2.4 一元二次方程的应用—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·温州期末）温州市2022年（国内生产总值）约为8030亿元，2024年约为9719亿元．设这两年温州市的平均增长率为，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·北仑期末） 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
5．（2025八下·金华月考） 据统计，2022年中国人新汽车销售量约688万辆，2024年中国人新汽车销售量约1286万辆. 设从2022年至2024年的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八下·义乌月考）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2=111 B．（1+x）2=111
C．1+x+x2=111 D．1+（1+x）+（1+x）2=111
7．（2025八下·宁波期中）在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程（ ）.
A． B．
C． D．
8．（2025八下·杭州月考） 如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为3：2的矩形图案， 周围是宽度为5cm 的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为3xcm， 根据题意列出方程为（ ）
A．（3x+5）（2x+5）=6x2 B．（3x-10）（2x-10）=9x2
C．（3x-5）（2x-5）=6x2 D．（3x+10）（2x+10）=9x2
二、填空题（每题3分，共18分）
9．有一天，一个老汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4 尺，竖着比门框高2尺，另一个老汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个老汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗 设竹竿的长为x 尺，请你 根 据 这 一 问 题 列 出 方程：
10．（2023八下·余姚期中）据国家统计局公布的数据，2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元，假设每年的增长率相同，设年平均增长率为，根据题意可以列出关于的方程是 ．
11．（2024八下·杭州期中）同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ．
12．（2024八下·东阳期中）为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 ．
13．（2024八下·越城期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m2降到现在的2.43万元/m2，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为
14． 某校为落实 “光盘行动”， 对每天的剩饭菜进行称重， 第一周的剩余量为 ， 第三周的剩余量为 ．设每周剩余量的平均减少率为 ，则由题意可列方程
三、解答题
15．（2025八下·宁波期末）某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘.2022 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为 800kg，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 2024 年平均亩产量达到 1352kg.
（1）若 2022 年到 2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率.
（2）2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积 10 亩，每亩种植成本为 3 万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 0.1 万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变.
16．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
17．如图，某海军基地位于处，其正南方向200海里处有一个重要目标，在的正东方向200海里处有一重要目标．小岛位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛位于BC上，且恰好处于小岛的正南方向．一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛和小岛相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由到航行的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里，）
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设年平均增长率为，则2023年的为亿元，2024年的为，
∵2024年为9719亿元，
∴方程为：．
故答案为：A．
【分析】本题根据一元二次方程的实际问题“平均增长率”，首先列出2023年的GDP，然后2024年的GDP在2023年的基础上再增长x，由此即可列出一元二次方程．
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】根据一元二次方程增长率问题，结合题意，初始量为200万，二次增长后的量为450万，
∴可以得到方程： ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，本题属于一元二次方程的应用-增长率问题，首先要理清初始量为200万，增长两次后的量为450万，即可得出：初始量*（1+增长率）平方=增长两次后的量.
4．【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：688(1+x)2=1256.
故答案为：A.
【分析】利用预计2024年新能源汽车年销售量=2022年新能源汽车年销售量×(1+这两年新能源汽车销售量年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设一个主干长出x个支干
由题意可得：1+x+x2=111
故答案为：C
【分析】设一个主干长出x个支干，根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设入口的宽度为xm，由题意得：
故答案为：A.
【分析】设入口的宽度为xm，根据余田的面积为468列出方程即可.
8．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这张矩形图案的长为3xcm ，矩形图案的长与宽之比为3：2可得，矩形图案的长为2xcm，由周围是宽度为5cm 的白色边框 ，这样边框的长为（3x+5×2）cm，边框的宽为（2x+5×2）cm由题意矩形图案面积等于边框面积的2倍列方程为：
整理得：
故答案为：D.
【分析】根据等量关系矩形图案面积等于边框面积的2倍，结合已知条件列一元二次方程整理求解.
9．【答案】(x-4)2+(x-2)2=x2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设竹竿的长为x 尺 ，则门框的宽为（x-4）尺，长为（x-2）尺，
根据勾股定理知：(x-4)2+(x-2)2=x2
故答案为：(x-4)2+(x-2)2=x2.
【分析】根据题意用含x的式子表示出门框的长和宽，再根据勾股定理列方程即可.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】 设年平均增长率为， 利用“ 2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元 ”列一元二次方程解答即可．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】对于平均增长率问题，常列方程，其中是起始数据，是终止数据．
12．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，
∴根据题意克列方程为：，
故答案为：．
【分析】 设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，然后由“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次“直接得到答案.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x
根据题意：
故答案为：.
【分析】 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x， 根据等量关系：降价后的销售单价=2.43，列出方程即可.
