1.1二次根式的意义
（4大题型突破）
题型一：二次根式的识别
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子是二次根式的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦
A．个 B．个 C．个 D．个
3．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）．
题型二：二次根式中的参数
4．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
5．已知是正整数，则整数的最大值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2 D．1
6．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
8．若实数x，y满足，则的值为 ．
9．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ．
10．对于，当是整数时，最小的正整数 ．
11．当 时，二次根式的值为0．
12．已知是整数，求自然数n的值．
题型三：二次根式有意义的条件
13．已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（）
A． B． C． D．
14．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
16．使代数式有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
17．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
18．函数中，自变量的取值范围是 ．
19．已知实数，，满足，求的值．
20．当为何值时，下列各式有意义？
(1)
(2)
(3)
(4)
题型四：二次根式中的值
21．二次根式的值是（ ）
A． B．2 C． D．
22．当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
24．《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ．
25．当时，二次根式的值是 ．
26．二次根式，给赋予一个实际意义为 ．
27．当人站在离地面的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为，．泰山的海拔约为，天气晴朗时站在泰山之巅，若没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少？（）
28．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径．
29．已知，则的算术平方根是（ ）
A． B．3 C．5 D．
30．若满足关系式，则的值为（ ）
A． B．6 C．2 D．
31．已知m是函数自变量取值范围内的一个非负整数，则的平方根是 ．
32．已知，则 ．
33．（1）已知x、y为实数，，求的值；
（2）已知和互为相反数 ，且的平方根是它本身，求的平方根．1.1二次根式的意义
（4大题型突破）
参考答案
题号 1 2 4 5 6 7 13 14 15 16
答案 B C B B D D D C C D
题号 21 22 23 29 30
答案 B C D C A
1．B
本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义．
需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项．
解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式；
B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式；
C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式；
D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式；
故选：B．
2．C
本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解．
解：①∵，
∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式；
②的被开方数，根指数为，是二次根式；
③当时，，被开方数为负数，不是二次根式；
④∵，
∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式；
⑤的根指数为，不是，不是二次根式；
⑥∵，
∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式；
⑦的被开方数，不是二次根式；
综上，是二次根式的有①②④⑥，共个．
故选：C．
3．错
本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据二次根式的定义解答即可．
解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质．
故小红的说法是错误的．
故答案为：错．
4．B
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．
解：∵a是正整数，的值是整数，
∴
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为．
5．B
本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数．
解：
要使是正整数，
即当时，．
故整数的最大值为2024．
故选：B．
6．D
本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式发现第n个单项式的系数为，字母部分为，即可求解．
解：各单项式的系数依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的系数为．
各单项式的字母部分依次为，，，，，
而；，，，，
∴第n个单项式的字母部分为．
综上，第个单项式为．
故选：D
7．D
本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可．
解：A．∵，∴不是二次根式；
B．∵的根指数是3，∴不是二次根式；
C．当即时，不是二次根式；
D．∵，∴，∴是二次根式．
故选D．
8．/
本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可．
解：∵，且 ，
∴，即，
将代入，得，解得：．
∴．
故答案为：．
9．
，，，，
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值．
解：设 （ 为整数，且 ），则 ，
．
是自然数，
，
即，解得 ．
是非负整数，
可能取值为 ，，，，．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
故自然数的所有可能值为 ，，，，．
故答案为：，，，，．
10．
本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键．
解：∵，
∴当是整数时，最小的正整数，
故答案为：．
11．2
本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零．
解：根据题意可得：，解得：．
故答案为：2．
12．10，9，6，1
本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解．
由题意得，
又n为自然数，
∴，
∵是整数 ，
∴，，，，
∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1．
13．D
本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义．
解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意
对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意
对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意
对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意
故选：D．
14．C
本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，根据二次根式性质与分式的符号性质求解，先确定分母的取值范围，再根据分式小于0的条件确定分子的范围，最后取两者交集得到x的取值范围即可．
解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0，
∴，
解得，
∵分式，且，
∴分子，
解得，
∴综合两个不等式的解，x的取值范围是．
故选：C．
15．C
本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式组的解集．
根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．
解：∵有意义，
∴且
解得：且
即，
在数轴上表示为：．
故选：C．
16．D
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以得出x的范围．
解：∵分母，
∴，
∵被开方数，
∴，
∴且．
故选D．
17．/
本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，进一步求解即可．
解：∵ 在实数范围内有意义，
∴，
解得 ．
故答案为 ．
18．
本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，
根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可．
解：∵函数有意义，
∴分母，且被开方数，但分母不为零，故，
即，
解得．
故答案为：．
19．
10
本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质.
本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值.通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算.
解：由题意可得：
.
20．(1)
(2)
(3)且
(4)取任意实数
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0．
（1）根据被开方数非负得到不等式求解即可；
（2）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可；
（3）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可；
（4）根据二次根式有意义的条件求解即可．
（1）解：，
即，
所以当时，有意义；
（2）解：，即，
所以当时，有意义；
（3）解：，即且，
所以当且时，有意义；
（4）解：因为，所以取任意实数，都有意义．
21．B
本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可．
解：
故选：B．
22．C
本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．
当时，
，
故选：C．
23．D
本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
解：A．当时，是二次根式，故不符合题意；
B．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；
C．不是二次根式，故不符合题意；
D．是二次根式，故符合题意．
故选D．
24．/
本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可．
解：∵，
∴,
∴，
故答案为：．
25．2
本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可．
解：当时，，
故答案为：2．
26．面积是的正方形的边长（答案不唯一）
本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解．
解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长．
故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）．
27．
根据求代数式的值的基本方法解答即可．
本题考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式的值的基本方法是解题的关键．
解：当时，
．
答：肉眼能看到的地面最远距离大约是．
28．冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可；
解：把代入，得．
解得．
冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
29．C
本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．
根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根．
解：∵ 和都有意义，
∴ 且，
∴ 且，
∴ ．
当时，，，
∴ 方程左边 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴的算术平方根为．
故选：C．
30．A
本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ．
解：∵ ，
∴ ，，．
由 得 ，
由 得 ，即 ，
∴ ．
代入原式：，
，
∴ ，
两边平方得 ，即 ，
∴ ．
故选：A．
31．
本题考查了函数自变量的范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数、分式中分母不等于是解题的关键．
先根据函数解析式确定自变量的取值范围，再找出符合条件的非负整数，代入表达式求值，最后求平方根即可．
解：函数中，自变量需满足且．
解不等式得，
故的取值范围为且．
∵是非负整数且在此范围内，
只能为．
当时，
．
的平方根为．
故答案为：．
32．
本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解．
解：依题意，
∴，
当时，
∴，
故答案为：．
33．（1）；（2）．
（1）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件求出的值，进而求出的值，最后代入求值．二次根式中被开方数须大于等于，分式分母不能为．
（2）由的平方根是它本身，可先求出的值．又利用和互为相反数，根据互为相反数的两个数立方根互为相反数以及立方根的性质来求解的值，最后计算的平方根．
解：（1）要使和有意义，则
且，即，
解得．
又∵分式分母，即，
∴．
当时，，则．
当，时，原式
；
（2）∵的平方根是它本身，设，则，且，又是它本身，
∴，即，
∴，
解得．
∵和互为相反数，
∴，
∴，解得．
∴，
∴．
本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、平方根和立方根的性质，熟练掌握二次根式中被开方数大于等于、分式分母不为、平方根和立方根的定义及性质是解题的关键．
