第二章一元二次方程单元复习检测卷浙教版2025—2026学年八年级数学下册

第二章一元二次方程单元复习检测卷浙教版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．7 B． C． D．3
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．等腰三角形两边长是方程的解，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．16或6
6．一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
7．已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若实数m、n满足且，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________．
10．若m、n是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是_______．
11．已知关于x的方程的一根为1，则该方程的另一根为_________．
12．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解下列方程：
(1)；
(2)．
14．近年来，河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创商品的销售．某商店销售一批文创商品，售价为每件元，每月可售出件；经调查发现，每件的售价每降低1元，每月可多售出件，已知该文创商品的进价是元．
(1)若每件文创商品降价元，则每月可售出 件，每月的销售利润为 元；
(2)商店为了减少库存，决定降价销售这批文创商品，同时确保每月的销售利润为元，求每件文创商品应降价多少元？
15．已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
16．设是关于x的方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
17．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
18．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”___________；
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论；
(3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．D
4．B
5．A
6．A
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．11
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
或，
∴，；
（2）解：
这里，
∴
∴，
∴，；
14．【详解】（1）解：∵每件降价元，每月可多售出的数量为件，
∴每月可售出件；
每件的利润为元，
∴每月的销售利润为元．
（2）解：设每件文创商品应降价元，则每件的销售利润为元，每月的销售量为件．
根据题意，得，
展开并整理得：，
解得，．
∵商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少，
∴．
答：每件文创商品应降价元．
15．【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义；
② ，因式分解得根，，不符合．
故答案为：①．
（2）解：方程中，，，
因为是差根方程，所以，
平方得： ，
代入得，即，
解得．
（3）解：设直角三角形两直角边，
由勾股定理得： ，
因为是差根方程的两根，所以，
平方得： ，
代入得： ，
解得．
，
因为，所以．
以为根的一元二次方程为，
即，验证得，符合差根方程定义．
16．【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
17．【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得，
∴（负值已舍）．
18．【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为，
故答案为：．
（2）解：一元二次方程的“友好方程”为，
解得，，
根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，
证明如下：∵一元二次方程的两根为，，
“友好方程”的两根为，，
∴，
，
∴，，
即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数．
故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数．
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”，即的两根为，，
则，即中或，
∴该方程的解为，．