方程， ， ， ， ，. (2)移项，得方程， 则， ， ， . (3)方程的两边同乘4，得， 则， ， ， . 方法总结：公式法解方程的基本步骤： 1.将方程化为一般形式； 2.确定的值； 3.计算； 4.：方程有两个不相等的实数根； ：方程有两个相等的实数根； ：方程没有实数根. 5.代入求根公式：化简即可. 示范 “化一般式→定系数→算判别式→代公式→化简” 的规范步骤，强调系数符号与根式化简的准确性。 按步骤求解不同类型方程，规范书写过程，主动规避系数混淆、根式不化简的错误。 掌握公式法的核心流程，落实运算规范，提升准确应用公式的能力。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：一元二次方程的根的判别式 例9 解方程：. 解：去括号，得， 化简，得， 方程的两边同乘，得， 则， ， ， ， 思考：你能用因式分解法解该方程吗？ 解：由原方程，得， 移项，得， ∴=0， 即=0， ∴，或， 解得，. 概念生成：从一元二次方程的求根公式的推导过程中不难看出，方程的根的情况由代数式的值决定。因此叫作一元二次方程的根的判别式，它的值与一元二次方程的根的关系是： 方程有两个不相等的实数根： 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根。 从求根公式提炼判别式，引导分析Δ的符号与根的情况的对应关系，示范判别式的单独应用。 通过实例验证判别式的作用，尝试用判别式预判方程根的情况，总结应用场景。 理解判别式的本质意义，建立 “先判根再求解” 的思维模式，提升推理与决策素养。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 2.一元二次方程根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 3.用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是( ) A.1，2，3 B.1，，3 C.1，2， D.1，， 4.利用公式可解得一元二次方程的两解为，且，则的值为( ) A. B. C. D. 5.若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 . 6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 . 7.解方程： (1)； (2). 8.已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根. (2)若等腰的一边长为，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.公式推导与掌握：理解求根公式源于配方法的一般化推导，熟记公式结构，明确a?=0和Δ≥0的适用前提。 2.公式法应用：熟练掌握 “化一般式 — 算判别式 — 代公式 — 化简” 的规范步骤，精准处理系数符号与根式运算，提升运算准确性。 3.判别式核心作用：掌握Δ=b2 4ac与根的三种对应关系，能独立用判别式预判根的情况，为解题策略选择提供依据。 4.思想与素养：深化 “化归”“从特殊到一般” 的数学思想，建立分类讨论意识，培养严谨的推理习惯与规范的运算素养，为后续方程应用与函数学习奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.2 一元二次方程的解法（第 4 课时）—— 公式法与判别式 一、核心公式 求根公式： 根的判别式： 二、判别式与根的关系 Δ>0：两个不相等的实数根 Δ=0：两个相等的实数根 Δ<0：无实数根 三、公式法解题步骤 化一般式： 算判别式：判断根的情况 代公式：代入求根公式 化简：根式、分数化为最简形式 四、易错提醒 先化一般式再定、、（含符号） 时方程无实数根，无需代公式 根式化简要彻底，结果格式规范 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.关于方程的根的情况，下列说法中正确的是( ) A.有两个相等的实数根B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根D.有两个正实数根 2.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值是( ) A.36 B.-36 C.9 D.-9 3.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 . 4.用公式法解方程时，求根公式中的的值分别是( ) A.1，1，2 B.1，-1，-2C.1，1，-2 D.1，-1，2 5.若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是( ) A. B.C. D. 6.解方程： (1)； (2). 能力提升： 7.一元二次方程的根是( ) A. B. C. D. 8.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A.1或4 B.-1或-4C.-1或4 D.1或-4 9.定义运算：，例如：，则方程的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 10.若正数a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是 . 11.已知关于的方程. (1)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 12.已知a，b，c均为实数，且，求关于x的方程的根. 拓展迁移： 13.已知关于x的一元二次方程，其中分别为的三边的长. (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 14.小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，(第一步) ，(第二步) ，(第三步) .(第四步) (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误的原因是 . (2)请你写出此题正确的解答过程.
