1.2 二次根式的性质
（4大题型突破）
题型一：二次根式的化简
1．化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
2．化简：（ ）
A．8 B．3 C． D．
3．若，化简：（ ）
A． B． C． D．3
4．比较大小： ．
5．如果的化简结果与无关，那么的取值范围是 ．
6．若，则 ．
题型二：最简二次根式的判断
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．写出一个被开方数小于20的最简二次根式： ．
11．在中，是最简二次根式的是
12．判断下列二次根式是否是最简二次根式，如果不是，请化成最简二次根式．
① ② ③ ④
题型三：最简二次根式
13．若，则（ ）
A． B． C． D．
14．将化简，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
15．下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ．
17．化简： ．
18．将化为最简二次根式为 ．
题型三：二次根式求参数
19．若最简二次根式可以与合并，则的值是（ ）
A．11 B．4 C．2 D．1
20．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A．7 B．21 C．5 D．6
21．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（ ）
A．1 B．0 C． D．
22．若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（ ）．
A．0 B．2 C．4 D．6
23．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么 ．
24．若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）．
25．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值： ．
26．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
27．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．
28．化简后等于（ ）
A． B． C． D．
29．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
30．计算 ．
31．求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程．
(1)__________的解法是错误的，错误的原因是__________．
(2)求代数式的值，其中．1.2 二次根式的性质
（4大题型突破）
参考答案
题号 1 2 3 7 8 9 13 14 15 19
答案 B C A D A B B A C C
题号 20 21 22 28 29
答案 C D D C C
1．B
本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算．
先计算，再化简二次根式即可．
解：．
故选：B．
2．C
本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；将18分解为，利用二次根式的性质进行化简即可．
解：；
故选C．
3．A
本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算．
解：∵，
∴，，
∴，，
则原式
．
故选：A．
4．＞
本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键．
解：计算 ，，
∵，
∴ ．
故答案为： ．
5．
本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键．
先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可．
解：∵，
∴当时，；
当时，；
当时，；
∵的化简结果与无关，
∴．
故答案为：．
6．
本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
7．D
本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义．
根据最简二次根式的定义（被开方数的因数是整数或整式，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）逐一分析选项即可．
解：选项，的被开方数是分数，不是最简二次根式；
选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
选项，，被开方数是分数，不是最简二次根式；
选项，符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．
故选：．
8．A
本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项．
解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意．
B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意．
故选：A．
9．B
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项.
解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，含平方因数，不是最简二次根式；
④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式．
∴ 最简二次根式有①和⑤，共个.
故选：B．
10．
（答案不唯一）
本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符合条件的二次根式．
∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数，
∴是最简二次根式．
故答案为：（答案不唯一）．
11．
本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可．
解：，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式，
故答案为：．
12．见解析
本题考查的是二次根式的化简、掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据题意判断即可．
解：①不是最简二次根式，；
②是最简二次根式；
③，被开方数含有分母，不是最简二次根式，；
④不是最简二次根式，．
13．B
本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，将被开方数分解为平方数与非平方数的乘积，再结合已知条件转化即可求解．
解：由题意可得：，
故选：B．
14．A
本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术平方根的非负性．
解：；
故选：A．
15．C
本题考查最简二次根式的化简，关键是掌握最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
解：，而选项中的中还能继续化简，不是最简二次根式，故A错误；
，选项中的分母含有根号，不符合最简二次根式的要求，故B错误；
，该结果满足最简二次根式的两个条件，故C正确；
，选项中的化简错误，故D错误；
故选：C．
16．
本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义可得，即可求解．
解：，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：
17．
本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式．
解：因为 ，所以 ，
则，
故答案为 ．
18．
先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式．
解：先把化为分数：，则．
根据二次根式的性质，将分母有理化：
．
故答案为 ．
本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式．
19．C
本题考查了最简二次根式，二次根式的化简．
先化简，再根据最简二次根式的定义作答即可．
解：，
∵最简二次根式可以与合并，
∴，
解得：．
故选：C．
20．C
本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析．
先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值．
解：，其被开方数为2．
∵最简二次根式与可以合并，
∴，则
故选：C．
21．D
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键
根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
解：，
，当时，，不是最简二次根式；
当时，，是最简二次根式，
故可取的最小整数为，
故选：D．
22．D
先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案．
解：，
∵是正整数，
∴为完全平方数，
∴的最小值是．
故选：D.
本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
23．1
本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键．
解：由题意得，
解得，
故答案为：1．
24．1（答案不唯一）
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的概念解答即可．
解：当时，，
是最简二次根式，符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
25．1
本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子，
解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式
故答案为：1（答案不唯一）．
26．5
本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键．
根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值．
解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：，
故答案为：．
27．
根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值
解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式
解得：
∴符合题意
本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．
28．C
本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可．
解：∵被开方数非负，
∴，
∵，
∴，即，
∴且，
∴，
故选：C．
29．C
本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可．
解：由图可知：，，
∴，
∴；
故选：C．
30．
本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键．
通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可．
解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019，
∵
∴原式．
故答案为：．
31．(1)小亮 因式分解错误
(2)
（1）需根据二次根式的性质，结合的取值判断绝对值内式子的正负，分析小亮和小芳的解法；
（2）先将被开方数化为完全平方式，再利用二次根式性质化简，代入的值计算．
（1）解：小亮的解法是错误的，
错误的原因是：对化简时，错误地将变形为（实际应为），且未正确利用的性质判断符号．
（2）解：原式．
根据二次根式性质，已知，则，故：
代入化简：
原式．
将代入，
解得：．
本题考查了二次根式的化简，解题关键是先将被开方数化为完全平方式，再结合字母的取值判断绝对值内式子的正负，进而正确化简．
