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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八下·翁源期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）．
A．24 B． C．25 D．
2．（2024八下·斗门期中） 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024八下·绥江期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·京山期中） 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·黄石月考） 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有的解为正数，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．－7 B．－6 C．－5 D．－4
6．（2024八下·平乐开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·高坪期中） 已知，且，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·黄石月考）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
9．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
10．已知 则 的值为( ).
A．0 B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·慈溪期中）化简： ．
12．（2024八下·潮州期中）当，时，代数式的值是 ．
13．（2024八下·鄞州期中）若最简二次根式与可以合并，则的值 ．
14．（2024八下·定州期中）计算：若，则代数式 ．
15．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
16．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·惠州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·临平月考）已知，求：
（1）x+y和xy的值；
（2）求x2-xy+y2的值.
19．（2025八下·义乌月考）我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为，所以的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分为．
根据以上方法解答下列问题：
（1）的整数部分为______，小数部分为______；
（2）已知的相反数为，的整数部分为b，的小数部分为c，求的立方根．
20．（2024八下·北仑期中） 先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式 解：原式
（1） 的解答过程是错误的；
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（2024八下·萧山期中） 如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
（1）长方体盒子的底面积；
（2）长方体盒子的体积．
22．（2024八下·济南期末） 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
23．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
24．（2024八下·崇阳月考）如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足点C在y轴负半轴上，AC交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且AC⊥AD．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由．
（2）探究线段OC，OD，OA之间的数量关系并证明．
（3）如图2，点F在x轴负半轴上，∠FAC＝45°，探究BE，EF，OF之间的数量关系并证明．
25．（2024八下·重庆市期中）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵a＝
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若a＝，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八下·翁源期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）．
A．24 B． C．25 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：先输入，则，
再次输入，则，
输出.
故答案为：B.
【分析】本题主要考察二次根式的乘法及估算无理数的大小，处理过程中注意合并同类二次根式.
2．（2024八下·斗门期中） 若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】解：；
由是整数，得a最小值为6，
故答案为：C.
【分析】先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
3．（2024八下·绥江期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：C.
【分析】由根式乘除法运算对开得尽方的因数进行根式化简，再合并同类项即可.
4．（2024八下·京山期中） 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案.
5．（2024八下·黄石月考） 若二次根式有意义，且关于x的分式方程有的解为正数，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．－7 B．－6 C．－5 D．－4
【答案】D
【解析】【解答】解：，
去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4．
故答案为：D．
【分析】解分式方程可得，根据解为正数以及解为增根的情况，求出，，再根据二次根式有意义的条件得到，求出所有符合条件的m的值，再求和即可．
6．（2024八下·平乐开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴b-1＜0，2-a＞1＞0
∴，，
∴
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根以及绝对值的非负性解题即可.
7．（2024八下·高坪期中） 已知，且，化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ab≠0，
∴ -a3b＞0，
∴ -ab＞0，
∴ ab＜0，
∵ a＜b，
∴ a＜0＜b，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件和不等式的性质可得a＜0＜b，再根据二次根式的性质即可求得.
8．（2024八下·黄石月考）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
9．计算 +|-11|- ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
【答案】B
【解析】【解答】原式=11+11-11=11，故选B．
【分析】根据二次根式的性质正确化简二次根式，进行正确的计算是一个基本的要求．
10．已知 则 的值为( ).
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】提示：∵
∴原式
故答案为：C.
【分析】对已知代数式进行变形，再代入x的值降次解答即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八下·慈溪期中）化简： ．
【答案】0
【解析】【解答】解：由题意知，，
解得，，
∴，
故答案为：0．
【分析】由二次根式的性质可得，，故，再对进行化简，即可得到答案．
12．（2024八下·潮州期中）当，时，代数式的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵a=﹣1，
∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，
∴====．
故答案为：．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把所求式子进行化简，然后整体代入计算即可．
13．（2024八下·鄞州期中）若最简二次根式与可以合并，则的值 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得：，解得：．
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】根据同类二次根式的定义求出a，再进行计算即可.
14．（2024八下·定州期中）计算：若，则代数式 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：当时，
．
故答案为：．
【分析】
【分析】先把a2-6a分解因式，再把a的值代入，根据二次根式的运算法则计算即可。
15．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
两边同时乘以，
可得：，
整理得：
∴
∴
把代入得：
原式
故答案为：
【分析】等式两边同乘，运用平方差公式可得，整理得与的关系式；代入，通分化简即可．
16．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·惠州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】本题考查二次根式的加减运算、零指数幂和负整数指数幂的意义，以及绝对值的性质。
(1) 先将各项二次根式化为最简形式，，，再合并同类二次根式，同类二次根式合并时系数相加，根式部分不变，即；
(2) 分别化简各项：，零指数幂（任何非零数的0次幂为1），绝对值（负数的绝对值是其相反数），负整数指数幂，再将各项结果相加，。
（1）解：原式
（2）解：原式
18．（2025八下·临平月考）已知，求：
（1）x+y和xy的值；
（2）求x2-xy+y2的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
∴x2-xy+y2
=(x+y)2-3xy
=(2)2-3×1
=12-3
=9
【解析】【分析】(1)代入相加求得x+y，利用平方差公式计算得到xy；
（2）先将 x2-xy+y2配方后整体代入计算.