教学反思 本节课通过配方法旧知迁移推导求根公式，多数学生能掌握公式应用与判别式判断，但存在两点不足：一是公式推导中，部分学生对字母配方的逻辑理解模糊，尤其在“化系数为1后配方常数项的计算”“开方时二次根式的化简”环节出错；二是应用公式时，仍有学生未先将方程化为一般形式就代入系数，或混淆b的符号(如将中误记为)。后续需增加“公式推导步骤分解微课”，强化字母运算逻辑；设计“系数代入易错辨析题”，标注关键符号；通过“先判根再求解”的专项练习，深化判别式的应用意识，让学生在实践中提升推理严谨性与运算准确性，更好落实核心素养培养目标。
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课题名称：2.2一元二次方程的解法第4课时
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
经历“配方推导公式—验证公式—应用公式—探究判别式”的过程，提升代数推理与运算求解能力，体会“从特殊到一般”的思想；
02
掌握一元二次方程的求根公式，能将方程化为一般形式后，准确代入公式求解；理解根的判别式的意义，能通过判别式判断方程根的情况(有两个不相等实根、两个相等实根、无实根)；
01
建立“先判根(可选—化一般式—代公式—求根”的思维模式，发展运算素养与推理意识；
03
感受数学公式的简洁性与严谨性，培养规范推理、细致运算的习惯，激发对代数推导的探究兴趣。
04
复习回顾
1.用配方法解方程：，请完整写出步骤；
1.步骤：两边除以2得，
移项得，
配方加1得 ，
开方解得；
复习回顾
2.思考：若将方程改为，能否用同样的配方法求出的表达式？
2.理论上可通过配方法推导，但需处理含字母的运算；
3.尝试：解方程，用配方法求解时步骤繁琐，是否存在更通用、便捷的解法？
3.配方法步骤较多，易出错，需要一种直接代入系数就能求解的通用方法。
探究新知
探究一:公式法
思考:任何一个一元二次方程都可以写成一般形式①,你能否用配方法得出①的解？
填空:
方程的两边同除以____,得.
移项,得=_____________.
方程的两边同加上_____________,得_______
_______.
a
探究新知
探究一:公式法
填空:
即
当时,
可得,或
∴,或
我们也可以简单地表示为
探究新知
概念提取：
对于一元二次方程,如果,那么方程的两个根为.
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数的值,直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
探究新知
探究二：公式法解一元二次方程
例8用公式法解下列一元二次方程:
(1); (2); (3).
解:(1)对方程,
,
，
,
,.
探究新知
探究二：公式法解一元二次方程
例8用公式法解下列一元二次方程:
(1); (2); (3).
解: (2)移项,得方程,
则,
，
,
.
探究新知
探究二：公式法解一元二次方程
例8用公式法解下列一元二次方程:
(1); (2); (3).
解: (3)方程的两边同乘4,得,
则,
，
,
.
探究新知
方法总结：
公式法解方程的基本步骤：
1.将方程化为一般形式;
2.确定的值;
3.计算;
4.：方程有两个不相等的实数根;
：方程有两个相等的实数根;
：方程没有实数根.
5.代入求根公式：化简即可.
探究新知
探究三：一元二次方程的根的判别式
例9 解方程：.
解：去括号，得,
化简，得,
方程的两边同乘，得,
则,
，
,
,
探究新知
探究三：一元二次方程的根的判别式
思考：你能用因式分解法解该方程吗？
解：由原方程，得,
移项，得,
∴=0,
即=0，
∴,或,
解得,.
探究新知
概念生成：
从一元二次方程的求根公式的推导过程中不难看出,方程的根的情况由代数式的值决定。因此叫作一元二次方程的根的判别式,它的值与一元二次方程的根的关系是：
方程有两个不相等的实数根：
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根。
课堂练习
1.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
2.一元二次方程根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定
3.用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是( )
A.1，2，3 B.1，，3 C.1，2， D.1，，
4.利用公式可解得一元二次方程的两解为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
D
A
C
D
课堂练习
5.若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 .
