浙教版数学八年级下册 2.3 一元二次方程根与系数的关系 一阶训练
一、选择题
1．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
2．（2024八下·柯桥期中）若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个根分别为、 ，
∴，
故答案为：．
【分析】根据 一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解.
3．（2024八下·广安期末）方程的两根之和与两根之积分别是（ ）
A．1和2 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程可变形为：，
∴两根之和为：，
两根之积为：，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算即可求解.
4．（2024八下·越城期末）一元二次方程 的两根为 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】
解：
A，B、，解得：故A，B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A，B、利用求根公式解出方程：的根即可
C、根据代入计算即可
D、根据d代入计算即可.
5．（2024八下·崇川月考）已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： m，n是方程的两根，
即，
，
故答案为：Ｂ．
【分析】根据m，n是方程的两根得，，再把变形得，
代入数据得答案．
6．（2024八下·诸暨期中）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．13
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式求解即可．
7．已知 是一元二次方程 的两个实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴x1+x2=2， ，
∴D选项中 错误，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
8．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是a，
∵3x2-4x+m=0的一个根是x=1，
∴根据根与系数的关系得，
∴.
故答案为：A.
【分析】设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解.
9．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
10．（2022八下·嵊州期中）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴3＋1＝ p，3×1＝q，
∴p＝ 4，q＝3，
所以这个一元二次方程是 ，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，可求出p、q的值，从而即可得出答案.
二、填空题
11．（2025八下·雨花期末）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∴
故答案为：1.
【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即，整体代入即可求出答案。
12．（2025八下·慈溪期末）若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
【答案】x=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据根与系数的关系得1＋m＝6，
解得m＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：x＝5．
【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得1＋m＝6，然后解一次方程即可．
13．（2025九下·苏州工业园月考）设是关于的方程的两个根，且，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；经检验符合题意.
故答案为：-2．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数关系x1+x2=，可得，然后结合 可求出x1与x2的值，进而即可根据有理数乘法法则求出k的值.
14． 已知关于 的一元二次方程 的一个根为 2 ， 则方程的另一个根为
【答案】x=-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
由题意可得2a=-6，
解得a=-3.
即方程的另一个根为-3.
故答案为：x=-3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，可解决此题.
15．（2024八下·柯桥期中）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，则＝ ．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，
故答案为，2023.
【分析】由一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到再将代数式进行恒等变形代入计算即可求解.
三、解答题
16．（2024八下·长沙期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，
的取值范围。
（2）解：根据题意，可得
把代入
得，
解得：，
方程的两根为：，，
综上所述，，另一个根为5．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）因为一元二次方程有实数根，则包含有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，令，然后再进行求解即可
（2）把代入方程得出的值，然后再把k代回原方程，然后解方程即可
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，
的取值范围；
（2）把代入得，
解得：，
方程的两根为，，
综上所述，，另一个根为5．
17．（2024八下·象山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）解：对于方程：
，
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故不论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数根为且，由题意得：，
对于，
x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，
∵，
，
或，
故的值为2或．
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；
（2）设方程的两实数根为且，则，利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，再根据完全平方公式变形得，最后代入得关于m的方程并求解即可．
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一、选择题
1．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
2．（2024八下·柯桥期中）若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·广安期末）方程的两根之和与两根之积分别是（ ）
A．1和2 B．和 C．和 D．和
4．（2024八下·越城期末）一元二次方程 的两根为 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·崇川月考）已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．4
6．（2024八下·诸暨期中）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．13
7．已知 是一元二次方程 的两个实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．－3
9．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
10．（2022八下·嵊州期中）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025八下·雨花期末）设x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两根，则 .
12．（2025八下·慈溪期末）若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
13．（2025九下·苏州工业园月考）设是关于的方程的两个根，且，则 ．
14． 已知关于 的一元二次方程 的一个根为 2 ， 则方程的另一个根为
15．（2024八下·柯桥期中）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，则＝ ．
三、解答题
16．（2024八下·长沙期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求k的值以及方程的另一个根．
17．（2024八下·象山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个根分别为、 ，
∴，
故答案为：．
【分析】根据 一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程可变形为：，
∴两根之和为：，
两根之积为：，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算即可求解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】
解：
A，B、，解得：故A，B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A，B、利用求根公式解出方程：的根即可
C、根据代入计算即可
D、根据d代入计算即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： m，n是方程的两根，
即，
，
故答案为：Ｂ．
【分析】根据m，n是方程的两根得，，再把变形得，
代入数据得答案．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式求解即可．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴x1+x2=2， ，
∴D选项中 错误，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是a，
∵3x2-4x+m=0的一个根是x=1，
∴根据根与系数的关系得，
∴.
故答案为：A.
【分析】设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴3＋1＝ p，3×1＝q，
∴p＝ 4，q＝3，
所以这个一元二次方程是 ，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，可求出p、q的值，从而即可得出答案.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知
∴
故答案为：1.
【分析】一元二次方程根与系数之间存在韦达定理的关系，即，整体代入即可求出答案。
12．【答案】x=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据根与系数的关系得1＋m＝6，
解得m＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：x＝5．
【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得1＋m＝6，然后解一次方程即可．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；经检验符合题意.
故答案为：-2．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数关系x1+x2=，可得，然后结合 可求出x1与x2的值，进而即可根据有理数乘法法则求出k的值.
14．【答案】x=-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，
由题意可得2a=-6，
解得a=-3.
即方程的另一个根为-3.
故答案为：x=-3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，可解决此题.
15．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，
故答案为，2023.
【分析】由一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到再将代数式进行恒等变形代入计算即可求解.
16．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，
的取值范围。
（2）解：根据题意，可得
把代入
得，
解得：，
方程的两根为：，，
综上所述，，另一个根为5．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）因为一元二次方程有实数根，则包含有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，令，然后再进行求解即可
（2）把代入方程得出的值，然后再把k代回原方程，然后解方程即可
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
，
的取值范围；
（2）把代入得，
解得：，
方程的两根为，，
综上所述，，另一个根为5．
17．【答案】（1）解：对于方程：
，
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故不论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数根为且，由题意得：，
对于，
x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，
∵，
，
或，
故的值为2或．
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；
（2）设方程的两实数根为且，则，利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，再根据完全平方公式变形得，最后代入得关于m的方程并求解即可．
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