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分课时学案
课题 2.4一元二次方程的应用第1课时 单元 二 学科 数学 年级 八
学习目标 1.能运用一元二次方程解决利润、增长率等典型实际问题，掌握“审题—设元—找等量关系—列方程—求解—检验”的完整步骤； 2.学会从实际情境中梳理数量关系，准确提炼等量关系建立数学模型，提升建模能力与逻辑分析能力； 3.理解方程解与实际问题的关联，养成解后检验的习惯，发展模型观念与应用意识； 4.感受数学在解决实际问题中的价值，激发运用数学知识解决生活问题的兴趣，培养严谨务实的思维品质。
重点 1.掌握列一元二次方程解实际问题的完整步骤； 2.能从利润、增长率、几何图形等情境中准确提炼等量关系，建立一元二次方程模型。
难点 从复杂实际情境中梳理多变量之间的关联，精准提炼等量关系(如利润问题中“总利润=单利×销量”的动态转化)，并建立符合实际的一元二次方程。
教学过程
导入新课 情景问题 校园文具店销售某款定制笔记本，每本进价4元，原售价6元时，每天可售出80本。经市场调研发现，每本售价每提高0.5元，每天的销量就减少10本。若店主希望每天销售该笔记本的获利达到200元，且售价涨幅不超过5元，每本笔记本应提高多少元？
新知讲解 探究活动一：利润问题1 例1某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入4株时，平均单株盈利3元;以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元，则每盆应植多少株 思考1：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 思考2：它们的主要数量关系是什么？ 探究活动二：利润问题2 思考3：你还有其它方法吗？ 思考4：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗 列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意 探究活动三：增长率问题 平均增长(降低)率问题： 设为起始量，x为增长率，一次增长后，终止量为； 二次增长后，终止量为________； 依此类推，次增长后，终止量为________； 设为起始量，为降低率，一次降低后，终止量为; 二次增长后，终止量为________； 依此类推，次增长后，终止量为________. 例2根据图2-2的统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率(精确到0.1%).
课堂练习 课堂练习 1.某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为( ) A. B. C. D. 2.某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为( ) A. B. C. D.以上答案都不对 3.某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是( ) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 4.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存.设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业.中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 . 6.某商店出售一种玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 . 7.商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此，若销售单价为 元时，商场每天盈利达1500元. 8.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同. (1)求每年绿化面积的平均增长率； (2)若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少 9.诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品.如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元(x≥7). (1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值. (2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点： 1.建模核心：掌握 “实际情境→数学模型→一元二次方程” 的转化，聚焦几何、经济、动态三类典型情境的等量关系提炼。 2.关键公式：熟记利润问题 “总利润 = 单利 × 销量”、增长率问题 “” 的核心公式，理解表达式的实际意义。 3.解题规范：严格遵循 “审设找列解验答” 七步流程，重点落实 “等量关系梳理” 与 “解的实际意义检验”，避免纯代数求解忽略情境约束。 4.思想方法：深化数形结合、建模思想，提升多变量关系分析能力，为后续复杂实际问题求解奠定基础。
作业设计 基础达标： 1.两个连续自然数的积为182，则这两个自然数分别为 ( ) A.10，11 B.11，12 C.12，13 D.13，14 2.两个连续奇数的积是323，求这两个数. 3.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18，求这个两位数. 4.某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，若要获得利润5760元，问销售单价为多少元 设销售单价为x元，可列方程为 ( ) A. B. C. D. 5.某文具店将进价为每支30元的钢笔以每支50元售出，平均每月能售出300支，经试销发现每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少10支，售价不超过100元/支，为实现每月利润8700元，则定价为 元/支. 6.某药品经过两次降价，每瓶售价由200元降为139元.已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是 ( ) A. B. C. D. 能力提升： 7.某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，则x= (用百分数表示). 