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二次根式（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·江门开学考）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·南宁月考）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁波模拟）有意义的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·斗门期中）在二次根式，，，，中，能与合并的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025八下·杭州月考）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·临平月考）下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·义乌月考）计算的结果是（ ）
A． B． C．-3 D．3
9．（2024八下·长兴期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·中江月考）把根号外的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·澄海期末）已知，则＝ ．
12．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
13．（2024八下·香河期末）计算： ．
14．（2024八下·南县月考） 若，则x的值等于 ．
15．（2024八下·德阳月考） 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
16．（2023八下·船营月考） 若x，y为实数，且|x﹣2|+=0，则的值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·诸暨期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·莎车期中） 已知，，求：
（1）代数式的值；
（2）代数式的值．
19．当分别取下列值时，求二次根式的值．
（1）．
（2）．
（3）．
20．（2025八下·杭州月考）在如图的4×4方格内有△ABC，它的顶点都在格点上，且AB=，BC=2，AC=.
（1）将AB，AC边化为最简二次根式；
（2）在方格中画出一个满足条件的△ABC；
（3）求B点到AC的距离.
21．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，求的值．
22．（2024八下·江城期中）在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，，
．．
．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
23．（2024八下·青山湖月考）（1）填空 ； ； ； ；
（2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于吗 你发现其中的规律了吗 请把你观察到的规律归纳出来；
（3）利用你总结的规律计算：，其中.
24．（2024八下·桦甸月考）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板（图中阴影部分）中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 个这样的木条．
25．（2024八下·宁明月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）从40m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从80m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
（2）是的多少倍？
（3）从足够高的高空抛出物体，经过1.8s所抛物体下落的高度是多少？
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二次根式（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·江门开学考）下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·义乌月考）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．，原计算正确，故选项A符合题意；
B．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项B不符合题意；
C．，原计算错误，故选项C不符合题意；
D．与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质可判断选项A；根据合并同类二次根式的运算法则可判断选项BD；根据二次根式的乘法运算法则可判断C．
3．（2025八下·南宁月考）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，，
，，
．
故答案为：C.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可.
4．（2024·宁波模拟）有意义的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】据题意得：，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法．
5．（2024八下·斗门期中）在二次根式，，，，中，能与合并的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵；；；．
，
∴能与合并的是、，
故选：B．
【分析】
先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
6．（2025八下·杭州月考）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴a>0，且，
∴0
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，分母上的数不能为0，得到不等式组a>0，且，求解即可
7．（2025八下·临平月考）下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，乘积为有理数，故A符合；
，乘积为无理数，故B不符合；
，乘积为无理数，故C不符合；
，乘积为无理数，故D不符合.
故答案为：A.
【分析】将四个数分别与相乘，找出积为有理数的.
8．（2025八下·义乌月考）计算的结果是（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：原式
故答案为：B.
【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则，进行计算即可解答.
9．（2024八下·长兴期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由“(a≥0)”可判断B选项；由“”可判断C选项；由于根号具有括号的作用，故先计算根号下的乘方运算，再计算减法运算得出被开方数，据此可判断D选项.
10．（2024八下·中江月考）把根号外的因式移到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：要使有意义，且有意义，则a>0，原式=，D选项正确。
故答案为：D。
【分析】先根据根式及分式有意义的条件，得到a的取值范围，在进行化简即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·澄海期末）已知，则＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，∴，解得：，∴
故答案为：.
【分析】本题主要考查平方及二次根号的非负性，属于基础题型.根据已知条件可得：，然后解出a，b的值进行计算即可求解.
12．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则
【答案】
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
13．（2024八下·香河期末）计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：.
【分析】本题考平方差公式、积的乘方；先利用积的乘方得到，再利用平方差公式求解.
14．（2024八下·南县月考） 若，则x的值等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：，
，
，
解得x=2
故答案为：2.
【分析】根据化简，合并同类二次根式解得x的值即可求解.
15．（2024八下·德阳月考） 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】
【解析】【解答】解：由图可知，，
∴，，，
则
，
故答案为：3a+c。
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出b-c>0，a+c<0，a-b<0，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，合并同类项求解即可。
16．（2023八下·船营月考） 若x，y为实数，且|x﹣2|+=0，则的值是 ．
【答案】9
【解析】【解答】∵|x﹣2|+=0，
∴x-2=0，y+3=0，
解得：x=2，y=-3，
∴，
故答案为：9.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出x、y的值，再将其代入计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·诸暨期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=2+2
=4
【解析】【分析】（1）同类二次根式的加减运算时，依据 “同类二次根式可以合并，合并时将系数相加减，根式部分保持不变” 的规则合并同类项即可.
