第二章一元二次方程单元复习培优卷（含答案）浙教版2025—2026学年八年级数学下册

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第二章一元二次方程单元复习培优卷浙教版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2027 B． C．2031 D．
3．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且
C．且 D．
5．当时，的值为（　　）
A． B．1 C．1或 D．0
6．新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到年底全国新能源汽车保有量约为万辆，预计年底将达到万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
8．若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知的一个根是，则关于x的方程的两根之和为_______．
10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____．
12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．石家庄市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某款头盔，进价为元/个，经市场调查，发现当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上每上涨元，则月销售量将减少个，设售价在元/个的基础上涨了元．
(1)请用含的代数式表示每个头盔的利润；
(2)设月销量为个，请写出销量与涨价之间的函数表达式；
(3)为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
15．已知关于的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小正整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
18．阅读材料并解答相关问题．
材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程．
材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则
(1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号）
①；②；③；④．
(2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根．
②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根．
(3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．B
4．B
5．B
6．C
7．A
8．C
二、填空题
9．4
10．
11．
12．3
三、解答题
13．【详解】（1）解：
这里，
，
，
．
（2）解：
移项，
因式分解，
∴ 或 ，
．
14．【详解】（1）解：每个头盔的利润为（元）；
（2）解：；
（3）解：根据题意，得，
，
，
，
，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴取，
实际售价为（元），
答：该品牌头盔的实际售价应定为40元/个．
15．【详解】（1）证明：∵，
∴，
则，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴
∵此方程的两个根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
解得，
当时，，，符合，
当时，，，不符合，故舍去
∴．
16．【详解】（1）证明：∵，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵、是原方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
17．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴或，
解得或，
综上可知，或且．
（2）解：取满足（1）中条件的最小正整数，即．
代入方程得，
设两根为和，则，，，
∴，，
．
18．【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程；
②中，是“和差”的二次方程；
③中，是“和差”的二次方程；
④中，不是“和差”的二次方程；
故答案为：②③；
（2）解：①解方程，
，
，
，
；
解方程，
，
；
②设方程的另一根是，
由韦达定理可得，．
，
，
即，
解得：；
（3）解：∴ 或 ．
理由：是“和差”二次方程的两个根，
，
又，
，
，
，
，
或，
或．
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