6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .
7.解方程：(1); (2).
且
(1)解：
移项得:，
因式分解得:，
则或，
∴，；
(2)解：
整理得:，
则，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，.
课堂练习
8.已知关于的方程，
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根.
(2)若等腰的一边长为，另两边长,恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.
解:(1)证明:
，
∴无论取什么实数值，方程总有实数根；
课堂练习
8.已知关于的方程，
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根.
(2)若等腰的一边长为，另两边长,恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.
解: (2)解:当为腰时,
由题意,是方程的一个根,
代入得，化简得,或,
若,原方程,两根为,,此时周长为;
若,原方程,两根为,,此时周长为;
课堂练习
8.已知关于的方程，
(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根.
(2)若等腰的一边长为，另两边长,恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.
解: 当为底时，
由题意,方程有两个相同实数根,
,，
原方程，,此时三边无法构成三角形,舍去;
综上,等腰三角形的周长为或.
课堂小结
知识点：
1.公式推导与掌握：理解求根公式源于配方法的一般化推导，熟记公式结构，明确和的适用前提。
2.公式法应用：熟练掌握 “化一般式 — 算判别式 — 代公式 — 化简” 的规范步骤，精准处理系数符号与根式运算，提升运算准确性。
3.判别式核心作用：掌握与根的三种对应关系，能独立用判别式预判根的情况，为解题策略选择提供依据。
4.思想与素养：深化 “化归”“从特殊到一般” 的数学思想，建立分类讨论意识，培养严谨的推理习惯与规范的运算素养，为后续方程应用与函数学习奠定基础。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.关于方程的根的情况,下列说法中正确的是( )
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个正实数根
2.若关于的方程有两个相等的实数根,则c的值是( )
A.36 B.-36 C.9 D.-9
3.如果关于的方程没有实数根,那么的取值范围是 .
4.用公式法解方程时,求根公式中的的值分别是( )
A.1,1,2 B.1,-1,-2C.1,1,-2 D.1,-1,2
B
C
C
课后提升
基础作业：
5.若是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是( )
A. B. C. D.
6.解方程:(1); (2).
解:(1)整理得,
其中.
,
,
解得.
B
解:(2)方程中,
,
,
,
解得.
课后提升
能力提升：
7.一元二次方程的根是( )
A. B. C. D.
8.若是关于的一元二次方程的一个根,则的值为( )
A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-4
9.定义运算:,例如:,则方程的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定
10.若正数a是关于x的一元二次方程的一个根,是关于x的一元二次方程的一个根,则的值是 .
C
B
A
5
课后提升
提升作业：
11.已知关于的方程.
(1)若该方程的一个根为,求的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解:(1)该方程的一个根为1,
,
,将代入方程得,
即,
.
课后提升
提升作业：
11.已知关于的方程.
(1)若该方程的一个根为,求的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解:(2)在中,
,
∴不论取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
课后提升
提升作业：
12.已知a,b,c均为实数,且,求关于x的方程的根.
解:,
,
∴
∴关于的方程为,
利用公式法解得.
课后提升
拓展作业：
13.已知关于x的一元二次方程,其中分别为的三边的长.
(1)如果是方程的根,试判断的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断的形状,并说明理由;
(3)如果是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
解:(1)是等腰三角形.
理由:把代入原方程,得,
所以,
故是等腰三角形.
课后提升
拓展作业：
(2)是直角三角形.
理由:因为方程有两个相等的实数根,所以,
所以,
所以,故是直角三角形.
(3)如果是等边三角形,
那么,所以方程可化为,
所以,所以方程的解为.
课后提升
拓展作业：
14.小明在用公式法解方程时出现了错误,解答过程如下:
,(第一步)
,(第二步)
,(第三步)
.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第 步开始出错的,其错误的原因是 .
(2)请你写出此题正确的解答过程.
一
方程没有化成一般式.
