浙教版数学八年级下册 2.4 一元二次方程的应用 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·萧山期末）年杭州市某区的国内生产总值亿元年该区的亿元，在杭州市各区县排名第一设这两年该区的平均增长率为，根据题意可列出方程为( )
A． B．
C． D．
2．（2024八下·温州期中）如图，一张长宽比为5：3的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·合肥期中） 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·临平月考）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·吉林月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·滨江期中）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
8．（2024八下·杭州期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·杭州期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
10．（2024八下·乐清期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．
二、填空题
11．有一个两位数， 其十位上的数字与个位上的数字之和是 5 ， 把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736 ，则原两位数为 .
12．（2023八下·上城期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
13．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm， BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若使△PBQ的面积为 cm2，则点P运动的时间是 s.
14．（2025八下·永康月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
15．（2022八下·兰溪月考）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
三、解答题
16．综合实践：如何用最少的材料设计花园
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.
（1）若m=14，能成功围成吗 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
（2）若要成功围成，则m的最小值为 ，此时， 米.
17．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为 .
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年该区的平均增长率为，由题意得，
故答案为：B
【分析】设这两年该区的平均增长率为，根据“年杭州市某区的国内生产总值）为2502.2亿元年该区的为2936.43亿元”即可列出一元二次方程，从而即可求解。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，由题意得．
故答案为：D
【分析】设这张长方形纸板的长为，宽为，根据图片结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2023的教育经费为3(1+x)万元，2024的教育经费为万元，
∴可列方程为.
故答案为：A.
【分析】设教育经费的年平均增长率为x，则2023的教育经费为3(1+x)万元，2024的教育经费为万元，即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，可得瑜逝世时的年龄的十位数字为x-3，
结合题意可得：10（x-3）+x=x2，
故答案为：D.
【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，可得瑜逝世时的年龄的十位数字为x-3，最后根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；列一元二次方程
【解析】【解答】设秋千绳索长为x尺， 由题意可得，
故答案为：C.
【分析】设秋千绳索长为x尺，可得AB=（x-4）尺，根据勾股定理即可列出方程.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，得m2=4，4n+4=14，
解得m=2，n=.
故答案为：D.
【分析】画出方程x2+mx-n=0的拼图过程，由面积之间的关系可得m2=4，4n+4=14，进而求解即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x) 50%（1+x)，即可列方程求解。
【解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x) 50%（1+x)=132，
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去)，
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程 化为，
∴图中长方形的长为，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=BD=m，AC=6，
∴AB==，
∴AD=AB-BD=-m，
∵，
∴，即，
∴169m2=25(m2+36)，
解得m=2.5或m=-2.5，
根据题意m > 0，
∴m = 2.5，
经检验，m=2.5是原方程的解；
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理求得AB的代数式，再由题意可列出关于m的方程，解出即可得出答案.
11．【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），
由题意列方程：
[10（5-x）+x][10x+(5-x)]=736，
解得：x1=2，x2=3，
这个两位数为：23或32.
故答案为：23或32.
【分析】设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），根据题中的相等关系“把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736”可列关于x的一元二次方程，解之求出x的值，然后根据两位数等于十位上的数字×10+个位上的数字即可求解.
12．【答案】1；
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1；
阴影部分每个正方形的边长为.
故答案为：1；.
【分析】利用题中方法，可以直接得出阴影部分正方形的边长；再利用正方形面积公式和 得到（x+3）2=16，进而得出小正方形的边长x的值.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点P运动的时间为t秒钟，根据题意得
t（4-t）=
解之：t1=3，t2=5.
∵BC=3，
∴t≤3
∴t=3.
故答案为：3.
【分析】设点P运动的时间为t秒钟，利用点P和点Q的运动速度和方向可表示出BP，BQ的长，再利用三角形的面积公式建立关于t的方程，解方程求出t的值，可得到符合题意的t的值.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”
故答案为：2019.
【分析】由“同族二次方程”的概念可把方程表示成的形式，则左边展开式与原方程左边对应相等，此时可得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出和的值，则利用配方法可把所求代数式表示成“同族二次方程”左边的形式，即一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，由于完全平方式都是非负数，则其最小值为这个常数的值.
15．【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A点坐标为(0，3)，
∴Q点坐标为(t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，证明△APD≌△BED，可得BE=AP=2t，即得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，即BQ=3-t，P(-2t，3)，C(-3，0)，A(0，3)，从而求出Q(t-3，0)，由Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，从而求出QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理求，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分两种情况：①当PQ=PE时，②当QE=PE时，据此分别列出方程并解之即可.
