一元二次方程·传染病问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·杭州月考）某种流感病毒的传染速度很快，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求每轮传染中平均每个人传染了几人，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
2．有一个人收到一条短信， 将它转发给 个朋友， 每个朋友又将短信发给同样多的人， 经过两轮转发后共有 133 人收到短信．则 的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024八下·杭州期中）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022八下·慈溪期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这 名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了.根据以上情景，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022八下·杭州期中）某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14
6．（2022八下·义乌期中）某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
7．（初中数学浙教版八下精彩练习2.3一元二次方程的应用（1））在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2021八下·鄞州期中）有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（ ）
A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81
C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝81
二、填空题
9．（2024八下·桐乡市月考） 有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
10．一个小组有若干人，新年每人都互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组有 人。
11．（2023八下·柯桥期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为 。
12．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）某体育局要组织一次排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请 支球队参加比赛.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习2.3一元二次方程的应用（1））某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片1向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 .
14．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）有一人利用手机发短信，接收他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有90人的手机接收到该条短信.假定两轮接收信息的人员没有重复，设每人给x人发短信，则可列方程 .
三、解答题
15．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数.
16．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
17．（2022八下·新昌期末）请根据图片内容，回答下列问题：
我叫Omicron（奥密克戎），是新冠病毒的变异毒株，我的传染性很强，传播速度很快。有一次我感染了1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者．
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
18．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列方程：
故答案为：D.
【分析】设一个人可传染给个人，则第一轮共感染个人；第二轮每人再感染人，则本轮共感染人，则两轮后共感染人，则方程可得.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意，得：1+n+n2=133，
解得：n1=11，n2=-12(舍去)，
故答案为：C。
【分析】接收短信的人有：第一人，第一轮转发的n个人，第二轮转发的n2人，据此建立一元二次方程，求解即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得第一轮传染后总的传染人数为（1+x）人，
∴第二轮传染后总的传染人数为【1+x+x(x+1)】人，
∴列出方程为1+x+x(x+1)=121.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出第一轮传染后的总人数，从而得出第二轮传染后的总人数即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均每一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x(1+x)= 36.
故答案为： B.
【分析】设平均每一人教会x人，则(x+1)人教会x(x+1)人，然后根据共有36人都会做这项实验就可列出方程.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设一共有x支球队参加了比赛，根据题意得
x（x-1）=21
解之：x1=7，x2=-6（舍去），
∴一共有7支球队参加了比赛.
故答案为：C.
【分析】由题意可知此比赛是单循环，设未知数，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝45
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，由此列方程即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设参加酒会的人数为x，
根据题意，得 x（x-1）=55，
整理，得x2-x-110=0
解得x1=11，x2=-10（不合题意，舍去），
所以参加酒会的人数为11.
【分析】根据题意可知，每两人都只碰一次杯，类似于单循环比赛问题，据此列方程即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：依题意得（1+0.8x）2＝81，
故答案为：D.
【分析】根据题意列出方程即可求解.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每人给y人发短信，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可．
10．【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出（x-1）张贺卡，由题意得：
x（x-1）=72，
整理得：x2-x-72=0，
解得：x1=9，x2=-8（不符合题意舍去）
故这个小组有9人；
故答案为：9.
【分析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送（x-1）张贺卡，所以全组共送x（x-1）张，又知全组共送贺卡72张，由送贺卡数相等为等量关系，列出一元二次方程，解方程即可得出答案.
11．【答案】14
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可得：(1+x)2=225，
∴1+x=±15
解得x=14.
故答案为：14.
【分析】由题意可得：第一轮转染后有(1+x)人感染，第二轮感染后有(1+x)2人感染，结合题意可得关于x的方程，求解即可.
12．【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得
x（x-1）=28
解之：x1=8，x2=-7（不符合题意）
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】根据题意可知此比赛为单循环，设应邀请x支球队参加比赛，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可.
13．【答案】x（x-1）=2070
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设全班有x名学生，根据题意得
x（x-1）=2070.
故答案为：x（x-1）=2070.
【分析】抓住已知条件：每个同学都将自己的相片1向全班其他同学各送一张留作纪念，可知类似双循环比赛问题，列方程即可.
14．【答案】x（1+x）=90
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每人给x人发短信，根据题意得
x（1+x）=90.
