1.3 二次根式的运算
（12大题型突破）
题型一：二次根式的乘法
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A． B．10 C． D．
3．计算 ．
4． ．
题型二：二次根式的除法
5．下列各数中，与的商为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．计算的结果是（ ）
A．5 B．3 C． D．
7．计算：（ ）
A． B． C．3 D．2
8．化简的结果是 ．
9．计算：
（1） ；
（2） ．
10．请写出一个实数，该数除以所得的商为整数： ．
题型三：二次根式分母有理化
11．已知，，则a与b的关系是（ ）
A． B． C． D．
12．将分母有理化的结果为（ ）
A． B． C． D．
13．二次根式的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
14．不等式的解集是 ．
15．不等式的解集是 ．
题型四：二次根式的乘除混合运算
16．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．下列计算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．化简的结果为 ．
20．计算： ．
21．不等式的解集是 ．
22．运算能力计算：
(1)；
(2)．
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型五：复合二次根式的化简
24．化简，结果是（ ）
A． B． C． D．
25．已知，则（ ）
A． B． C． D．2a
26．若 是实数，化简的结果为（ ）
A． B． C．3 D．4
27．当时，化简二次根式的正确结果是 ．
28．化简 ．
29．化简： ．
题型六：同类二次根式
30．下列各组根式是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
31．下列二次根式，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
32．在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
33．如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
34．最简根式与是同类二次根式，则 ．
题型七：二次根式的加减运算
35．计算结果正确的是（ ）
A． B．1 C． D．不能计算
36．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
37．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为 ，宽为 ．
38．计算：
（1） ；
（2） ．
题型八：二次根式的混合运算
39．计算的结果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
40．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
41．已知，则 ．
42．计算的结果为 ．
43．已知，则的值为 ．
题型九：已知字母的值，化简求值
44．当时，代数式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
45．已知．则的值为（ ）
A．11 B．19 C．17 D．20
46．当时，代数式 （ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
47．若，则的值为（ ）
A．90 B．91 C．93 D．95
48．已知，，则代数式的值等于 ．
49．已知，则 ．
50．已知，，则的值是 ．
题型十：已知条件式，化简求值
51．已知等式成立，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．4
52．已知、为实数，且，求的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
53．已知，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
54．已知，则的值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
55．已知，则的值为 ．
56．已知，，则的值为 ．
57．如果正数满足，那么的值是 ．
题型十一：比较二次根式的大小
58．已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
59．已知：，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
60．已知，则下列数中比m大的是（ ）
A． B．4 C． D．
61．比较大小：7 ．（选填“＞”或“＜”）
62．比较大小：（1） （2）
题型十一：二次根式的应用
63．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A． B． C． D．
64．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
65．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（ ）
A．5A B． C． D．
66．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ．
67．电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流I为 A．（结果用二次根式表示）
68．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
69．阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
70．最简二次根式与可以合并，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
71．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为
72．已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
73．已知成立，则代数式的值为 ．
74．先化简，再求值：，其中．
75．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简．
例如：化简．
因为，
所以．
仿照上例化简：．1.3 二次根式的运算
（12大题型突破）
参考答案
题号 1 2 5 6 7 11 12 13 16 17
答案 B C D C B A A C D C
题号 18 24 25 26 30 31 32 35 36 39
答案 D C C D B C C C D C
题号 40 44 45 46 47 51 52 53 54 58
答案 A C B B D D C D B D
题号 59 60 63 64 65 70 71
答案 D D A B C C C
1．B
本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．运用二次根式的乘法法则求解即可．
解：因为二次根式乘法法则为（，），
所以，
故选：B．
2．C
本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则．
需结合有理数乘法的符号法则与二次根式乘法法则求解．
解：，
故选：C．
3．3
本题考查了二次根式的乘法运算，运用二次根式的乘法法则运算，即可作答．
解：，
故答案为：3．
4．
本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果．
解：；
故答案为：．
5．D
本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数．
解：A选项：，结果是无理数；
B选项：，结果是无理数；
C选项：，结果是无理数；
D选项：，是有理数．
故选：D．
6．C
本题考查二次根式的除法运算，（，），据此求解即可．
解：
故选：C．
7．B
本题主要考查二次根式的除法运算，运用二次根式的除法法则直接计算即可求解．
解：∵二次根式的除法法则为（，），
∴．
故选：B．
8．
利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键．
解： 由，根据题意，得，
故答案为：．
9．