16．【答案】（1）解：目标1：设AB的长为x米.
∵可用的篱笆总长为20米，
∴BC的长为(20-2x)米.
根据题意，得x(20-2x)=32，
化简、整理，得x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8.
当x=2时，20-2x=20-2×2=16>10，不符合题意；
当x=8时，20-2x=20-2×8=4<10，符合题意.
答：AB的长为8米.
目标2：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米.
根据题意，得y(14-2y)=，
化简、整理，得4y2-28y+81=0.
∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0，
∴原方程没有实数根，
∴不能围成面积为平方米的长方形花园
（2）18；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(2)设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米.
根据题意，得a(m-2a)=，
化简、整理，得4a2-2ma+81=0.
由题意，得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0，
解得m≥18或m≤-18.
∵m>0，∴m的最小值为18.
当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0，
解得a1=a2=.
当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米.
故答案为18，.
【分析】(1)目标1：设AB=x，则BC=20-2x，由此得关于x的一元二次方程，求解方程后再验证知x=8符合题意；目标2：同理设AB=y，得方程4y2-28y+81=0，无实数根即知不能围成平方米的长方形花园；
(2)设AB=a，则BC=m-2a，得方程4a2-2ma+81=0，根据判别式b2-4ac≥0，即可得m的最小值，同时可得AB的长.
17．【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
1 / 1浙教版数学八年级下册 2.4 一元二次方程的应用 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·萧山期末）年杭州市某区的国内生产总值亿元年该区的亿元，在杭州市各区县排名第一设这两年该区的平均增长率为，根据题意可列出方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这两年该区的平均增长率为，由题意得，
故答案为：B
【分析】设这两年该区的平均增长率为，根据“年杭州市某区的国内生产总值）为2502.2亿元年该区的为2936.43亿元”即可列出一元二次方程，从而即可求解。
2．（2024八下·温州期中）如图，一张长宽比为5：3的长方形纸板，剪去四个边长为的正方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这张长方形纸板的长为，宽为，由题意得．
故答案为：D
【分析】设这张长方形纸板的长为，宽为，根据图片结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
3．（2024八下·合肥期中） 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2023的教育经费为3(1+x)万元，2024的教育经费为万元，
∴可列方程为.
故答案为：A.
【分析】设教育经费的年平均增长率为x，则2023的教育经费为3(1+x)万元，2024的教育经费为万元，即可得到答案.
4．（2024八下·临平月考）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，可得瑜逝世时的年龄的十位数字为x-3，
结合题意可得：10（x-3）+x=x2，
故答案为：D.
【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，可得瑜逝世时的年龄的十位数字为x-3，最后根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案．
5．（2024八下·吉林月考）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长 ”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；列一元二次方程
【解析】【解答】设秋千绳索长为x尺， 由题意可得，
故答案为：C.
【分析】设秋千绳索长为x尺，可得AB=（x-4）尺，根据勾股定理即可列出方程.
6．（2023八下·滨江期中）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意，得m2=4，4n+4=14，
解得m=2，n=.
故答案为：D.
【分析】画出方程x2+mx-n=0的拼图过程，由面积之间的关系可得m2=4，4n+4=14，进而求解即可得出答案.
7．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A．20％ B．30% C．50% D．120%
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率)。则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x) 50%（1+x)，即可列方程求解。
【解答】设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200（1+x) 50%（1+x)=132，
解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去)，
则新品种花生亩产量的增长率为20%，
故选A.
【点评】本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解。找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键。
8．（2024八下·杭州期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，边长为10，故得的正数解为．小明用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵ 大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程 化为，
∴图中长方形的长为，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，
∴ ，
故 ， ，
故答案为：D．
【分析】根据题意将x的方程 化为，即长方形的长为，宽为x ，再依据大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，用代数式表示出边长即可．
9．（2024八下·杭州期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为x cm，宽为y cm，
根据题意可得，
，
将(②-①)3可得出：y-x+1=0，即x=y+1③，
将③代入②中可得：y (y+1) =16+3(y-4)+11，
整理得：，
解得：或（舍），
则x=y+1=6，
则矩形的宽为5cm，长为6cm，
按照图③放置的时候，未覆盖的面积为：，
故答案为：C．
【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式表示出三个图形中未被覆盖的面积，然后根据①②两个等式求出①②，然后计算③的面积即可．
10．（2024八下·乐清期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=BD=m，AC=6，
∴AB==，
∴AD=AB-BD=-m，
∵，
∴，即，
∴169m2=25(m2+36)，
解得m=2.5或m=-2.5，
根据题意m > 0，
∴m = 2.5，
经检验，m=2.5是原方程的解；
故答案为：C.