8.2022年3月份之江汇教育广场的年度经验值为118，5月份之江汇教育广场的年度经验值为295，则年平均增长率为 .(精确到1%，≈2.646，≈3.162) 9.为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2019年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2021年投入资金达到1440万元. (1)从2019年到2021年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少 (2)假设保持年平均增长率不变，请预测一下2022年该县将投入多少资金用于教育扶贫. 10.为执行“均衡教育”政策，某县2020年投入教育经费2500万元，预计到2022年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，这个两位数十位上的数字与个位上的数字交换位置后新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数. 12.随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施的投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”.在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入资金2420万元，设这两年间投入资金的年平均增长率相同. (1)求这两年间的年平均增长率; (2)若对该道路投入资金的年平均增长率不变，求预计完成这条道路改造工程的总投入. 拓展迁移： 13.2020年新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗.2021年七月，国家发布通知，12~17岁的未成年人也可接种新冠疫苗.随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，某生物制药厂现有1条生产线，其最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线 14.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系y=-10x+b. (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式; (2)已知每台设备的成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元
参考答案：
情景问题：
1.梳理数量关系：总利润=单本利润×销量；单本利润=原利润+提高的价格；销量=原销量-减少的销量；
2.设元：设每本笔记本提高元，则单本利润为元，销量为本；
3.列方程：；
4.化简求解：整理得，解得；
5.检验：元元，符合售价涨幅要求，且单本利润、销量均为正数，符合实际；
6.结论：每本笔记本应提高1元。
探究一：解：轮船会受到台风影响，理由如下：
，
.
设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，
则.
.
解得.
受影响的时间为(时).
答：轮船会进入台风影响区，且受影响的时间约为小时。
探究二：例1：解：设每盆应植株，则每盆增加的株数有株，平均单株盈利为元.由题意，得.
化简、整理，得.
解这个方程，得.
经检验，都是方程的解，且符合题意.
答：要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入9株或10株.
探究三：例2：解：设从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为x，
由题意可以列出方程2.8(1+x)2=3.7.
解这个方程，得.
，
(不合题意，舍去).
答：从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率为15.0%.
课堂练习：
答案：1.A;2.D;3.B;4.D;5.;
6.;
7.150或170;
8.(1)解：设每年绿化面积的平均增长率为x．
可列方程：．
解方程，得(不合题意，舍去)．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%；
(2)解：(万平方米)．
答：2024年的绿化面积是1331万平方米．
9.(1)解：根据题意得：，
解得：或，
答：x的值为11或15.
(2)解：设利润为y元，根据题意得：
，
当时，利润取最大值，
答：销售单价定位元，最大利润为.
作业设计：
1.D 设较小的一个自然数为n，则另一个为n+1，
可列方程为，解得n1=13，n2=-14(舍去).所以另一个为14.
2.解：设较小的奇数为x，则可列方程为
x(x+2)=323，解得x1=17，x2=-19.
当较小奇数为17时，较大奇数为19.
当较小奇数为-19时，较大奇数为-17.
3.解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为(x-3).可列方程为x2+(x-3)2=10(x-3)+x+18，
解得x1=7，x2=1.5(舍去)，∴x-3=4，
∴10(x-3)+x=47.答：这个两位数为47.
4.A 根据“每千克利润×销量=总利润”得出关系式，可列方程为(x-40)[500-10(x-50)]=5760.
5.60
解析 设定价为x元/支，则每支钢笔的利润为(x-30)元，月销售量为[300-(x-50)]支，
利用“每支钢笔的销售利润×销售量=总利润”可列出方程为(x-30)[300-(x-50)]=8700.
解得x1=60，x2=320(舍去).
6.A 已知两次降价的百分率都为x，原来每瓶售价为200元，则第一次降价后售价为每瓶200(1-x)元，第二次降价后售价为每瓶200(1-x)2元，根据“该药品经过两次降价，每瓶售价由200元降为139元”可得200(1-x)2=139.
7.30%
解析 因为该网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，
所以2021年的新注册用户数为100(1+x)2万，
因为2021年的新注册用户数为169万，
所以100(1+x)2=169，
解得x=-(舍去)或x=0.3=30%.
∴新注册用户数的年平均增长率为30%.
8.58%
解析 设年平均增长率为x，则118(1+x)2=295，
解得x1=--1(舍去)，
x2=-1=0.581≈58%.
