浙教版数学八年级下册 2.3 一元二次方程根与系数的关系 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·杭州期中）关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a，β，且α2+β2=12，m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
2．（2025八下·龙港期中）关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1-x2=10，则n的值为（ ）
A．2或3 B．3或-2 C．-3或2 D．-3或-2
3．（2025八下·永康月考）设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为( )
A． B． C． D．
4．（2025八下·杭州月考）若方程中，a、b、c满足和，则方程的根是（ ）
A．1，0 B． C． D．无法确定
5．（2024八下·蚌埠期中） 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
6．（2024八下·雨花期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（ ）
A．2 B．2或8 C．6 D．2或6
7．关于 的方程 的根的情况， 下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
8．（2025八下·杭州月考）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
9．甲、乙两名同学解关于 的方程 ， 甲看错了一次项系数， 解得两根为 5 和 3 ，乙看错了常数项， 解得两根为 3 和 4 ， 则 的值分别为（ ）
A．7，15 B． C． D．
10．（2024八下·萧山期末）已知方程的两个根是的两个根是时，的值记作；当时，的值记作则下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025·浙江竞赛）如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，，那么代数式 .
12．（2025八下·杭州期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ．
13．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
14．（2025八下·龙泉期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 。
15．（2025八下·杭州期中）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 .
三、解答题
16．（2023八下·丰城期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
17．（2025八下·象山竞赛）已知方程的两个根是，，那么，，反过来，如果，，那么以，为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
（2）已知a，b满足，，求的值.
（3）已知a，b，c均为实数，且，，求正数c的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 有两个实数根α，β，
则，
解得
又∵， ，
∴
即
则 或 (舍去)。
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到， ，整体代入求出m的值即可解题.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2+4n（x+1）-8n-1=0
∴x2-4nx-4n-1=0，
∵ 关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=4n，x1×x2=-4n-1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(4n)2-4(-4n-1)=16n2+16n+4，
又∵ x1-x2=10，
∴16n2+16n+4=100，
∴4n2+4n+1=25，
∴(2n+1)2=25，
∴2n+1=±5，
∴n1=2，n2=-3.
当n=2时，△=（4×2）2-4×（-4×2-1）=100＞0，
当n=-3时，△=（-3×4）2-4×[-4×（-3）-1]=100＞0，
∴n=2或n=-3都满足题意.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此首先将方程整理成一般形式，则可得x1+x2=4n，x1×x2=-4n-1，然后根据完全平方公式可得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，整体代入化简得(2n+1)2=25，再利用直接开平方法求解后，根据根的判别式检验即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【解答】解：设这个直角三角形的斜边为
和是方程的两个根
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得、的和与积，再利用完全平方公式可得、的平方和，再由勾股定理知斜边就是与的平方和的算术平方根.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程的两个根分别为
、
得：；得：；
故答案为：C.
【分析】先由之间的数量关系可推导出互为相反数，等于0，则可利用根与系数的关系计算出两根分别为1和-1；当然也可利用特殊值法直接看出：当时，之和为0，当时，之和与的差也为0，即一元二次方程的两个根分别为1和-1.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是不为0的实数，
∴由 得
又·.
∴m，n为一元二次方程 的两个不相等实根，
=23，
故答案为： A.
【分析】将 进行变形可知m，n为方程 的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到m+n，mn的值，再利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入得，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0先确定m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，最后将展开化简，代入求出值即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a＝3，b＝ 7，c＝4，
∴Δ＝b2 4ac＝49 4×3×4＝1＞0，
∴关于x的方程3x2 7x＋4＝0有两个实数根．
设关于x的方程3x2 7x＋4＝0的两根分别是α、β．
又∵αβ＝＞0，
∴α、β同号．
∵α＋β＝＞0，
∴α＞0，β＞0．
∴该方程有两个正根．
故答案为：A.
【分析】设关于x的方程3x2 7x＋4＝0的两根分别是α、β，利用一元二次方程根与系数的关系可得αβ＝＞0，α＋β＝＞0，即可证出α＞0，β＞0，从而得解.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程 中，且它的两根为1和5
即：
直线经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、三、四象限；当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限；因此对于直线的大体位置，由于二次项系数且两根已知，则可利用根与系数的关系先分别确定出的性质符号，则b的符号即可确定，则直线的大体位置可确定.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为5和3，
∴5×3＝c，即c＝15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为3和4，
∴3＋4＝ b，即b＝7，
∴原方程为x2 7x+15＝0，
故答案为 ．
【分析】根据根与系数的方程，根据甲把一次项系数看错可得到常数项c，乙把常数项看错可得到一次项系数b，即可得出原一元二次方程，即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，的两个根是，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根结合一元二次方程根与系数的关系得到，，，，进而即可得到，，再相加即可求解.
11．【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵m、n是两个不相等的实数，且满足
∴m、n可看作方程的两根，
∴m+n=2，
，
故答案为：2029.
【分析】先利用降次的方法得到1，则再根据题意可把m、n看作方程；的两根，根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算.