14．【答案】20(1-x)2=9.8
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每周剩余量的平均减少率为x，由题意可得20(1-x)2=9.8.
故答案为：20(1-x)2=9.8.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
15．【答案】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为x，根据题意得：
解得，，(舍去)
“红美人”平均亩产量的年增长率为
（2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩。
解得，(舍去)，
2025年该合作社应增加种植面积20亩
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，根据2022年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg，到2024年平均亩产量达到1352kg，列出一元二次方程解之取符合题意的值即可；
(2)设该合作社应增加种植面积m亩，根据2025年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3万元，种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.1万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
16．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
17．【答案】（1）解：连结BD，如图
由题意可知：△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形
又∵D是AC中点
∴△BDC是以BC为斜边的等腰直角三角形
∵DF⊥BC，∠C=45°
答：小岛和小岛相距100海里。
（2）解：设相遇时补给船航行了x海里，则军舰航行了2x海里。
①若E在F左侧时，EF=300-2x，DF=100，DE=x，得：（300-2x）2+1002=x2
解方程得： （舍去）；
②若E在F右侧时，EF=2x-300，DF=100，DE=x，得：（2x-300）2+1002=x2
解方程得：，两者都不符合题意，舍去；
答：相遇时补给船航行了118.4海里
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由直角三角形ABC中，AB=BC=200，可求出AC和∠C的值，进而求出CD和∠C的值，再进而求出DF的值．
（2）设相遇时补给船航行了x海里，则军舰航行了2x海里，将问题转换到直角三角形中，再运用勾股定理即可求解．
18．【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
1 / 12.4 一元二次方程的应用—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·温州期中）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：假设该电子产品每年降价的百分率均为x，由题意可得.
故答案为：C.
【分析】假设两年前的价格为单位“1”，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程.
2．（2025八下·温州期末）温州市2022年（国内生产总值）约为8030亿元，2024年约为9719亿元．设这两年温州市的平均增长率为，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设年平均增长率为，则2023年的为亿元，2024年的为，
∵2024年为9719亿元，
∴方程为：．
故答案为：A．
【分析】本题根据一元二次方程的实际问题“平均增长率”，首先列出2023年的GDP，然后2024年的GDP在2023年的基础上再增长x，由此即可列出一元二次方程．
3．（2025八下·北仑期末） 近年来，中国旅游业呈现快速复苏与高质量发展态势．据统计，某旅游景点2022年游客量约为200万人次，2024年游客量达到450万人次．设该旅游景点游客量的年平均增长率为x，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】根据一元二次方程增长率问题，结合题意，初始量为200万，二次增长后的量为450万，
∴可以得到方程： ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知，本题属于一元二次方程的应用-增长率问题，首先要理清初始量为200万，增长两次后的量为450万，即可得出：初始量*（1+增长率）平方=增长两次后的量.
4．（2025八下·象山竞赛）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ）
A．2x% B．1+2x%
C．（1+x%）·x% D．（2+x%）·x%
【答案】D
【知识点】列一元二次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：设第一季度的产值为1，
第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第二季度为1×（1+x%），
第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，第三季度为1×（1+x%）×（1+x%)，
根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了1×（1+x%）×（1+x%）-1=(2+x%) x%，
故选：D.
【分析】设第一季度的产值为1，根据增长率表示第三季的产值，由增长率公式计算解题.
5．（2025八下·金华月考） 据统计，2022年中国人新汽车销售量约688万辆，2024年中国人新汽车销售量约1286万辆. 设从2022年至2024年的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：688(1+x)2=1256.
故答案为：A.
【分析】利用预计2024年新能源汽车年销售量=2022年新能源汽车年销售量×(1+这两年新能源汽车销售量年平均增长率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．（2025八下·义乌月考）某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2=111 B．（1+x）2=111
C．1+x+x2=111 D．1+（1+x）+（1+x）2=111
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设一个主干长出x个支干
由题意可得：1+x+x2=111
故答案为：C
【分析】设一个主干长出x个支干，根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2025八下·宁波期中）在长为，宽为的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设入口的宽度为xm，由题意得：
故答案为：A.
【分析】设入口的宽度为xm，根据余田的面积为468列出方程即可.
8．（2025八下·杭州月考） 如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为3：2的矩形图案， 周围是宽度为5cm 的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为3xcm， 根据题意列出方程为（ ）
A．（3x+5）（2x+5）=6x2 B．（3x-10）（2x-10）=9x2
C．（3x-5）（2x-5）=6x2 D．（3x+10）（2x+10）=9x2
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这张矩形图案的长为3xcm ，矩形图案的长与宽之比为3：2可得，矩形图案的长为2xcm，由周围是宽度为5cm 的白色边框 ，这样边框的长为（3x+5×2）cm，边框的宽为（2x+5×2）cm由题意矩形图案面积等于边框面积的2倍列方程为：
整理得：
故答案为：D.