9.解：(1)设该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率为x，
根据题意，得，
解得或(舍).
答：从2019年到2021年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率为20%.
(2)2022年投入的教育扶贫资金为(万元).
10.D 因为每年投入教育经费的年平均增长率为x，2020年投入教育经费2500万元，所以2021年投入教育经费2500(1+x)万元，2022年投入教育经费2500(1+x)2万元，根据预计到2022年底三年累计投入1.2亿元，
可列方程2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.
11.解：设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为x-4，所以这个两位数为.
十位上的数字与个位上的数字交换位置后，新两位数为，
则可列方程为，
解得(舍去).
所以这个两位数为.
答：这个两位数是.
12.解：(1)设这两年间的年平均增长率为x，
根据题意得，
解得(舍去).
答：这两年间的年平均增长率为10%.
(2)根据题意得2020年投入资金(万元)，预计2022年投入资金(万元)，所以完成这条道路改造工程的总投入为(万元).
13.解：设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为万支/天，
依题意得，
整理得，解得.
∵要节省投入，∴.
答：应该增加3条生产线.
14.解：(1)由题可知当时，，
，，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为.
(2)依题意得，
整理得，解得，
又∵此设备的销售单价不得高于70万元，.
答：该设备的销售单价应是50万元.
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课题名称：2.4一元二次方程的应用第1课时
第二章 一元二次方程
初中数学
学习目标
学会从实际情境中梳理数量关系，准确提炼等量关系建立数学模型，提升建模能力与逻辑分析能力；
02
能运用一元二次方程解决利润、增长率等典型实际问题，掌握“审题—设元—找等量关系—列方程—求解—检验”的完整步骤；
01
理解方程解与实际问题的关联，养成解后检验的习惯，发展模型观念与应用意识；
03
感受数学在解决实际问题中的价值，激发运用数学知识解决生活问题的兴趣，培养严谨务实的思维品质。
04
情景问题
校园文具店销售某款定制笔记本，每本进价4元，原售价6元时，每天可售出80本。经市场调研发现，每本售价每提高0.5元，每天的销量就减少10本。若店主希望每天销售该笔记本的获利达到200元，且售价涨幅不超过5元，每本笔记本应提高多少元？
1.梳理数量关系:总利润=单本利润×销量；单本利润=原利润+提高的价格；
销量=原销量-减少的销量；
2.设元:设每本笔记本提高元，则单本利润为元，
销量为本；
情景问题
3.列方程:；
4.化简求解:整理得，解得；
5.检验:元元，符合售价涨幅要求，且单本利润、销量均为正数，符合实际；
6.结论:每本笔记本应提高1元。
探究新知
探究一：利润问题1
例1某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入4株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元，则每盆应植多少株
已知量:每盆植入4株时，平均单株盈利3元，每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元；
方程未知量:每盆应植多少株能够使每盆的盈利为18元；
思考1:题中的已知量是什么？未知量是什么？
探究新知
探究一：利润问题1
主要数量关系:平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3-0.2×每盆增加的株数.
思考2:它们的主要数量关系是什么？
解题过程：解:设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元.
由题意，得.
化简、整理，得.
解这个方程，得.
经检验，都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入9株或10株.
探究新知
探究二：利润问题2
思考3:你还有其它方法吗？
解:设每盆应植株，则每盆增加的株数有株，平均单株盈利为元.由题意，得.
化简、整理，得.
解这个方程，得.
经检验，都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入9株或10株.
探究新知
探究二：利润问题2
思考4:列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗 列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意
基本相同，要注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义
探究新知
方法总结：
利润问题等量关系:
总利润=单位利润×销售量；
利润=售价进价；利润率=×100%.
探究新知
探究三：增长率问题
平均增长(降低)率问题:
设为起始量，x为增长率，一次增长后，终止量为；
二次增长后，终止量为________；
依此类推，次增长后，终止量为________；
设为起始量，为降低率，一次降低后，终止量为；
二次增长后，终止量为________；
依此类推，次增长后，终止量为________.
探究新知
探究三：根与系数关系的应用
解:设从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为x，
由题意可以列出方程2.8(1+x)2=3.7.