【分析】先根据勾股定理求得AB的代数式，再由题意可列出关于m的方程，解出即可得出答案.
二、填空题
11．有一个两位数， 其十位上的数字与个位上的数字之和是 5 ， 把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736 ，则原两位数为 .
【答案】23或32
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），
由题意列方程：
[10（5-x）+x][10x+(5-x)]=736，
解得：x1=2，x2=3，
这个两位数为：23或32.
故答案为：23或32.
【分析】设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为（5-x），根据题中的相等关系“把个位上的数字与十位上的数字对调后， 所得的新两位数与原两位数的乘积为 736”可列关于x的一元二次方程，解之求出x的值，然后根据两位数等于十位上的数字×10+个位上的数字即可求解.
12．（2023八下·上城期末）有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
【答案】1；
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1；
阴影部分每个正方形的边长为.
故答案为：1；.
【分析】利用题中方法，可以直接得出阴影部分正方形的边长；再利用正方形面积公式和 得到（x+3）2=16，进而得出小正方形的边长x的值.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm， BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动若使△PBQ的面积为 cm2，则点P运动的时间是 s.
【答案】3
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点P运动的时间为t秒钟，根据题意得
t（4-t）=
解之：t1=3，t2=5.
∵BC=3，
∴t≤3
∴t=3.
故答案为：3.
【分析】设点P运动的时间为t秒钟，利用点P和点Q的运动速度和方向可表示出BP，BQ的长，再利用三角形的面积公式建立关于t的方程，解方程求出t的值，可得到符合题意的t的值.
14．（2025八下·永康月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的其他应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”
故答案为：2019.
【分析】由“同族二次方程”的概念可把方程表示成的形式，则左边展开式与原方程左边对应相等，此时可得到关于和的二元一次方程组，解方程组求出和的值，则利用配方法可把所求代数式表示成“同族二次方程”左边的形式，即一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，由于完全平方式都是非负数，则其最小值为这个常数的值.
15．（2022八下·兰溪月考）如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 .
【答案】或
【知识点】一元二次方程的其他应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t，0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t，3)，C点坐标为(-3，0)，A点坐标为(0，3)，
∴Q点坐标为(t-3，0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，.
故答案为：，.
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，证明△APD≌△BED，可得BE=AP=2t，即得E点坐标为(2t，0)，CQ=t，即BQ=3-t，P(-2t，3)，C(-3，0)，A(0，3)，从而求出Q(t-3，0)，由Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，从而求出QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理求，，根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分两种情况：①当PQ=PE时，②当QE=PE时，据此分别列出方程并解之即可.
三、解答题
16．综合实践：如何用最少的材料设计花园
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.
（1）若m=14，能成功围成吗 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
（2）若要成功围成，则m的最小值为 ，此时， 米.
【答案】（1）解：目标1：设AB的长为x米.
∵可用的篱笆总长为20米，
∴BC的长为(20-2x)米.
根据题意，得x(20-2x)=32，
化简、整理，得x2-10x+16=0，
解得x1=2，x2=8.
当x=2时，20-2x=20-2×2=16>10，不符合题意；
当x=8时，20-2x=20-2×8=4<10，符合题意.
答：AB的长为8米.
目标2：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米.
根据题意，得y(14-2y)=，
化简、整理，得4y2-28y+81=0.
∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0，
∴原方程没有实数根，
∴不能围成面积为平方米的长方形花园
（2）18；
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(2)设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米.
根据题意，得a(m-2a)=，
化简、整理，得4a2-2ma+81=0.
由题意，得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0，
解得m≥18或m≤-18.
∵m>0，∴m的最小值为18.
当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0，
解得a1=a2=.
当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米.
故答案为18，.
【分析】(1)目标1：设AB=x，则BC=20-2x，由此得关于x的一元二次方程，求解方程后再验证知x=8符合题意；目标2：同理设AB=y，得方程4y2-28y+81=0，无实数根即知不能围成平方米的长方形花园；
(2)设AB=a，则BC=m-2a，得方程4a2-2ma+81=0，根据判别式b2-4ac≥0，即可得m的最小值，同时可得AB的长.
17．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为 .
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
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