【分析】利用已知条件可知第一轮有x人收到短信，第二轮有x2个人收到短信，根据经历两轮短信的发送，共有90人的手机接收到该条短信（假定两轮接收信息的人员没有重复），据此列方程即可.
15．【答案】解：设参加这次聚会的有x人，根据题意列方程得，
，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
故参加聚会的有10人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设参加这次聚会的有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x-1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，列出一元二次方程，求解即可.
16．【答案】（1）解：设平均一个人传染了x个人，则第一轮后(x+1)个人患病，第二轮后（x+1)2个人患病，
(x+1)2=49，
解得x=-8（舍去)，x=6，
答： 每轮传染中，平均一个人传染了6个人；
（2）第三轮后患病人数为49×6=294（人），
答：第三轮将又有294人被传染.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设平均一个人传染了x人，根据题意列一元二次方程，解方程，即可求得；
（2）根据每人传染6人×第二轮感染人数，即可求得第三轮被感染人数.
17．【答案】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：1+x+（x+1）x=121．
解得x1=10，x2=-12（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人
（2）解：121×10=1210．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】(1)设平均一个人传染了x个人，则一轮下来有1+x人感染，二轮下来共有1+x+（x+1）x人感染，结合感染总人数为121人，依此建立方程求解即可；
(2) 第三轮将新增多少名感染者人数=前二轮感染的总人数×感染率，依此列式计算即可.
18．【答案】解：设一个病毒每半小时繁衍x个病毒，
根据题意得1+x+（1+x）x=841，
整理得：x2+2x-840=0，
解得：x1=28，x2=-30（舍去），
故一个病毒每半小时繁衍28个病毒.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】本题可设一个病毒每半小时繁衍x个病毒，由最初的一个病毒经过半小时后繁衍x个新的病毒变为（1+x）个，而这（1+x）个病毒经过半小时后每个繁衍x个病毒，共繁衍x（1+x）个，最后病毒共有[（1+x）+x（1+x）]个，进而结合题意，可列出方程，求解即可得出答案.
1 / 1一元二次方程·传染病问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2025八下·杭州月考）某种流感病毒的传染速度很快，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求每轮传染中平均每个人传染了几人，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列方程：
故答案为：D.
【分析】设一个人可传染给个人，则第一轮共感染个人；第二轮每人再感染人，则本轮共感染人，则两轮后共感染人，则方程可得.
2．有一个人收到一条短信， 将它转发给 个朋友， 每个朋友又将短信发给同样多的人， 经过两轮转发后共有 133 人收到短信．则 的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意，得：1+n+n2=133，
解得：n1=11，n2=-12(舍去)，
故答案为：C。
【分析】接收短信的人有：第一人，第一轮转发的n个人，第二轮转发的n2人，据此建立一元二次方程，求解即可。
3．（2024八下·杭州期中）一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得第一轮传染后总的传染人数为（1+x）人，
∴第二轮传染后总的传染人数为【1+x+x(x+1)】人，
∴列出方程为1+x+x(x+1)=121.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出第一轮传染后的总人数，从而得出第二轮传染后的总人数即可求解.
4．（2022八下·慈溪期末）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后他先教会了x名同学，然后这 名同学每人又教会了x名同学，这时恰好全班36人都会做这项实验了.根据以上情景，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均每一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x(1+x)= 36.
故答案为： B.
【分析】设平均每一人教会x人，则(x+1)人教会x(x+1)人，然后根据共有36人都会做这项实验就可列出方程.
5．（2022八下·杭州期中）某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支球队参加了比赛．
A．6 B．12 C．7 D．14
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设一共有x支球队参加了比赛，根据题意得
x（x-1）=21
解之：x1=7，x2=-6（舍去），
∴一共有7支球队参加了比赛.
故答案为：C.
【分析】由题意可知此比赛是单循环，设未知数，列方程，然后求出符合题意的方程的解即可.
6．（2022八下·义乌期中）某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）＝45 B． x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：根据题意得 x（x﹣1）＝45
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，由此列方程即可.
7．（初中数学浙教版八下精彩练习2.3一元二次方程的应用（1））在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设参加酒会的人数为x，
根据题意，得 x（x-1）=55，
整理，得x2-x-110=0
解得x1=11，x2=-10（不合题意，舍去），
所以参加酒会的人数为11.
【分析】根据题意可知，每两人都只碰一次杯，类似于单循环比赛问题，据此列方程即可.