19．（2025八下·义乌月考）我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．因为，所以的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，即的小数部分为．
根据以上方法解答下列问题：
（1）的整数部分为______，小数部分为______；
（2）已知的相反数为，的整数部分为b，的小数部分为c，求的立方根．
【答案】（1）4，
（2）解：∵的相反数为，∴，
解得，
∵，
∴，
∴
∴的整数部分．
∵，
∴的整数部分为1，小数部分．
∴．
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为．
故答案为：4，
【分析】
（1）结合题干，正确理解无理数的整数部分和小数部分，即可正确求得整数部分与小数部分；
（2）根据题意，确定出a，b，c的值，再代入原式求得 的值，最后再根据立方根的定义求得结果．
（1）解：∵
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为．
故答案为：4，
（2）解：∵的相反数为，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴
∴的整数部分．
∵，
∴的整数部分为1，小数部分．
∴．
∵8的立方根为2，
∴的立方根为2．
20．（2024八下·北仑期中） 先化简，再求值：，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程．
解：原式 解：原式
（1） 的解答过程是错误的；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）小亮
（2）解：原式，
，
，
∴原式
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∴。
∴小亮的解答过程错误.
【分析】（1）先将式子进行化简，利用完全平方公式去根号，去根号时考虑根号里数的正负性是解题的关键即易错点，即可判断谁对谁错.
（2）利用第一问的方法先对式子进行化简，将m值代入即可求出答案.
21．（2024八下·萧山期中） 如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：
（1）长方体盒子的底面积；
（2）长方体盒子的体积．
【答案】（1）解：长方体盒子的底面积
；
（2）解：长方体盒子的体积
．
【解析】【分析】
(1)先把长方体盒子的底面边长求出来，再根据面积公式：边长×边长计算其面积即可
（2）计算出无盖纸盒 的面积之后，面积再乘以小正方形的边长即得体积.
22．（2024八下·济南期末） 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【答案】（1）解：由题意得：
他计算出的结果为4；
（2）解：设“”处的数字是，则
，
∴，
解得：，
∴“”处的数字是．
【解析】【分析】（1）把10代入，（10-2）÷（-），再计算即可；
（2）设“■”处的数字是a，再建立方程求解即可。
23．（2024八下·汕头期中）在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值.
【答案】（1）解：方法一：
方法二：
（2）解：由题意可得：
=
=
（3）解：
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的两种方法化简即可；
（2）将每一个加数利用分母有理化的方法分别化简，再根据同分母分数的加法法则计算即可；
（3）先将a进行分母有理化化简，可得，然后将此式两边同时平方可得a2+2a=1，进而将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
24．（2024八下·崇阳月考）如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足点C在y轴负半轴上，AC交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且AC⊥AD．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由．
（2）探究线段OC，OD，OA之间的数量关系并证明．
（3）如图2，点F在x轴负半轴上，∠FAC＝45°，探究BE，EF，OF之间的数量关系并证明．
【答案】（1）结论：△OAB是等腰直角三角形
理由：∵ ，
∴a-2=0，b-4=0，解得a=2，b=4，
∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∴OA=AB，
∴OA2+AB2=()2+()2=16=42=OB2，
∴△OAB是等腰直角三角形；
（2）结论：OD=OC+OA
理由：∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOC=∠ABD=135°，
∵AC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠OAC=90°-∠CAB=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
∴△AOC≌△ABD（ASA），
∴OC=BD，
∴OD=BD+OB=OC+OB，
∴，
∴OD=OC+OA
（3）OF2+BE2=EF2
理由如下：
过A作AG⊥AC交y轴于G，连接FG，如图：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOG=45°=∠ABO，
∵AG⊥AC，
∴∠OAG=90°-∠OAC=∠BAE，
在△AGO和△AEB中，
∴△AGO≌△AEB（ASA），
∴OG=BE，AG=AE，
Rt△GOF中，∵OF2+OG2=FG2，
∴OF2+BE2=FG2，
∵∠FAC=45°，
∴∠FAC=∠GAF=45°，
在△FGA和△FEA中，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG=EF，
∴OF2+BE2=EF2
【解析】【分析】（1）先根据，求得a，b的值，由此得出A，B的坐标，再分别求得 △OAB 三边的长，利用勾股定理的逆定理说明△OAB是等腰直角三角形；
（2）先利用ASA证明△AOC≌△ABD，并求得，利用线段的和求得OC，OD，OA 的关系；
（3）先利用ASA证明△AGO≌△AEB，再结合勾股定理，得出OF2+BE2=FG2，再利用SAS证明△AFG≌△AFE，利用全等三角形的性质得出FG=EF，从而有OF2+BE2=EF2．
25．（2024八下·重庆市期中）小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵a＝
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若a＝，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）；（﹣），
（2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣）
＝（﹣3+11）
＝4；
（3）a＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
【解析】【解答】解：
（1），
【分析】（1）根据题目所给示例，对要求的式子，利用平方差公式，进行分母有理化，在进行化简、计算即可；（2）通过观察，在提取公因式后，发现前一个分式化简后的第一项能和后一个分式的第二项可以相互抵消，依次类推，最终求出分式结果；（3）对a式进行分母有理化，通过等式变换得到 a﹣1＝ ，在利用完全平方公式，展开后得到 a2﹣2a＝1 ，在对原式进行处理，再把a2﹣2a＝1带入求值即可。
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