本题考查了二次根式的除法．
（1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可；
（2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可．
（1）解：；
（2）解：．
故答案为：，，．
10．（答案不唯一）
本题考查二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
求一个实数，使得该数与的商是整数，根据二次根式的除法法则即可求得答案．
解：，为整数，满足条件，
∴与的商是整数的实数可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
11．A
本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可．
解：∵，
又∵，
∴，即．
故选：A．
12．A
此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键．
通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化．
解：，
∴ 分母有理化的结果为，
故选： A．
13．C
本题考查了有理化因式的概念．
根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可．
解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式．
A、，仍含根式，此选项不符合题意；
B、，积仍含根式，此选项不符合题意；
C、，积为有理式，此选项符合题意；
D、，积仍含根式，此选项不符合题意．
故选：C．
14．
本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
首先展开不等式右边，然后移项合并同类项，注意到系数为负，除以负数时不等式方向反转，最后再分母有理化即可．
解：
∴原不等式的解集为，
故答案为：．
15．
此题考查了解不等式，分母有理化，首先解不等式，然后根据分母有理化化简即可．
解：
．
故答案为：．
16．D
本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项．
解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B：，故选项计算错误，不符合题意；
C：，故选项计算错误，不符合题意；
D：，故选项计算正确，符合题意；
故选：D．
17．C
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的乘除法则对A、C选项进行判断；根据二次根式的减法法则对B选项进行判断；运用完全平方公式结合二次根式的运算法则对D选项进行判断．
解：A、，故本选项正确，不符合题意；
B、，故本选项正确，不符合题意；
C、，故本选项错误，符合题意；
D、，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
18．D
本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化．
根据二次根式运算法则，分别计算各个选项即可得出答案．
解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：D
19．
本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键．
将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可．
原式
．
故答案为
20．
本题考查二次根式的混合运算，观察算式，发现符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可．
解：
；
故答案为：．
21．
本题通过解一元一次不等式考查二次根式的乘法公式，核心是利用平方差公式进行分母有理化．
解：原不等式为，即，
∵，
∴．
故不等式的解集为．
故答案为：．
22．(1)
(2)
本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
23．(1)
(2)
(3)
本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和性质是解答本题的关键．
（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数与被开方数分别相乘，再化简结果；
（2）将除法转化为乘法，结合二次根式的性质化简，再进行约分计算；
（3）按照从左到右的顺序，依次运用二次根式乘除运算法则，结合幂的运算性质化简，最终得到结果．
（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
24．C
本题考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识，根据二次根式的混合运算和完全平方公式逐步化简即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：
，
故选：C．
25．C
本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案
解：令，
∴，
∴，
∴，
移项，两边平方得，
解得：，
∴，
∴，
故选：C
26．D
此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故选：D．
27．
本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先将改写成，再利用二次根式的性质化简即可得．
解：∵，
∴
．
故答案为：．
28．/
本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键．
解：设，
则，
∵，
∴
又∵，
∴原式，
故答案为：．
29．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
解：
，
故答案为：．
30．B
本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断．
A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
B、，，故和是同类根式，该选项符合题意；
C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意；
D、和不是同类根式，该选项不符合题意；
故选：B．
31．C
本题考查同类二次根式的判断，需先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”进行判断．
∵，
对于选项A：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式；
对于选项B：，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式；
对于选项C：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式；
对于选项D：已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式．
故选：C．
32．C
本题考查同类二次根式的判定，需先将各选项化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断即可．
解：∵同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式，
又∵，
∴对各选项化简：
A选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A不符合题意；
B选项：，被开方数为m，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B不符合题意；
C选项：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故C符合题意；
D选项：，是整式，不是二次根式，故不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：C．
33．
本题主要考查了同类二次根式，两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．
解：两个最简二次根式 与 能合并，
与 的被开方数相同，
，
解得：．
故答案为：.