8．（2021八下·鄞州期中）有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（ ）
A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81
C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝81
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：依题意得（1+0.8x）2＝81，
故答案为：D.
【分析】根据题意列出方程即可求解.
二、填空题
9．（2024八下·桐乡市月考） 有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每人给y人发短信，
由题意得：，
故答案为：．
【分析】设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有人收到短信，据此列方程即可．
10．一个小组有若干人，新年每人都互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，则这个小组有 人。
【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出（x-1）张贺卡，由题意得：
x（x-1）=72，
整理得：x2-x-72=0，
解得：x1=9，x2=-8（不符合题意舍去）
故这个小组有9人；
故答案为：9.
【分析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送（x-1）张贺卡，所以全组共送x（x-1）张，又知全组共送贺卡72张，由送贺卡数相等为等量关系，列出一元二次方程，解方程即可得出答案.
11．（2023八下·柯桥期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为 。
【答案】14
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：由题意可得：(1+x)2=225，
∴1+x=±15
解得x=14.
故答案为：14.
【分析】由题意可得：第一轮转染后有(1+x)人感染，第二轮感染后有(1+x)2人感染，结合题意可得关于x的方程，求解即可.
12．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）某体育局要组织一次排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请 支球队参加比赛.
【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得
x（x-1）=28
解之：x1=8，x2=-7（不符合题意）
∴x=8.
故答案为：8.
【分析】根据题意可知此比赛为单循环，设应邀请x支球队参加比赛，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习2.3一元二次方程的应用（1））某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片1向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 .
【答案】x（x-1）=2070
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设全班有x名学生，根据题意得
x（x-1）=2070.
故答案为：x（x-1）=2070.
【分析】抓住已知条件：每个同学都将自己的相片1向全班其他同学各送一张留作纪念，可知类似双循环比赛问题，列方程即可.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习专题分类突破三一元二次方程的应用归类）有一人利用手机发短信，接收他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有90人的手机接收到该条短信.假定两轮接收信息的人员没有重复，设每人给x人发短信，则可列方程 .
【答案】x（1+x）=90
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每人给x人发短信，根据题意得
x（1+x）=90.
【分析】利用已知条件可知第一轮有x人收到短信，第二轮有x2个人收到短信，根据经历两轮短信的发送，共有90人的手机接收到该条短信（假定两轮接收信息的人员没有重复），据此列方程即可.
三、解答题
15．某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数.
【答案】解：设参加这次聚会的有x人，根据题意列方程得，
，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去），
故参加聚会的有10人.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】设参加这次聚会的有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x-1）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，列出一元二次方程，求解即可.
16．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）解：设平均一个人传染了x个人，则第一轮后(x+1)个人患病，第二轮后（x+1)2个人患病，
(x+1)2=49，
解得x=-8（舍去)，x=6，
答： 每轮传染中，平均一个人传染了6个人；
（2）第三轮后患病人数为49×6=294（人），
答：第三轮将又有294人被传染.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设平均一个人传染了x人，根据题意列一元二次方程，解方程，即可求得；
（2）根据每人传染6人×第二轮感染人数，即可求得第三轮被感染人数.
17．（2022八下·新昌期末）请根据图片内容，回答下列问题：
我叫Omicron（奥密克戎），是新冠病毒的变异毒株，我的传染性很强，传播速度很快。有一次我感染了1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者．
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
【答案】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：1+x+（x+1）x=121．
解得x1=10，x2=-12（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人
（2）解：121×10=1210．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】(1)设平均一个人传染了x个人，则一轮下来有1+x人感染，二轮下来共有1+x+（x+1）x人感染，结合感染总人数为121人，依此建立方程求解即可；
(2) 第三轮将新增多少名感染者人数=前二轮感染的总人数×感染率，依此列式计算即可.
18．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.
【答案】解：设一个病毒每半小时繁衍x个病毒，
根据题意得1+x+（1+x）x=841，
整理得：x2+2x-840=0，
解得：x1=28，x2=-30（舍去），
故一个病毒每半小时繁衍28个病毒.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】本题可设一个病毒每半小时繁衍x个病毒，由最初的一个病毒经过半小时后繁衍x个新的病毒变为（1+x）个，而这（1+x）个病毒经过半小时后每个繁衍x个病毒，共繁衍x（1+x）个，最后病毒共有[（1+x）+x（1+x）]个，进而结合题意，可列出方程，求解即可得出答案.
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