5.3.1 正方形（1） 学案

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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 5.3.1 正方形（1）
教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级下册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握正方形的概念。 2.了解正方形与矩形、菱形的关系。 3.掌握正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。”。 4.掌握正方形的判定定理“有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形”。
课前学习任务
复习引入 议一议 想一想 1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形？ 2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形？ 3.是否存在一个角是直角的特殊的菱形？ 这块纸是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？ 与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？ 与一般的矩形相比，它有何特殊性？ 与一般的菱形相比，它又有何特殊性？
课上学习任务
【学习任务一】 思考： 1.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形 若存在，它是什么图形 则有一组邻边相等的矩形是 在图中填上图形转化的条件。 思考：2.是否存在一个角是直角的菱形 若存在，它是什么图形 有一个角是直角的菱形是 在图中填上图形转化的条件。 我们把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做 。 正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形。 正方形的判定定理: 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 思考: 你还能得到哪些判定一个四边形是正方形的定理？ 答案： 1.对角线互相垂直的矩形是 。 2.对角线相等的菱形是 。 思考：你能说出说明一个四边形是正方形的一般思路吗？ 1.先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，可说明是 2.先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形，可说明是 小试牛刀： 判断题(对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”): (1)对角线互相垂直,一个角是直角的四边形是正方形。 (　　) (2)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形。 (　　) (3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。 (　　) (4)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形。 (　　) 【学习任务二】 如何判定一个图形是正方形呢？ (可从平行四边形、矩形、菱形为基础） 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做 。定义法 有一个角是直角的菱形是 。菱形法 3.有一组邻边相等的矩形是 。矩形法 【学习任务三】 典例精讲 例1 已知:如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线, DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E,F。 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.下列命题错误的是(　　) A． 有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 B． 有一组邻边相等的矩形是正方形 C． 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 D． 有一个角是直角的菱形是正方形 选做题： 2.如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 __________________________。 【综合拓展类作业】 3.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。 DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形。 【知识技能类作业】 必做题： 1.顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线(　　) A． 互相垂直但不相等 B． 相等且互相垂直　 C． 相等但不互相垂直 D． 互相平分 选做题： 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连结CD，BE。 若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由。 【综合拓展类作业】 3.如图,已知菱形ABCD,E、F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF=BE,连结CE、AE、AF、CF。 求证:四边形AECF是正方形。 答案： 【课堂练习】 A 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 3.证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°。又∵ ∠C=90 °， ∴四边形ADFC是矩形.过点D作DG⊥AB，垂足为G。 ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG。 同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四边形ADFC是正方形。 【作业设计】 1.B 2.解：当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形。 理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠ABC=∠A=45°．∴AC=BC。 ∵D 为 BA 中点， ∴CD⊥AB．∴∠CDB=90°。 又∵四边形 BECD 是菱形，∴菱形 BECD 是正方形. ∴当∠A=45°时，四边形 BECD 是正方形。 3.证明：如图,连结AC,交BD于点O, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AO=CO,BO=DO,AC⊥BD, ∵BE=DF,∴BE+OB=DF+DO, ∴EO=FO,∴EF与AC垂直且互相平分, ∴四边形AECF是菱形, ∴∠AEF=∠CEF, 又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°, ∴菱形AECF是正方形。
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