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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．某同学在作业本上做了这样一道题：“ 当a=●时，试求的值"其中，●是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，该同学的答案是否正确？请说明理由．
2．已知：，，求：的值．
3．已知实数满足．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
4．如图，正方形中，，数轴上点A表示的数为3，以点A为圆心，为半径作圆，与数轴相交于点E和F，点E表示的数记为x，点F表示的数记为y；
（1）______，______；
（2）化简求值：；
（3）若，求的值．
5．如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当，，时，求剩余部分的面积．
6．有一道练习题是：对于式子 先化简，后求值．其中 ．
小明的解法如下：
= =2a﹣（a﹣2）=a+2= +2．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
7．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点 B，点C 与点B关于原点对称，若A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，
（1）填空：b= ，c= ， bc+6= ；
（2）化简：
8．已知 ， ，求 的值
9．如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求原长方形木板的面积．
10．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
11．有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
12．已知，求的值．
13． 是整数，求正整数n的最小值．
14．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a|﹣|a+b|﹣+|b﹣c|．
15．（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知，是实数，且，求的平方根．
16．先化简，再求值：，其中x＝﹣2.
17．有这样一个问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
（1）计算：．
（2）已知．
①求的值；
②求的值．
18．已知，化简：．
19．计算：
（1）（2+）（2﹣）
（2）÷﹣×+．
20．计算：（+）2﹣（﹣）2．
21．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
22．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
23．观察下列各式：
，
，
，
依据以上呈现的规律，计算：
24．已知与互为相反数．
（1）求的平方根；
（2）解关于x的方程．
25．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
26．实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．
27．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
28．已知x= ﹣1，y= +1，求代数式x2+xy+y2的值．
29．已知a，b是有理数，若，求a和b的值．
30．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
31．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值.
对于该题，小明是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
请你根据小明的解题过程，解决以下问题：
（1） ；
（2）化简：.
（3）若，求的值.
32．已知 m=-3，求（m+n）2016的值？
33．已知 ， ，求代数式 的值.
34．已知，，求的值．
35．用 的方法化简：
36．已知a，b，c为实数且c＝ + ，求代数式c2﹣ab的值.
37． 已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
38．已知，3b﹣4的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+6b﹣c的平方根．
39．已知a，b，c分别为三角形的三边长，且a，b，c满足|b-10|+=，求此三角形的面积．
40．计算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答过程中，从第 步开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
41．若，求代数式的最大值．
42．求比大的最小整数.
43．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足．
（1）求，两点的坐标；
（2）如图，若是线段上任意一点，探究与的数量关系；
（3）如图，是线段上一点，将点向右平移个单位长度到点，若点，三角形的面积为，求点的坐标．
44．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式② 请试试.
45．若，则的平方根．
46．我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点
（1）如图，若点 A 对应的数是 则点 对应的数 ；若点 对应的数是 则点B 对应的数 .
（2）在(1)的条件下，求代数式 的值.
47．先化简，再求值：，其中a= ．
48．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值．
49．给出定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
举例如下：，，，，…
试解决下列问题：
（1）填空：①______，______（为圆周率），______；
②如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
50．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求、OB的长；
（2）连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．某同学在作业本上做了这样一道题：“ 当a=●时，试求的值"其中，●是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，该同学的答案是否正确？请说明理由．
【答案】解：该同学的答案不正确，理由如下：
∵=a+|a-1|，
①当a≥1时，原式=a+a-1=2a-1≥1；
②当0≤a<1时，原式=a-a+1=1，
∴在满足条件的范围内，无论a取何值，原式都大于或等于1，不可能为
∴该同学的答案不正确.
【解析】【分析】因为()2 + =a+|a-1|，所以此题应该从a≥1，a<1两种情况考虑.
2．已知：，，求：的值．
【答案】解：∵，，
∴，
∴
，
当时，原式．
【解析】【分析】先根据已知条件，判断a、b的正负号，并依此进行二次根式 的化简，最后把a+b和ab整体代入化简后的式子中，正确计算即可。
3．已知实数满足．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：，
，，
，.