解这个方程，得.
，
(不合题意，舍去).
答:从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率为15.0%.
例2 根据图2-2的统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率(精确到0.1%).
探究新知
方法总结：
增长率问题等量关系:
基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量.
课堂练习
1.某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为( )
A. B.
C. D.
2.某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为( )
A. B.
C. D.以上答案都不对
3.某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
A
D
B
课堂练习
4.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存.设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
5.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业.中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 .
D
课堂练习
6.某商店出售一种玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 .
7.商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此，若销售单价为 元时，商场每天盈利达1500元.
或
课堂练习
8.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同.
(1)求每年绿化面积的平均增长率；
(2)若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少
(1)解:设每年绿化面积的平均增长率为x．
可列方程:．
解方程，得(不合题意，舍去)．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%；
(2)解:(万平方米)．
答:2024年的绿化面积是1331万平方米．
课堂练习
9.诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品.如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元(x≥7).
(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值.
(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
(1)解:根据题意得:，
解得:或，
答:的值为11或15.
(2)解:设利润为y元，根据题意得:
，
当时，利润取最大值，
答:销售单价定位元，最大利润为.
课堂小结
知识点：
1.建模核心：掌握 “实际情境→数学模型→一元二次方程” 的转化，聚焦几何、经济、动态三类典型情境的等量关系提炼。
2.关键公式：熟记利润问题 “总利润 = 单利 × 销量”、增长率问题 “” 的核心公式，理解表达式的实际意义。
3.解题规范：严格遵循 “审设找列解验答” 七步流程，重点落实 “等量关系梳理” 与 “解的实际意义检验”，避免纯代数求解忽略情境约束。
4.思想方法：深化数形结合、建模思想，提升多变量关系分析能力，为后续复杂实际问题求解奠定基础。
知识梳理
课后提升
基础作业：
1.两个连续自然数的积为182，则这两个自然数分别为 ( )
A.10，11 B.11，12 C.12，13 D.13，14
2.两个连续奇数的积是323，求这两个数.
B
解:设较小的奇数为，则可列方程为
，解得.
当较小奇数为时，较大奇数为.
当较小奇数为时，较大奇数为.
课后提升
基础作业：
3.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18，求这个两位数.
解:设个位上的数字为，则十位上的数字为.
可列方程为，
解得(舍去)，
，
.
答:这个两位数为.
课后提升
基础作业：
4.某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，若要获得利润5760元，问销售单价为多少元 设销售单价为x元，可列方程为 ( )
A B
C D
5.某文具店将进价为每支30元的钢笔以每支50元售出，平均每月能售出300支，经试销发现每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少10支，售价不超过100元/支，为实现每月利润8700元，则定价为 元/支.
6.某药品经过两次降价，每瓶售价由200元降为139元.已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是( )
A. B. C. D.
A
60
A
课后提升
能力提升：
7.某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，则x= (用百分数表示).
8.2022年3月份之江汇教育广场的年度经验值为118，5月份之江汇教育广场的年度经验值为295，则年平均增长率为 .(精确到，，)
30%
课后提升
9.为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2019年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2021年投入资金达到1440万元.
(1)从2019年到2021年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少
(2)假设保持年平均增长率不变，请预测一下2022年该县将投入多少资金用于教育扶贫.
解:(1)设该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率为x，
根据题意，得，
解得或(舍).
答:从2019年到2021年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率为20%.
(2)2022年投入的教育扶贫资金为(万元).
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提升作业：
10.为执行“均衡教育”政策，某县2020年投入教育经费2500万元，预计到2022年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
课后提升
提升作业：
11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，这个两位数十位上的数字与个位上的数字交换位置后新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数.
解:设这个两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为x-4，
所以这个两位数为.
十位上的数字与个位上的数字交换位置后，新两位数为，
则可列方程为，
解得(舍去).
所以这个两位数为.
答:这个两位数是.
课后提升
12.随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施的投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”.在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入资金2420万元，设这两年间投入资金的年平均增长率相同.
(1)求这两年间的年平均增长率；
(2)若对该道路投入资金的年平均增长率不变，求预计完成这条道路改造工程的总投入.