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为关于x的三次方程的三个根为，，，
所以，
展开得，，
所以，
所以，，则，，
由方程得，a=2，b=1，c=-7，d=-6，
所以，，
∴.
故答案为：．
【分析】根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，再根据分式的加法计算的值， 在整体代入即可求解．
13．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，
∵
∴
即
整理得m2-m-6=0，
解得m=-2或m=3，
∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴m2-4(2m-1)≥0，
当m=-2时， =4+24≥0，
当m=3时， =9-20<0，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=m，x1x2=2m-1，根据，代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值.
14．【答案】11或9
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵该方程的根为整数，
∴，，
∴，
∴
，
∴和也是整数，
∴或或或或或或或，
∴代入，得到满足条件的正整数 m 的值为11或9，
故答案为：11或9.
【分析】利用韦达定理，将根的和与积转化为关于参数m的方程；构造因式分解条件，通过设定根的变形，将问题转化为寻找整数解的因数对；筛选符合条件的正整数解，排除不符合条件的因数对最终确定m的值.
15．【答案】4051
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵α， β是方程 的两个实数根，
故答案为： 4051.
【分析】根据α，β是方程 的两个实数根，得出 ， 据此求解即可.
16．【答案】（1）解：∵方程
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式：，然后代入数据，最后再进行化简即可求证。
（2）根据韦达定理，求出和的值，然后再 进行变形，然后代入即可求解。
17．【答案】（1）解：设的两根为，，则所求新方程的两根为，.
所以，所求的方程为，即.
（2）解：从 a， b 满足的同一种关系可知：① 当 时，a， b 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，从而
.
② 当 时，从而 .
所以 的值为 -47 或 2.
（3）解：由，，得，，因此，由给出的结论，得a、b是方程的实数根，所以，因为，所以，所以，故c的最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)先写出方程 的两根和与两根的积，计算出新方程的两根和与两根积，再根据根与系数的关系写出新方程即可；
(2)方程结构相同，所以a、b是方程的两根.从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值.
(3)把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值.
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.3 一元二次方程根与系数的关系 三阶训练
一、选择题
1．（2025八下·杭州期中）关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a，β，且α2+β2=12，m的值为（ ）
A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 有两个实数根α，β，
则，
解得
又∵， ，
∴
即
则 或 (舍去)。
故答案为：A.
【分析】根据方程根的情况得到，求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得到， ，整体代入求出m的值即可解题.
2．（2025八下·龙港期中）关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1-x2=10，则n的值为（ ）
A．2或3 B．3或-2 C．-3或2 D．-3或-2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x2+4n（x+1）-8n-1=0
∴x2-4nx-4n-1=0，
∵ 关于x的方程x2+4n（x+1）-8n-1=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=4n，x1×x2=-4n-1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(4n)2-4(-4n-1)=16n2+16n+4，
又∵ x1-x2=10，
∴16n2+16n+4=100，
∴4n2+4n+1=25，
∴(2n+1)2=25，
∴2n+1=±5，
∴n1=2，n2=-3.
当n=2时，△=（4×2）2-4×（-4×2-1）=100＞0，
当n=-3时，△=（-3×4）2-4×[-4×（-3）-1]=100＞0，
∴n=2或n=-3都满足题意.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此首先将方程整理成一般形式，则可得x1+x2=4n，x1×x2=-4n-1，然后根据完全平方公式可得(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，整体代入化简得(2n+1)2=25，再利用直接开平方法求解后，根据根的判别式检验即可.
3．（2025八下·永康月考）设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理
【解析】【解答】解：设这个直角三角形的斜边为
和是方程的两个根
故答案为：B.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得、的和与积，再利用完全平方公式可得、的平方和，再由勾股定理知斜边就是与的平方和的算术平方根.
4．（2025八下·杭州月考）若方程中，a、b、c满足和，则方程的根是（ ）
A．1，0 B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：设方程的两个根分别为
、
得：；得：；
故答案为：C.
【分析】先由之间的数量关系可推导出互为相反数，等于0，则可利用根与系数的关系计算出两根分别为1和-1；当然也可利用特殊值法直接看出：当时，之和为0，当时，之和与的差也为0，即一元二次方程的两个根分别为1和-1.
5．（2024八下·蚌埠期中） 已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．23 B．15 C．10 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是不为0的实数，
∴由 得
又·.
∴m，n为一元二次方程 的两个不相等实根，
=23，
故答案为： A.
【分析】将 进行变形可知m，n为方程 的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到m+n，mn的值，再利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值.
6．（2024八下·雨花期末）若关于的一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（ ）
A．2 B．2或8 C．6 D．2或6
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴
∵是方程的两个实数根，
∵，
又
∴
把代入得，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0先确定m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，最后将展开化简，代入求出值即可.
7．关于 的方程 的根的情况， 下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a＝3，b＝ 7，c＝4，
∴Δ＝b2 4ac＝49 4×3×4＝1＞0，
∴关于x的方程3x2 7x＋4＝0有两个实数根．
设关于x的方程3x2 7x＋4＝0的两根分别是α、β．
又∵αβ＝＞0，
∴α、β同号．
∵α＋β＝＞0，
∴α＞0，β＞0．
∴该方程有两个正根．
故答案为：A.