（2）解：∵x=5，y=-3，
∴，
的平方根是.
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质可得，，再求出x、y的值即可；
（2）将x、y的值代入，再利用平方根的计算方法分析求解即可.
4．如图，正方形中，，数轴上点A表示的数为3，以点A为圆心，为半径作圆，与数轴相交于点E和F，点E表示的数记为x，点F表示的数记为y；
（1）______，______；
（2）化简求值：；
（3）若，求的值．
【答案】（1），
（2）解：，；
；
（3），
，即
．
【解析】【解答】
（1）
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，；
【分析】
（1）由正方形性质“正方形的各边都相等，四个角都是直角”可得AB=BC，∠ABC=90°，用勾股定理求出，再结合数轴即可求解；
（2）根据完全平方公式将所求代数式变形得：原式=（x+y）2+xy，然后将x、y的值代入计算即可求解；
（3）先用分母有理化求出a的值，将所求代数式变形得：原式=（a-3）2-4，再将a的值代入计算即可求解．
（1）解：四边形为正方形，
，，
，
，
，，
，；
（2），；
；
（3），
，即
．
5．如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当，，时，求剩余部分的面积．
【答案】（1）解：剩余部分的面积为：；
（2）解：当，，时，
．
答：剩余部分的面积为80.
【解析】【分析】（1）根据长方形面积公式得大长方形的面积为ab四个角上小正方形的面积为x2，即可得出剩余部分的面积为：；
（2）根据（1）所得的代数式，把，，代入求职即可得出答案.
6．有一道练习题是：对于式子 先化简，后求值．其中 ．
小明的解法如下：
= =2a﹣（a﹣2）=a+2= +2．
小明的解法对吗？如果不对，请改正．
【答案】解：小明的解法不对．改正如下：
= =2a﹣|a﹣2|，
∵a= ，
∴a﹣2＜0，
∴原式=2a+a﹣2=3a﹣2，
把a= 代入得原式=3 ﹣2
【解析】【分析】根据二次根式的性质得到原式= =2a﹣|a﹣2|，由于a= ，即a﹣2＜0，则原式=2a+a﹣2=3a﹣2，然后把a的值代入计算．
7．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点 B，点C 与点B关于原点对称，若A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，
（1）填空：b= ，c= ， bc+6= ；
（2）化简：
【答案】（1）；；
（2）解：原式：
【解析】【解答】解：(1)因为 所以 因为点 C 与点 B 关于原点对称，所以 2，所以 故答案为
【分析】(1)利用数轴表示数的方法，把a加2得到b的值，再写出b的相反数得到c的值，然后计算bc+6的值；
(2)利用二次根式的性质化简，然后去绝对值合并即可
8．已知 ， ，求 的值
【答案】解： ， ，
原式=
=
=
= ．
【解析】【分析】先将a、b分母有理化，再对代数式进行变形求解．
9．如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求原长方形木板的面积．
【答案】解：∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为和，
由题图可知，原长方形的长为，宽为，
∴原长方形的面积为：．
【解析】【分析】由两个正方形的面积分别求出其边长为和，根据图形可求出原长方形的长为，宽为，继而求出面积.
10．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，设阴影部分的大正方形边长为a．
（1）图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a是______．
（2）估计a的值在两个相邻整数m与n之间（），则______，______．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值（化为最简）．
【答案】（1）13；.
（2）3；4.
（3）解：∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图，
观察图形可得：，
∴，阴影部分正方形的边长a＝.
故答案为：13；.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；4.
【分析】（1）根据勾股定理，观察图形可得：，即可得，阴影部分正方形的边长a＝即可得答案.
（2）根据得即可得即可.
（3）根据得边长a的整数部分为，小数部分为，代入即可得
.
（1）根据题意可得：，
所以图中阴影部分的面积是，阴影部分正方形的边长a是；
故答案为：13，；
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：3，4；
（3）∵，
∴边长a的整数部分为，小数部分为，
∴．
11．有一道练习题：对于式子先化简，后求值，其中a=．
小明的解法如下：
．
小明的解法对吗 如果不对，请改正．
【答案】解：不正确．正解解答过程如下：
原式= ，
当a＝ 时，原式＝ ．
【解析】【分析】利用二次根式的性质对式子化简，再将a的值代入计算求解即可。
12．已知，求的值．
【答案】解：= 16-x2-(4-x2)= 12，
∵． ∴
【解析】【分析】先利用平方差公式(a-b)(a+b)求出积，再用积求商即可.