解:(1)设这两年间的年平均增长率为x，
根据题意得，
解得(舍去).
答:这两年间的年平均增长率为10%.
课后提升
12.随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施的投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”.在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入资金2420万元，设这两年间投入资金的年平均增长率相同.
(1)求这两年间的年平均增长率；
(2)若对该道路投入资金的年平均增长率不变，求预计完成这条道路改造工程的总投入.
解:(2)根据题意得2020年投入资金(万元)，
预计2022年投入资金(万元)，
所以完成这条道路改造工程的总投入为(万元).
课后提升
拓展作业：
13.2020年新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗.2021年七月，国家发布通知，12~17岁的未成年人也可接种新冠疫苗.随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，某生物制药厂现有1条生产线，其最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线
解:设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为万支/天，
依题意得，
整理得，解得.
∵要节省投入，∴.
答:应该增加3条生产线.
课后提升
拓展作业：
14.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)已知每台设备的成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元
解:(1)由题可知当时，，
，，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为.
课后提升
拓展作业：
(2)依题意得，
整理得，解得，
又∵此设备的销售单价不得高于70万元，.
答:该设备的销售单价应是50万元.
Thanks!
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2.4一元二次方程的应用第1课时教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 2.4一元二次方程的应用第1课时 课时 1
课标要求 本节课需落实“数与代数”“应用与建模”领域核心要求：引导学生运用一元二次方程解决利润、增长率、几何图形等实际问题，掌握“实际问题—数学模型—求解验证”的建模流程，发展模型观念与应用意识；能从实际情境中提炼等量关系，规范列方程、解方程并检验解的合理性，体会数学与生活的联系；衔接一元二次方程解法与一元一次方程应用经验，构建“代数知识—实际应用”的关联体系，契合新课标“强化实践应用，发展核心素养”的导向。
教材分析 本节课是一元二次方程章节的应用起始课，承接一元二次方程的多种解法，聚焦“用方程解决实际问题”。教材以生活实际为依托，选取利润计算、增长率典型场景设计例题，遵循“情境呈现—分析数量关系—建立方程—求解检验”的逻辑展开。例题编排从单一数量关系(例1利润问题)到动态增长关系(例2增长率问题)，层层递进。内容既延续了列方程解应用题的通用步骤，又突出了一元二次方程应用中“解的检验与实际意义取舍”的特殊性，是培养学生建模能力与应用意识的关键载体。
学情分析 学生已掌握一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)，且有列一元一次方程解应用题的基础，能理解“设未知数—找等量关系—列方程”的基本流程，但存在明显短板：一是面对多变量关联的实际情境(如利润问题中“单价与销量的联动”)，难以梳理复杂数量关系，提炼等量关系时易混淆逻辑；二是设未知数后，不会用含未知数的代数式表示相关量(如增长率问题中“第n年的量”)；三是解完方程后，常忽略检验解是否符合实际(如长度、增长率不能为负)，个体差异集中在“情境分析能力”与“建模准确性”上。
教学目标 1.能运用一元二次方程解决利润、增长率等典型实际问题，掌握“审题—设元—找等量关系—列方程—求解—检验”的完整步骤； 2.学会从实际情境中梳理数量关系，准确提炼等量关系建立数学模型，提升建模能力与逻辑分析能力； 3.理解方程解与实际问题的关联，养成解后检验的习惯，发展模型观念与应用意识； 4.感受数学在解决实际问题中的价值，激发运用数学知识解决生活问题的兴趣，培养严谨务实的思维品质。
教学重点 1.掌握列一元二次方程解实际问题的完整步骤； 2.能从利润、增长率、几何图形等情境中准确提炼等量关系，建立一元二次方程模型。
教学难点 从复杂实际情境中梳理多变量之间的关联，精准提炼等量关系(如利润问题中“总利润=单利×销量”的动态转化)，并建立符合实际的一元二次方程。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景问题 校园文具店销售某款定制笔记本，每本进价4元，原售价6元时，每天可售出80本。经市场调研发现，每本售价每提高0.5元，每天的销量就减少10本。若店主希望每天销售该笔记本的获利达到200元，且售价涨幅不超过5元，每本笔记本应提高多少元？ 预设答案 1.梳理数量关系：总利润=单本利润×销量；单本利润=原利润+提高的价格；销量=原销量-减少的销量； 2.设元：设每本笔记本提高元，则单本利润为元，销量为本； 3.列方程：； 4.化简求解：整理得，解得； 5.检验：元元，符合售价涨幅要求，且单本利润、销量均为正数，符合实际； 6.结论：每本笔记本应提高1元。 回顾一元二次方程的解法，梳理列方程解应用题的通用步骤，强调 “找等量关系” 的核心地位。 完成基础方程求解，复述应用题解题流程，明确 “审、设、找、列、解、验、答” 的逻辑。 衔接旧知，为实际问题建模铺垫方法基础，强化 “代数知识→实际应用” 的转化意识。