课后提升
拓展作业：
解(2)方程化为,
,
.
,.
Thanks!
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分课时学案
课题 2.2一元二次方程的解法第4课时 单元 二 学科 数学 年级 八
学习 目标 1.掌握一元二次方程的求根公式，能将方程化为一般形式后，准确代入公式求解；理解根的判别式的意义，能通过判别式判断方程根的情况(有两个不相等实根、两个相等实根、无实根)； 2.经历“配方推导公式—验证公式—应用公式—探究判别式”的过程，提升代数推理与运算求解能力，体会“从特殊到一般”的思想； 3.建立“先判根(可选—化一般式—代公式—求根”的思维模式，发展运算素养与推理意识； 4.感受数学公式的简洁性与严谨性，培养规范推理、细致运算的习惯，激发对代数推导的探究兴趣。
重点 1.掌握求根公式的推导过程，能熟练运用求根公式解一元二次方程； 2.理解根的判别式的意义，能通过的符号判断一元二次方程根的情况。
难点 求根公式的推导过程，尤其是对一般形式方程进行字母配方时，涉及的移项、化系数为1、配方、开方等步骤的严谨性，以及对判别式中“是方程有实根的前提”的本质理解。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.用配方法解方程：，请完整写出步骤； 2.思考：若将方程改为，能否用同样的配方法求出的表达式？ 3.尝试：解方程，用配方法求解时步骤繁琐，是否存在更通用、便捷的解法？
新知讲解 探究活动一：公式法 思考：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式①，你能否用配方法得出①的解？ 填空： 方程的两边同除以____，得. 移项，得=_____________. 方程的两边同加上_____________，得______________. 即 当时， 可得 ，或___________________________ ∴，或____________________ 概念提取： 探究活动二：用公式法解一元二次方程 例8用公式法解下列一元二次方程： (1)；(2)； (3). 探究活动三：一元二次方程的根的判别式 例9解方程：. 思考：你能用因式分解法解该方程吗？
课堂练习 课堂练习 1.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 2.一元二次方程根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能判定 3.用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是( ) A.1，2，3 B.1，，3 C.1，2， D.1，， 4.利用公式可解得一元二次方程的两解为，且，则的值为( ) A. B. C. D. 5.若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 . 6.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 . 7.解方程： (1)； . 8.已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根. (2)若等腰的一边长为，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.公式推导与掌握：理解求根公式源于配方法的一般化推导，熟记公式结构，明确a?=0和Δ≥0的适用前提。 2.公式法应用：熟练掌握 “化一般式 — 算判别式 — 代公式 — 化简” 的规范步骤，精准处理系数符号与根式运算，提升运算准确性。 3.判别式核心作用：掌握Δ=b2 4ac与根的三种对应关系，能独立用判别式预判根的情况，为解题策略选择提供依据。 4.思想与素养：深化 “化归”“从特殊到一般” 的数学思想，建立分类讨论意识，培养严谨的推理习惯与规范的运算素养，为后续方程应用与函数学习奠定基础。
作业设计 基础达标： 1.关于方程的根的情况，下列说法中正确的是( ) A.有两个相等的实数根B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根D.有两个正实数根 2.若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值是( ) A.36 B.-36 C.9 D.-9 3.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 . 4.用公式法解方程时，求根公式中的的值分别是( ) A.1，1，2 B.1，-1，-2C.1，1，-2 D.1，-1，2 5.若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是( ) A. B.C. D. 6.解方程： (1)； (2). 能力提升： 7.一元二次方程的根是( ) A. B. C. D. 8.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为( ) A.1或4 B.-1或-4C.-1或4 D.1或-4 9.定义运算：，例如：，则方程的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 10.若正数a是关于x的一元二次方程的一个根，是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是 . 11.已知关于的方程. (1)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 12.已知a，b，c均为实数，且，求关于x的方程的根. 拓展迁移： 13.已知关于x的一元二次方程，其中分别为的三边的长. (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 14.小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下： ，(第一步) ，(第二步) ，(第三步) .(第四步) (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，其错误的原因是 . (2)请你写出此题正确的解答过程.