13． 是整数，求正整数n的最小值．
【答案】解：∵12=4×3，
∴ 是整数的正整数n的最小值是3
【解析】【分析】把12分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．
14．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|a|﹣|a+b|﹣+|b﹣c|．
【答案】解：根据数轴上点的位置得：b＜a＜0＜c，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴|a|﹣|a+b|﹣+|b﹣c|=﹣a+a+b﹣c+a﹣b+c=a．
【解析】【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义与二次根式的性质化简，去括号合并即可得到结果．
15．（1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？
（2）已知，是实数，且，求的平方根．
【答案】解：（1）由题可知，，
解得 ，
∴这个数是．
（2）∵，
∴，，
解得，，
∴=，
∴的平方根为．
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数即可列出方程求出a的值，即可求出这个数的平方根，进而求得这个数的值；
（2）根据算术平方根的非负性和绝对值非负性，可列方程，分别求出的值，再代入求得 ，进而求出的平方根即可．
16．先化简，再求值：，其中x＝﹣2.
【答案】解：
＝
＝|x﹣1|，
当x＝﹣2时，原式＝|﹣2﹣1|＝3.
【解析】【分析】对原式利用完全平方公式以及二次根式的性质化简可得|x-1|，接下来将x的值代入进行计算即可.
17．有这样一个问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
（1）计算：．
（2）已知．
①求的值；
②求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
【解析】【分析】（1）原式各加数分别分母有理化，再逆用乘法分配律提取公因式，进而进行二次根式的加减运算，接着化简二次根式，并计算括号内的减法，最后计算乘法得出答案；
（2）①先把a分母有理化可得到，等式两边同时平方得到，再把待求式子整理成含a2-2a的形式，从而整体代入计算即可求出值；
②将式子整理成，再代入，即可求解．
（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
18．已知，化简：．
【答案】解：∵a+b=-8，ab=6，
∴a＜0，b＜0，a2+b2=（a+b）2-2ab=52，
∴原式=.
【解析】【分析】由a+b和ab的值，可得出a＜0，b＜0，a2+b2=52，再根据二次根式的运算法则将代数式进行化简，然后整体代入求值.
19．计算：
（1）（2+）（2﹣）
（2）÷﹣×+．
【答案】解：（1）（2+）（2﹣）
=﹣
=12﹣6
=6；
（2）÷﹣×+
=﹣+2
=4+．
【解析】【分析】（1）根据平方差公式可以解答本题；
（2）根据二次根式的乘除法可以对原式化简，然后合并同类项可以解答本题．
20．计算：（+）2﹣（﹣）2．
【答案】解：（+）2﹣（﹣）2
=[（+）+﹣][（+）﹣（﹣）]
=2×2
=4．
【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式求出即可．
21．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义
∴且
由得到
∴
解得
∴将x=2代入，
∴将x=2，y=3代入可得
答：的值为5.
【解析】【分析】本题着重考查了二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.这是解决本题的关键依据，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
22．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
【答案】解：根据图示，可得：，
．
【解析】【分析】根据数轴上点的位置关系，判断a、b、c的大小关系，进而判断（b-a）、（a+b）、（b-c）与0的大小关系，然后化简所求代数式，再合并同类项即可.
23．观察下列各式：
，
，
，
依据以上呈现的规律，计算：
【答案】解：
．
【解析】【分析】二次根式运算中利用平方差公式可以达到去根号的目的，所以利用平方差公式进行分母有理化的化简，然后再合并同类二次根式。
24．已知与互为相反数．
（1）求的平方根；
（2）解关于x的方程．
【答案】（1）解：根据题意得：，∴，
解得：
∴，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
（2）解：，
，
．
【解析】【分析】（1）根据绝对值和偶次根式的非负形象，得到，求得a和b的值，将其代入代数式 ，求得 的值，结合平方根定义，求出结果，即可求解；
（2）把代入方程，得到，求得方程的解，即可得到答案.