探究活动一：利润问题1 例1某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入4株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元，则每盆应植多少株？ 思考1：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：每盆植入4株时，平均单株盈利3元，每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.2元； 方程未知量：每盆应植多少株能够使每盆的盈利为18元； 思考2：它们的主要数量关系是什么？ 主要数量关系： 平均单株盈利×株数=每盆盈利； 平均单株盈利=3-0.2×每盆增加的株数. 解题过程： 解：设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元. 由题意，得. 化简、整理，得. 解这个方程，得. 经检验，都是方程的解，且符合题意. 答：要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入9株或10株. 解析航海问题中的几何关系，引导学生构建直角三角形模型，指导利用勾股定理列方程。 分析已知条件与未知量，建立直角三角形模型，通过勾股定理列出一元二次方程并求解。 培养几何情境建模能力，体会一元二次方程在几何求值中的应用，强化数形结合思想。
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：利润问题2 思考3：你还有其它方法吗？ 解：设每盆应植株，则每盆增加的株数有株，平均单株盈利为元.由题意，得. 化简、整理，得. 解这个方程，得. 经检验，都是方程的解，且符合题意. 答：要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入9株或10株. 思考4：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ 答案：基本相同，要注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义 方法总结： 利润问题等量关系：总利润=单位利润×销售量；利润=售价进价；利润率=×100%. 梳理 “单价、销量、利润” 的联动关系，示范用含未知数的代数式表示相关量，引导提炼 “总利润 = 单利 × 销量” 的等量关系。 分析量与量的变化规律，用未知数表示单利和销量，根据等量关系列方程并检验解的合理性。 掌握经济问题的建模方法，提升多变量关系梳理能力，落实解的实际意义检验。
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三：增长率问题 平均增长(降低)率问题： 设为起始量，x为增长率，一次增长后，终止量为； 二次增长后，终止量为________； 依此类推，次增长后，终止量为________； 设为起始量，为降低率，一次降低后，终止量为； 二次增长后，终止量为________； 依此类推，次增长后，终止量为________. 答案： 例2根据图2-2的统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率(精确到0.1%). 解：设从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为x， 由题意可以列出方程2.8(1+x)2=3.7. 解这个方程，得. ， (不合题意，舍去). 答：从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率为15.0%. 总结归纳： 增长率问题等量关系：基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量. 明确增长率问题的核心公式，示范 “基数→增长后量” 的表达式推导，强调 “(1+x) ” 的意义。 理解增长规律，推导多次增长后的量的表达式，列方程求解增长率并验证结果。 掌握动态增长问题的建模逻辑，深化对 “指数增长” 的理解，提升数学应用与推理素养。
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为( ) A. B. C. D. 2.某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为( ) A. B. C. D.以上答案都不对 3.某企业今年1月份产值为万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是( ) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 4.某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价，销量不佳；第二次又降价，销售大增，很快就清理了库存.设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业.中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 . 6.某商店出售一种玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为 . 7.商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此，若销售单价为 元时，商场每天盈利达1500元. 8.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米.假设每年绿化面积的平均增长率相同. (1)求每年绿化面积的平均增长率； (2)若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少？ 9.诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品.如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元(x≥7). (1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值. (2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？ 