34．10
本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性．
解：∵最简根式与是同类二次根式，
∴，
解得 或
检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义，
故 ．
故答案为：10．
35．C
本题主要考查了二次根式的减法运算，先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可．
解：，
故选：C．
36．D
本题考查二次根式的加减运算，需先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
解：∵，
∴．
故选：D．
37．
本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论．
解：由题意矩形的长为，
宽为，
故答案为：；．
38． 0
本题考查二次根式的加减法，正确化简二次根式是解答本题的关键．
（1）原式化简，再合并即可；
（2）原式化简，再合并即可．
解：（1）；
（2）．
故答案为：(1)；(2)0．
39．C
本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算．
解：
，
故选：C．
40．A
本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得．
解：如图，过点作于点，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：A．
41．
本题考查二次根式的混合运算，以及代数式求值，将代入式子求解，即可解题．
解：∵ ，，
∴
．
故答案为：．
42．
本题主要考查了二次根式混合运算，应用完全平方公式展开计算即可．
解：．
故答案为：．
43．10
本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值．
解：
．
故答案为：10．
44．C
此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可．
解：，
当时，原式．
故选：C．
45．B
本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可．
解：∵，，
∴，，
∴，
故选：B．
46．B
本题主要考查了二次根式的化简求值，直接利用完全平方公式将原式变形，进而代入已知数据求出答案．
解：当时，
．
故选：B．
47．D
本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题．
解：，，
∴，，
∴，
故选：D．
48．19
本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可．
解：∵，
∴，
，
．
故答案为：19．
49．
2029
本题主要考查二次根式的化简求值，利用已知条件变形，得到，再通过平方运算求出的值，最后代入原式计算．
解：∵，
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
故答案为：2029．
50．
本题考查二次根式的运算，利用已知条件计算代数式的值，通过计算和的值，再利用完全平方公式求，最后代入求值．
解：∵，，
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
51．D
先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子．
解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得：
，解得：．
化简：
①：
∵，
∴，故．
②
∵，
∴．
∴．
故选：D．
本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子．
52．C
本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：由题意可得：，，
解得：，
∴ ，
∴，
故选：C．
53．D
本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
解得，，
∴ ，
故选：D．
54．B
本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键．
根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解．
解：，
，，
，
，
．
故选：B．
55．
本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算．
解：∵，
∴且，
解得．
∴．
则 ，，
∴，
∴
，
故答案为：．
56．8
此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键．
将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可．
解：∵，，
∴，
∴
，
故答案为：8．
57．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键．
由 可得 ，然后求出的平方即可求解．
解：由 ，可得 ，
∵，,
∴．
故答案为：．
58．D
本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：，，，
∵，
∴，
故选：D．
59．D
本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化，
先分别表示出，再比较分母即可.
解：，，，
，
，
即.
故选：D.
60．D
此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键．
把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解．
∵，
∴．
A. ，∵，∴；
B. 4，∵，∴；
C. ，∵，∴；
D. ，∵，∴．
故选：D．
61．
本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键．
根据平方后的结果判断原数大小即可．
解：∵，
∴比较它们的平方：，
∵，
∴．
故答案为：．
62．
>
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本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小．
解：（1）∵，，
且，
∴．
故答案为：>．
（2）设 ,
则．
∵, , 且, , ,
∴,
∴,
∴,
∴．
∴．
故答案为：>．
63．A
本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积．
解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长是，
∴大正方形的面积是，
∴余下的面积是．
故选：A．
64．B
本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积．
解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴
，
故选：B．
65．C
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值．
解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流：
．
故选：C．
66．/
本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键．
分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解．
解：∵两个正方形的面积分别为3和9，
∴它们的边长分别为：和3，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
67．
本题考查了二次根式的应用，解一元二次方程——直接开平方法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
根据公式，代入导线的电阻，的时间导线产生的热量，求出电流I．
解：因为导线的电阻，的时间导线产生的热量，
所以，
解得：（负值舍去），
则电流I为．
故答案为：．
68．/
本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可．
解：由题意得：
，
，
∵，即，
∴S的整数部分为，
小数部分为．
故答案为：．
69．(1)
(2)
(3)
本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
()根据证明过程补全即可；
()根据已知结论，得出，求出的值即可；
()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．
70．C
本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答．
解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，，
解得，则，
∴，
故选：C．
71．C
本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断．
解：由题意，小长方形的长为，
大长方形的长为，
小长方形的宽为，
大长方形的宽为，
即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为，
大长方形的周长为，
大长方形的面积为，
选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意；
故选：C．
72．
本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可．
解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式，
被开方数相等，即，
整理得，
，
解得或，
当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去；
当时，和，均为最简二次根式，符合题意；
．
故答案为：．
73．1014
本题考查分式的化简和二次根式的运算，找到规律是解题的关键．
由给定等式化简可得，验证满足等式．所求表达式中的每一项均为x，共1014项，和为，整体为，代入得1014．
给定等式为
提取公因式，分子为，分母为，简化得
因式分解得
验证可知时，左边，右边，成立．
∴是方程的一个解，
所求表达式为
每一项形如（n为正整数），项数为从1到2027的奇数个数，共1014项，和为，整体为．代入，得．
故答案为：1014．
74．，
本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：
，
当时，原式．
75．
仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键．
解：
．