25．已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b=++4，求此三角形的周长．
【答案】解：∵、有意义，∴∴a=3，∴b=4，当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
【解析】【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
26．实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．
【答案】解：由数轴得： ，
∴ ， ， ，
∴（）2﹣+|b﹣c|+
．
【解析】【分析】由数轴可得a0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质以及合并同类项法则化简即可.
27．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
【答案】解：设正方形铁桶的底面边长为x，则
10x2=30×30×20，
x2=1800，
解得x=30 （厘米）．
答：正方形铁桶的底面边长是30 厘米
【解析】【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．
28．已知x= ﹣1，y= +1，求代数式x2+xy+y2的值．
【答案】解：∵x= ﹣1，y= +1，
∴x+y=2 ，xy=4，
∴x2+xy+y2
=（x+y）2﹣xy
=20﹣4
=16
【解析】【分析】由x= ﹣1，y= +1，得出x+y=2 ，xy=4，进一步把代数式x2+xy+y2分解因式代入求得答案即可．
29．已知a，b是有理数，若，求a和b的值．
【答案】解：根据题意得：，
解得：a=5，
则b+4=0，解得：b=﹣4．
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可求得a的值，进而求得b的值．
30．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，求关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．
【答案】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a2﹣a=4a﹣6，
解得：a=2或a=3，
当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，
解得：x= ，
当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，
解得；x=1，x=﹣3，
∴关于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解：x=1、x=﹣3或x=
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义知2a2﹣a=4a﹣2，据此可以求得a的值；然后将其代入所求的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0并解方程即可．
31．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求的值.
对于该题，小明是这样解答的：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴.
请你根据小明的解题过程，解决以下问题：
（1） ；
（2）化简：.
（3）若，求的值.
【答案】（1）；；；
（2）解：原式=
=
（3）解：，
∴，
∴ 的值 为：.
【解析】【解答】
解：（1）；
；
故答案为：；；
【分析】(1)根据小明得解答方法： 对 分子分母分别乘以计算即可解答；对 分子分母分别乘以，计算即可解答；
（2）根据（1）的化简规律，先化简然后在进行加减运算即可解答；
（3）根据（1）的化简规律化简得到，对 使用配方法得到，再代值计算即可解答.
32．已知 m=-3，求（m+n）2016的值？
【答案】【解答】解：由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0，
则n2=16，n≠﹣4，
解得，n=4，
则m=﹣3，
（m+n）2016=1．
【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．
33．已知 ， ，求代数式 的值.
【答案】解：∵ ，
∴原式
【解析】【分析】由完全平方公式将所求代数式变形得原式=，再整体代换计算即可求解.
34．已知，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴，，
∴
．
【解析】【分析】先根据二次根式的加减法法则及乘法法则计算出x+y和xy的值，再整体代入代数式求值，即可求得.
35．用 的方法化简：
【答案】解：由题意得m=13，n=42，
∵6+7=13，6×7=42，
∴原式
【解析】【分析】根据题意直接化简二次根式，进而即可求解。
36．已知a，b，c为实数且c＝ + ，求代数式c2﹣ab的值.
【答案】解：根据二次根式有意义的条件可得：a-3≥0，3-1≥0，-（b+1）2≥0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴c＝2﹣
代入代数式c2﹣ab得：
原式＝ ，
＝12﹣4 .
【解析】【分析】先依据二次根式有意义的条件，求得a、b的值，然后再代入计算即可.
37． 已知 ．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
【答案】（1）解：∵，
∴2y-8=0，x-2=0，
∴y=4，x=2
（2）解：把y=4，x=2代入，得：
3x+2y=3×2+2×4=14，
∴3x+2y的平方根为．
【解析】【分析】（1）根据二次根式、绝对值的非负性，得到 2y-8=0，x-2=0， ，进而求解；
（2）将（1）中求出的x，y的值代入得到 3x+2y=14，再根据平方根的概念即可求解.