【分析】设关于x的方程3x2 7x＋4＝0的两根分别是α、β，利用一元二次方程根与系数的关系可得αβ＝＞0，α＋β＝＞0，即可证出α＞0，β＞0，从而得解.
8．（2025八下·杭州月考）二次方程的两根为1和5，则一次函数不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程 中，且它的两根为1和5
即：
直线经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】对于一次函数，当时，直线经过一、二、三象限；当时，直线经过一、三、四象限；当时，直线经过一、二、四象限；当时，直线经过二、三、四象限；因此对于直线的大体位置，由于二次项系数且两根已知，则可利用根与系数的关系先分别确定出的性质符号，则b的符号即可确定，则直线的大体位置可确定.
9．甲、乙两名同学解关于 的方程 ， 甲看错了一次项系数， 解得两根为 5 和 3 ，乙看错了常数项， 解得两根为 3 和 4 ， 则 的值分别为（ ）
A．7，15 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为5和3，
∴5×3＝c，即c＝15，
∵乙把常数项看错了，解得两根为3和4，
∴3＋4＝ b，即b＝7，
∴原方程为x2 7x+15＝0，
故答案为 ．
【分析】根据根与系数的方程，根据甲把一次项系数看错可得到常数项c，乙把常数项看错可得到一次项系数b，即可得出原一元二次方程，即可得出答案．
10．（2024八下·萧山期末）已知方程的两个根是的两个根是时，的值记作；当时，的值记作则下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两个根是，的两个根是，
∴，，，，
∴，，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根结合一元二次方程根与系数的关系得到，，，，进而即可得到，，再相加即可求解.
二、填空题
11．（2025·浙江竞赛）如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，，那么代数式 .
【答案】2029
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵m、n是两个不相等的实数，且满足
∴m、n可看作方程的两根，
∴m+n=2，
，
故答案为：2029.
【分析】先利用降次的方法得到1，则再根据题意可把m、n看作方程；的两根，根据根与系数的关系得到m+n=2，然后利用整体代入的方法计算.
12．（2025八下·杭州期中）小明学习了韦达定理之后，发现若一元二次方程有两个实数根，，则方程可化为，将等式左边展开后可得，与原方程系数比较，就不难得到根与系数的等量关系．
小明接着思考，那么若一元三次方程有三个实数根，，，则这三个根之和、三个根之积与原方程系数之间是否存在类似的等量关系？
请你帮助小明解决问题：若方程的三个实数根为，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为关于x的三次方程的三个根为，，，
所以，
展开得，，
所以，
所以，，则，，
由方程得，a=2，b=1，c=-7，d=-6，
所以，，
∴.
故答案为：．
【分析】根据一元三次方程有三个实数根，，，则有，然后得出，，再根据分式的加法计算的值， 在整体代入即可求解．
13．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，
∵
∴
即
整理得m2-m-6=0，
解得m=-2或m=3，
∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴m2-4(2m-1)≥0，
当m=-2时， =4+24≥0，
当m=3时， =9-20<0，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=m，x1x2=2m-1，根据，代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值.
14．（2025八下·龙泉期中）已知关于的方程，若方程的根都是整数，则满足条件的正整数的值为 。
【答案】11或9
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵该方程的根为整数，
∴，，
∴，
∴
，
∴和也是整数，
∴或或或或或或或，
∴代入，得到满足条件的正整数 m 的值为11或9，
故答案为：11或9.
【分析】利用韦达定理，将根的和与积转化为关于参数m的方程；构造因式分解条件，通过设定根的变形，将问题转化为寻找整数解的因数对；筛选符合条件的正整数解，排除不符合条件的因数对最终确定m的值.
15．（2025八下·杭州期中）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则代数式2α2+6α+2β+5的值为 .
【答案】4051
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：
∵α， β是方程 的两个实数根，
故答案为： 4051.
【分析】根据α，β是方程 的两个实数根，得出 ， 据此求解即可.
三、解答题
16．（2023八下·丰城期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵方程
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式：，然后代入数据，最后再进行化简即可求证。
（2）根据韦达定理，求出和的值，然后再 进行变形，然后代入即可求解。
17．（2025八下·象山竞赛）已知方程的两个根是，，那么，，反过来，如果，，那么以，为两根的一元二次方程是.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
（2）已知a，b满足，，求的值.
（3）已知a，b，c均为实数，且，，求正数c的最小值.
【答案】（1）解：设的两根为，，则所求新方程的两根为，.
所以，所求的方程为，即.
（2）解：从 a， b 满足的同一种关系可知：① 当 时，a， b 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，从而
.
② 当 时，从而 .
所以 的值为 -47 或 2.
（3）解：由，，得，，因此，由给出的结论，得a、b是方程的实数根，所以，因为，所以，所以，故c的最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)先写出方程 的两根和与两根的积，计算出新方程的两根和与两根积，再根据根与系数的关系写出新方程即可；
(2)方程结构相同，所以a、b是方程的两根.从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值.
(3)把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值.
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