【分析】根据等量关系矩形图案面积等于边框面积的2倍，结合已知条件列一元二次方程整理求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
9．有一天，一个老汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4 尺，竖着比门框高2尺，另一个老汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个老汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗 设竹竿的长为x 尺，请你 根 据 这 一 问 题 列 出 方程：
【答案】(x-4)2+(x-2)2=x2
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设竹竿的长为x 尺 ，则门框的宽为（x-4）尺，长为（x-2）尺，
根据勾股定理知：(x-4)2+(x-2)2=x2
故答案为：(x-4)2+(x-2)2=x2.
【分析】根据题意用含x的式子表示出门框的长和宽，再根据勾股定理列方程即可.
10．（2023八下·余姚期中）据国家统计局公布的数据，2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元，假设每年的增长率相同，设年平均增长率为，根据题意可以列出关于的方程是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【分析】 设年平均增长率为， 利用“ 2020年我国国民生产总值约为101万亿元，到2022年我国国民生产总值约为121万亿元 ”列一元二次方程解答即可．
11．（2024八下·杭州期中）同学参加决赛．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则请列出符合题意的方程： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】对于平均增长率问题，常列方程，其中是起始数据，是终止数据．
12．（2024八下·东阳期中）为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，
∴根据题意克列方程为：，
故答案为：．
【分析】 设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，然后由“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次“直接得到答案.
13．（2024八下·越城期末）随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m2降到现在的2.43万元/m2，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x
根据题意：
故答案为：.
【分析】 设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x， 根据等量关系：降价后的销售单价=2.43，列出方程即可.
14． 某校为落实 “光盘行动”， 对每天的剩饭菜进行称重， 第一周的剩余量为 ， 第三周的剩余量为 ．设每周剩余量的平均减少率为 ，则由题意可列方程
【答案】20(1-x)2=9.8
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每周剩余量的平均减少率为x，由题意可得20(1-x)2=9.8.
故答案为：20(1-x)2=9.8.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
三、解答题
15．（2025八下·宁波期末）某海岛位于北纬 ，全年气候温暖湿润，光照充足，非常适合种植柑橘.2022 年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为 800kg，为了提高“红美人”柑橘产量，引进先进的种植技术，到 2024 年平均亩产量达到 1352kg.
（1）若 2022 年到 2024 年种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率相同，求种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率.
（2）2025 年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积 10 亩，每亩种植成本为 3 万元，为了扩大产量，决定增加“红美人”柑橘种植面积.经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 0.1 万元，求该合作社应增加种植面积多少亩才保持种植总成本不变.
【答案】（1）解：设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为x，根据题意得：
解得，，(舍去)
“红美人”平均亩产量的年增长率为
（2）解：设2025年该合作社应增加种植面积m亩。
解得，(舍去)，
2025年该合作社应增加种植面积20亩
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设种植“红美人”柑橘平均亩产量的年增长率为，根据2022年某合作社种植“红美人”柑橘平均亩产量为800kg，到2024年平均亩产量达到1352kg，列出一元二次方程解之取符合题意的值即可；
(2)设该合作社应增加种植面积m亩，根据2025年该合作社计划种植“红美人”柑橘面积10亩，每亩种植成本为3万元，种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.1万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.
16．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
17．如图，某海军基地位于处，其正南方向200海里处有一个重要目标，在的正东方向200海里处有一重要目标．小岛位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛位于BC上，且恰好处于小岛的正南方向．一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛和小岛相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由到航行的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里，）
【答案】（1）解：连结BD，如图
由题意可知：△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形
又∵D是AC中点
∴△BDC是以BC为斜边的等腰直角三角形
∵DF⊥BC，∠C=45°
答：小岛和小岛相距100海里。
（2）解：设相遇时补给船航行了x海里，则军舰航行了2x海里。
①若E在F左侧时，EF=300-2x，DF=100，DE=x，得：（300-2x）2+1002=x2
解方程得： （舍去）；
②若E在F右侧时，EF=2x-300，DF=100，DE=x，得：（2x-300）2+1002=x2
解方程得：，两者都不符合题意，舍去；
答：相遇时补给船航行了118.4海里
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由直角三角形ABC中，AB=BC=200，可求出AC和∠C的值，进而求出CD和∠C的值，再进而求出DF的值．
（2）设相遇时补给船航行了x海里，则军舰航行了2x海里，将问题转换到直角三角形中，再运用勾股定理即可求解．
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
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