38．已知，3b﹣4的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+6b﹣c的平方根．
【答案】（1）解：根据题意可得a﹣3≥0，3﹣a≥0，则a＝3，
∵3b﹣4的立方根是2，
∴3b﹣4＝8，
∴b＝4，
∵4＜6＜9，
∴23，
∴c＝2；
（2）解：∵a＝3；b＝4；c＝2，
∴a+6b﹣c＝3+24﹣2＝25，
∴ a+6b﹣c的平方根是5．
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质求出a的值，再利用立方根和估算无理数大小的方法求出b、c的值即可；
（2）将（1）中a、b、c的值代入a+6b﹣c求出值，再利用平方根的计算方法分析求解即可.
39．已知a，b，c分别为三角形的三边长，且a，b，c满足|b-10|+=，求此三角形的面积．
【答案】解：由题意可知解得c=8，∴|b-10|+ =0，
∴b- 10=0，2c-a- 10=0，∴b= 10，a=6
∵a2+c2=b2 ．
∴该三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积为×6×8= 24．
【解析】【分析】利用二次根式被开方数的非负性得出：c=8，在根据二次根式和绝对值都具有非负性得出b= 10，a=6，根据勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形。
40．计算：
解：原式…………第1步
…………………………第2步
……………………第3步
………………………………第4步
（1）以上解答过程中，从第 步开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
【答案】（1）3
（2）解：原式
【解析】【解答】（1）由题意得第3步开始出现错误，，
故答案为：3
【分析】（1）根据二次根式的加减运算结合题意即可求解；
（2）根据二次根式的化简结合二次根式的加减运算即可求解。
41．若，求代数式的最大值．
【答案】【解答】解：∵，
∴当x＞0时，原式＞0，
当x＜0时，原式＜0，
∴当时，原代数式有最大值，
此时，
令，
则原式，
上述问题等价于动点到两定点距离差的最大值，
根据三角形的三边关系，
当且仅当动点位于该线段的延长线上时，等号成立，
当时，，得，
此时的最大值为，
代数式的最大值为．
【解析】【分析】先化简代数式为，换元法，然后设，得到，然后构造动点到两定点距离差的最大值，平面上一动点到两个定点的距离之差的最大值为两定点间线段的延长线长度，当且仅当动点位于该线段的延长线上时取最值，解题即可．
42．求比大的最小整数.
【答案】解：设 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴比 大的最小整数是10582
【解析】【分析】设 ，则，，然后利用完全平方公式得，从而根据立方和公式得，进而利用完全平方公式得，于是得到，根据，即可求解.
43．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足．
（1）求，两点的坐标；
（2）如图，若是线段上任意一点，探究与的数量关系；
（3）如图，是线段上一点，将点向右平移个单位长度到点，若点，三角形的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴
∴；
（3）解：连接，
根据平移性质得，，
∵点，
∴，
根据（2）中线段上任意一点纵、横坐标的关系可设，
∵，
∴，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）根据二次根式，绝对值的非负性可得a，b值即可求出答案.
（2）连接，根据两点间距离可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）连接，根据平移性质得，，根据两点间距离可得BH，设，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
，
∴，
∴
∴；
（3）解：连接，
根据平移性质得，，
∵点，
∴，
根据（2）中线段上任意一点纵、横坐标的关系可设，
∵，
∴，
解得，
∴．
44．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为： ①(其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积).而文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”： ②(其中
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式② 请试试.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴由公式①得，
由公式②得
（2）解：
，
∴
【解析】【分析】（1）先求出的值，然后将的值代入公式①和②进行计算即可；
（2）先将公式①括号里的算式进行通分，然后结合完全平方公式以及平方差公式将算式进行展开和化简，由可推导出公式②.
45．若，则的平方根．
【答案】解：若，其中，
则，
即，
由，解得：（舍去）
由，解得：，
，
的平方根为，
【解析】【分析】根据分式的值为0，则分子为0且分母不为0得 ，a+4≠0，再由绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个都等于0得 ， 求解得出a、b的值，再根据负整数指数幂的意义算出ab的值，最后根据平方根的定义求出答案.