（2）根据二次根式的性质（）和算术平方根的定义（一个正数的算术平方根是其正的平方根），即可求出答案.
18．（2024八下·莎车期中） 已知，，求：
（1）代数式的值；
（2）代数式的值．
【答案】（1）解：
（2）解：由已知：
，
，
故：原式
【解析】【分析】（1）利用平方差公式即可求解；
（2）先求出x+y和xy的值，再将原式进行因式分解即可求解.
19．当分别取下列值时，求二次根式的值．
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】（1）解：把x=0代入 得， =；
（2）解：把x=2代入 得， =；
（3）解：把x=代入 得， =.
【解析】【分析】（1）（2）（3）将x的值分别代入二次根式，根据二次根号具有括号的作用，先按含有理数的加减乘除混合运算的运算顺序计算计算被开方数，再化为最简二次根式或整式即可.
20．（2025八下·杭州月考）在如图的4×4方格内有△ABC，它的顶点都在格点上，且AB=，BC=2，AC=.
（1）将AB，AC边化为最简二次根式；
（2）在方格中画出一个满足条件的△ABC；
（3）求B点到AC的距离.
【答案】（1）解：，
（2）解：∵，.
∴可如图所示：
（3）解：设点B到AC的距离为h1，点A到BC的距离为h2，
则，
∴.
故点B到AC的距离为 .
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简即可；
（2）利用勾股定理得到线段AB和AC所在的直角三角形的长和宽，即可画出满足条件的△ABC.
（3）设点B到AC的距离为h1，点A到BC的距离为h2，利用等面积法计算出即可.
21．（2025八下·义乌月考）配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：．用配方思想方法，解答下面问题：
（1）已知：，求的值；
（2）已知：，求的值；
（3）已知：，求的值．
【答案】（1）解：由条件可知
（2）解：
∴
原式
（3）解：
【解析】【分析】(1)运用完全平方公式的变形求解即可；
(2)分别求出x， y， x+y， xy的值， 冉将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可；
(3)将 变形为 最后整体代入计算即可.
22．（2024八下·江城期中）在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题：
已知，求的值．他是这样解答的：
，，
．．
．
请你根据小光的解题过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）化简；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）解：原式
（3）解：，
，
，
，即，
∴a2+6a=1，
∴a4+6a3+6a+2023=a2（a2+6a）+6a+2023
【解析】【解答】解：（1）原式==
故答案为：；
【分析】（1）分子分母同乘以，进行分母有理化即可求解；
（2）先将原式中每一个加数的分母进行有理化，然后根据二次根式的加减计算法则计算即可；
（3）首先根据已知等式根据已知条件求出即，则进而将其代入待求式进行计算即可.
23．（2024八下·青山湖月考）（1）填空 ； ； ； ；
（2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于吗 你发现其中的规律了吗 请把你观察到的规律归纳出来；
（3）利用你总结的规律计算：，其中.
【答案】（1）3；；0；5
（2）解：
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）填空：3； ； 0； 5 ；
(2)、
（3）
=x-2-(x-3)
= x-2-x+3
=1
【分析】(1)根据二次根式的计算法则将各式进行化简即可；
(2)根据第一题的答案找出一般性的规律；
(3)根据给出的x的取值范围判断x-2和x-3的正负性，然后进行去绝对值计算，最后进行化简得出答案.
24．（2024八下·桦甸月考）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板（图中阴影部分）中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能截出 个这样的木条．
【答案】（1）；
（2）解：矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积，
故答案为：15；
（3）4
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，；（2）
（3）解：剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条，
故答案为4．
【分析】本题考查算术平方根的含义，二次根式的运算法则，二次根式的大小比较．
（1）根据算术平方根的含义和二次根式的运算法则：进行运算可求出答案；
（2）先求出剩余木料的长和宽，利用矩形的面积公式可求出答案；
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，通过计算可求出答案．
25．（2024八下·宁明月考）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）从40m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从80m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
（2）是的多少倍？
（3）从足够高的高空抛出物体，经过1.8s所抛物体下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当时，（s）
当时，（s）；
（2）解：，
是的倍；
（3）解：当时，，解得
∴所抛物体下落的高度是．
【解析】【分析】（1）分别将h=40和h=80代入计算即可求解；
（2）计算即可求解；
（3）将t=1.8代入求出h的值，即可求解.
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