参考答案：
复习回顾：
1.步骤：两边除以2得，移项得，配方加1得 ，开方解得；
2.理论上可通过配方法推导，但需处理含字母的运算；
3.配方法步骤较多，易出错，需要一种直接代入系数就能求解的通用方法。
探究一：答案：
a，，，，，
探究二：
例8：解：(1)对方程，
，
，
，
，.
(2)移项，得方程，
则，
，
，
.
(3)方程的两边同乘4，得，
则，
，
，
.
探究三：
例9：解：去括号，得，
化简，得，
方程的两边同乘，得，
则，
，
，
，
思考：解：由原方程，得，
移项，得，
∴=0，
即=0，
∴，或，
解得，.
课堂练习：
1.【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得：且，
故答案为：D.
2.【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
3.【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C
4.【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由求根公式可得，
方程的两解为，且，
.
故答案为：D.
5.【答案】且.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝(-6)2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0.
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0.
6.【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，且，
解得且.
故答案为：且.
7.(1)解：
，
，
或，
∴，；
(2)解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，.
8.解：(1)证明：，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
(2)解：当为腰时，
由题意，是方程的一个根，
代入得，化简得，或，
若，原方程，两根为，此时周长为；
若，原方程，两根为，此时周长为；
当为底时，
由题意，方程有两个相同实数根，
，，
原方程，，此时三边无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为或.
作业设计：
答案：1.B 方程x2-2x+3=0中，a=1，b=-2，c=3，b2-4ac=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0，∴方程没有实数根.
2.C ∵关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，∴62-4c=0，解得c=9.
3.k<-
解析 因为关于x的方程2x2+3x-k=0没有实数根，
所以32-4×2×(-k)<0，解得k<-.
4.C 方程x2+x=2，移项，得x2+x-2=0，
所以用公式法解方程x2+x=2时，求根公式中的a=1，b=1，c=-2，故选C.
5.D ∵x=是某个一元二次方程的根，∴这个一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是-2，常数项是-1，∴这个一元二次方程可以是3x2-2x-1=0，故选D.
6.解析 (1)整理得x2+4x-1=0，
其中a=1，b=4，c=-1.
∴b2-4ac=16-4×1×(-1)=20>0，
∴x=，
解得x1=-2+，x2=-2-.
(2)方程3x2-7x+4=0中，a=3，b=-7，c=4，
∴b2-4ac=(-7)2-4×3×4=49-48=1>0，
∴x=，解得x1=，x2=1.
7.C 方程x2+2x-6=0中，a=1，b=2，c=-6，
∴b2-4ac=32>0，∴x=，
∴x1=，x2=-3.故选C.
8.B ∵x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
解得a1=-1，a2=-4，故选B.
9.A ∵x※2=2x2+x-2=0，∴a=2，b=1，c=-2，
∴b2-4ac=12-4×2×(-2)=1+16=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
10.5
解析 将x=a代入方程x2-5x+m=0中，得a2-5a+m=0①；
将x=-a代入方程x2+5x-m=0中，得a2-5a-m=0②.
①+②，得2a2-10a=0，即a2-5a=0，
解得a=0或a=5.∵a是正数，∴a=5.
故答案为5.
11.解析 (1)该方程的一个根为1，
，
，将代入方程得，
即，
.
(2)在中，
，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
12.解析 ，
，
∴
∴关于的方程为，
利用公式法解得.
13.解析 (1)△ABC是等腰三角形.
理由：把代入原方程，得，所以，故△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.
理由：因为方程有两个相等的实数根，所以，所以，所以，故△ABC是直角三角形.
(3)如果△ABC是等边三角形，那么a=b=c，所以方程可化为2ax2+2ax=0，所以2ax(x+1)=0，所以方程的解为x1=0，x2=-1.
14.解析 (1)小明的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是方程没有化成一般式.
故答案为一；方程没有化成一般式.
(2)方程化为，
，
.
，.
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