46．我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点
（1）如图，若点 A 对应的数是 则点 对应的数 ；若点 对应的数是 则点B 对应的数 .
（2）在(1)的条件下，求代数式 的值.
【答案】（1）4；
（2）解：当 时，
【解析】【解答】解：(1)根据操作规则，x=(-2)×(-1)+2=4，则点A'对应的数为4；对于点B，已知操作后的数，则反向操作得；故点B的对应的数为；
故答案为：4； .
【分析】(1) 第一个空：根据操作规则 “数乘 - 1 再加 2”，把点 A 的数 - 2 代入计算，得 x=(-2)×(-1)+2=4；第二个空： 反向用操作规则 “数减 2 再乘 - 1”，把点 B' 的数√3+2 代入，得 y=(√3+2-2)×(-1)=-√3；
(2)先将（1）中求得的x=4、
代入代数式，再分别计算算术平方根、去括号，最后合并化简得出结果。
47．先化简，再求值：，其中a= ．
【答案】【解答】原式= ，当a=时，原式=.
【解析】【分析】会计算二次根式的加减法，并能够代入求值．
48．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值．
【答案】（1）解：是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下
∵，
又∵，
∴，
解得，
∴，，
∵A的坐标为，
∴，
∴，
∴是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）解：存在，
情况一：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，轴于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为；
情况二：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，交延长线于F，交y轴于D，
同理可以求出，，
同理可以证明，
∴，，
∴，，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为；
∴综上所述，存在点P的坐标为或，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，
由（2）可知H的坐标为，
∴．
故的最小值为．
【解析】【分析】（1）先由非负数性质求得b、c，再求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可；
（2）分当和当两种情况讨论求解即可；
（3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，可证得到，则，故要使的值最小，只需的值最小，即当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，由（2）可知H的坐标，利用两点距离公式求解即可．
（1）解：∵，
∴，，，解得，，，
∴，，
∵A的坐标为，
∴，
∴，
∴是以B为直角顶点的直角三角形；
（2）解：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，轴于F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为；
如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，交延长线于F，交y轴于D，
同理可以求出，，
同理可以证明，
∴，，
∴，，
∵P在第二象限，
∴点P的坐标为；
∴综上所述，存在点P的坐标为或，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴要使的值最小，只需的值最小，
∴当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，
由（2）可知H的坐标为，
∴．
故的最小值为．
49．给出定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
举例如下：，，，，…
试解决下列问题：
（1）填空：①______，______（为圆周率），______；
②如果，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
（3）求满足的所有非负实数的值．
【答案】（1）10，3，4
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得
不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个，
不等式组整数解为：，0，1，2，
故实数的取值范围：；
（3）解：，，
设，k为整数，则，
，
，，
，
，1，2，3，
则，，，，
【解析】【解答】（1）解：①由题意可得：
，
（为圆周率），
，
，
故答案为：10，3，4；
②，
，
解得：，
故答案为：；
【分析】（1）①根据新定义列式计算即可求出答案.
②根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据整数解，建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设，k为整数，则，根据新定义方程，解方程即可求出答案.
50．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求、OB的长；
（2）连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴A（6，0），B（0，3），
∴，；
（2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
②当P在线段AO的延长线上时，如图所示：
∵，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
即t的范围是且；
（3）解：∵，
∴，
分两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
∵，
∴；
②当P在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴；
即存在这样的点P，使，t的值是3或9．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，求出m、n的值，即可得到点A、B的坐标，进而即可得出OA、OB的长度；
（2）分两种情况进行讨论：①当P在线段OA上时，②当P在线段AO的延长线上时，分别用含t的式子表示出三角形的面积，然后根据△POB的面积不大于3且不等于0列出不等式组，分别求出t的取值范围即可；
（3）根据全等三角形的对应边相等得OP=OB=3，然后分两种情况：①P在线段OA上时，根据AP=OA-OP算出AP的长，进而根据路程除以速度等于时间可求出t的值；②P在线段AO的延长线上时，根据AP=OA+OP算出AP的长，进而根据路程除以速度等于时间可求出t的值，综上即可得出答案.
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