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.建模核心：掌握 “实际情境→数学模型→一元二次方程” 的转化，聚焦几何、经济、动态三类典型情境的等量关系提炼。 2.关键公式：熟记利润问题 “总利润 = 单利 × 销量”、增长率问题 “” 的核心公式，理解表达式的实际意义。 3.解题规范：严格遵循 “审设找列解验答” 七步流程，重点落实 “等量关系梳理” 与 “解的实际意义检验”，避免纯代数求解忽略情境约束。 4.思想方法：深化数形结合、建模思想，提升多变量关系分析能力，为后续复杂实际问题求解奠定基础。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 2.4 一元二次方程的应用(第1课时) 一、核心建模流程 审（析情境）→ 设（未知数）→ 找（等量关系）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 验（实际意义）→ 答 二、典型情境应用 1. 航海问题（几何） 模型：直角三角形 等量关系：勾股定理 2. 利润问题（经济） 核心公式：总利润 = 单利 × 销量 关键：用未知数表示单价、销量的变化量 3. 增长率问题（动态） 公式：（a基数，x增长率，n次数，b终止量） 三、易错提醒 几何模型需准确对应已知条件； 利润问题注意量的联动变化； 增长率问题中 “(1+x)” 不可误写为 “1+nx”； 解需检验是否符合实际（正数、取值范围等）。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1.两个连续自然数的积为182，则这两个自然数分别为 ( ) A.10，11 B.11，12 C.12，13 D.13，14 2.两个连续奇数的积是323，求这两个数. 3.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18，求这个两位数. 4.某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，若要获得利润5760元，问销售单价为多少元？设销售单价为x元，可列方程为 ( ) A. B. C. D. 5.某文具店将进价为每支30元的钢笔以每支50元售出，平均每月能售出300支，经试销发现每支钢笔每涨价10元，其月销售量就减少10支，售价不超过100元/支，为实现每月利润8700元，则定价为 元/支. 6.某药品经过两次降价，每瓶售价由200元降为139元.已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是 ( ) A. B. C. D. 能力提升： 7.某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，则x= (用百分数表示). 8.2022年3月份之江汇教育广场的年度经验值为118，5月份之江汇教育广场的年度经验值为295，则年平均增长率为 .(精确到1%，≈2.646，≈3.162) 9.为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2019年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2021年投入资金达到1440万元. (1)从2019年到2021年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？ (2)假设保持年平均增长率不变，请预测一下2022年该县将投入多少资金用于教育扶贫. 10.为执行“均衡教育”政策，某县2020年投入教育经费2500万元，预计到2022年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. 11.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，这个两位数十位上的数字与个位上的数字交换位置后新两位数与原两位数的积为1612，求这个两位数. 12.随着合肥都市圈的成立，合肥市将加大对都市圈内基础设施的投入，尽快形成合肥都市圈“1小时通勤圈”和“1小时生活圈”.在都市圈内，计划四年完成对某条重要道路改造工程，2019年投入资金2000万元，2021年投入资金2420万元，设这两年间投入资金的年平均增长率相同. (1)求这两年间的年平均增长率； (2)若对该道路投入资金的年平均增长率不变，求预计完成这条道路改造工程的总投入. 拓展迁移： 13.2020年新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗.2021年七月，国家发布通知，12~17岁的未成年人也可接种新冠疫苗.随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，某生物制药厂现有1条生产线，其最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 14.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系y=-10x+b. (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)已知每台设备的成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
教学反思 本节课通过生活情景激发学生应用兴趣，多数学生能掌握列方程解应用题的基本步骤，但存在两点不足：一是部分学生在梳理多变量关系时逻辑混乱(如增长率问题中误将“”写成“”)；二是解后检验流于形式，未真正判断解是否符合实际情境(如几何问题中边长为负仍保留)。后续需优化教学：增加“数量关系思维导图”梳理训练，强化多变量关联分析；设计“解的合理性辨析题”，明确检验的核心维度(正数、取值范围等)；通过小组合作分析情境、分享思路，提升学生的建模能力，更好落实模型观念与应用意识的培养目标。
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