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二次根式 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列计算正确的是（ ）
A．( )2＝±6 B．＝－7 C．× ＝3 D．÷ ＝3
6．下列二次根式中，与 的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
7．化简二次根式 结果是 （ ）
A．-a B．-a C．a D．a
8．下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
9．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角形的一边长是 cm，这边上的高是 cm，则这个三角形的面积 cm2．
12．已知长方形的宽是3 ，它的面积是18 ，则它的长是 ．
13．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
14．计算 的结果是 ．
15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简为 .
16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简： + + + ．
18．计算
（1）
（2） ．
19．先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即
∴的整数部分为2，小数部分为．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
20．像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：① ；② ；
（2）计算：；
（3）已知，，，试比较，，的大小，并说明理由．
21． 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
22．已知实数a、b满足，c为最大的负整数.
（1）求a、b、c的值：
（2）求的平方根.
23．
（1）计算：；
（2）正比例函数过，两点，求的值．
24．
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
25． 前山河部分水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设两岸，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转a度，点N处射出的光线每秒旋转b度，且．
（1）求的值；
（2）设点M处探照灯先旋转20秒后，记两盏灯一起旋转的时间为t秒，当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，说明理由；
（3）已知垂直河岸，设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直，求的度数；
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二次根式 单元同步练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
A、 ，故与 是同类二次根式，此选项符合题意；
B、 ，故与 不是同类二次根式，此选项不符合题意；
C、 ，故与 不是同类二次根式，此选项不符合题意；
D、 ，故与 不是同类二次根式，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】先将 化为最简二次根式，然后将各选项内的二次根式化为最简二次根式，再判断是否是同类二次根式即可．
2．函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【答案】C
【解析】【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得 x≤2．
故选：C．
【分析】二次根式的被开方数大于等于零．
3．下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、 ，符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减逐项判定即可。
4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解： ①，错误；
②，正确；
③，，错误；
④，正确；
⑤，错误；
⑥，正确．
其中正确的有②④⑥，共3个.
故答案为：B.
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根进行求解即可判断.
5．下列计算正确的是（ ）
A．( )2＝±6 B．＝－7 C．× ＝3 D．÷ ＝3
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ( )2＝6 ， ∴A错；
B. ＝7 ， ∴B错
C. × ＝ =3 ， ∴C正确.
D. ÷ ＝ ，∴D错；
故选C.
6．下列二次根式中，与 的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】A、 =3 ，3 × =6，A符合题意；
B、原式= ， × = ，B不符合题意；
C、原式=2 ，2 × =2 ，C不符合题意；
D、原式=-3 ，-3 × =-3 ，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题应先将已给的二次根式化成最简的，然后与是同类二次根式的才能相乘之后积为有理数.
7．化简二次根式 结果是 （ ）
A．-a B．-a C．a D．a
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，则-a3≥0，即a≤0，
∴原式= =
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
8．下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，可以与合并，故A不符合题意；
B、，与合并，故B不符合题意；
C、，不能与合并，故C符合题意；
D、，可以与合并，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用二次根式的性质及除法法则对各选项进行化简，就可作出判断。
9．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴可得
∴
解得：
故答案为：B．
【分析】根据题意二次根式和绝对值的化简性质，列出一元一次不等式组，从而求解．
10．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为：C
【分析】 先用消元的思想用含c 的式子表示出 和|b|，再根据 和|b|都是非负数确定c的取值范围，即可解答.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角形的一边长是 cm，这边上的高是 cm，则这个三角形的面积 cm2．
【答案】6
【解析】【解答】解：
∵角形的一边长是 cm，这边上的高是 cm，
∴这个三角形的面积= × =6 cm2，
故答案为：6 ．
【分析】此题可由等式“三角形的面积=三角形的一边长×这边上的高”求得三角形的面积即可．
12．已知长方形的宽是3 ，它的面积是18 ，则它的长是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵长方形的宽是3 ，它的面积是18 ，
∴它的长是：18 ÷3 =6 ．
故答案为：6 ．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
13．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵7+
=（5+2）+
=
=
∴.
故答案为：.
【分析】将被开方数按照题中提供的方法进行化简，再利用二次根式的性质即可得出答案．
14．计算 的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】原式＝
= ．
故答案为： ．
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：，
∴
则原式
故答案为：.
【分析】根据数轴可得a<00、b-c<0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质以及合并同类项法则化简即可.
16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
【答案】33或127
【解析】【解答】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“神奇区间”的定义及二元一次方程正整数解，可得，，；，，．再分别代入求出p值即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．实数a，b在数轴上的位置如图所示．化简： + + + ．
【答案】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a+1＞0，b﹣1＜0，
故原式=﹣a+b+a+1﹣（b﹣1）
=2
【解析】【分析】利用数轴得出各项符号，进而化简二次根式求出答案．
18．计算
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：原式= × ×
= +3
（2）解：原式=4 +3 ﹣2 +4
=7 +2
【解析】【分析】（1）按照乘法分配律展开计算即可；（2）首先将所有二次化为最简二次根式，然后将同类二次根式进行合并即可．
19．先阅读下面的文字，再解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即
∴的整数部分为2，小数部分为．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）4，
（2）解：∵，
∴，
∵的小数部分为a，
∴，
∵，
∴，
∵的整数部分为b，
∴，
∴．
（3）解：∵，其中x是整数，且，
∴x是的整数部分，y是的小数部分，
∵
∴
∴，
∴.
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是．
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法估算无理数的大小，从而可得整数和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法求出和的整数部分和小数部分，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法求出，，再将其代入计算即可.
20．像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：① ；② ；
（2）计算：；
（3）已知，，，试比较，，的大小，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2）解：原式
（3）解：，
同理：，
，
，．
【解析】【解答】解：（1），
.
故答案为：；.
【分析】（1）根据分母有理化求解即可；
（2）先把分母有理化，再把括号内合并，最后利用平方差公式计算即可；
（3）利用分母有理化比较a，b，c的倒数，即可解答.
21． 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
22．已知实数a、b满足，c为最大的负整数.
（1）求a、b、c的值：
（2）求的平方根.
【答案】（1）由题意得，，
又∵，
∴，
解得：，，
∵c为最大的负整数，
∴.
（2）将，，代入得，
，
所以的平方根为.
【解析】【分析】(1)根据二次根式和绝对值的非负性可得a和b的值；
(2)代入求的值，即可得其平方根.
23．
（1）计算：；
（2）正比例函数过，两点，求的值．
【答案】（1）解：
．
（2）解：把代入得，
，
解得：
正比例函数的解析式为
把代入中，
，
【解析】【分析】（1）在了解最简二次根式的定义的基础上，将二次根式化简，然后合并同类根式；
（2）正比例函数解析式只有一个未知系数，因此代入一点坐标就可以确定解析式，再代入x=-3即可求出m。
24．
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
25． 前山河部分水域的两岸是互相平行的直线，在两岸的处分别设置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设两岸，点M处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，点N处探照灯射出的光线自开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点M处射出的光线每秒旋转a度，点N处射出的光线每秒旋转b度，且．
（1）求的值；
（2）设点M处探照灯先旋转20秒后，记两盏灯一起旋转的时间为t秒，当点M处探照灯射出的光线首次旋转至位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，求出所有t的值：若不能，说明理由；
（3）已知垂直河岸，设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直，求的度数；
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：.
（2）解：M处探照灯先旋转20秒后，M旋转了；
当点M处探照灯射出光线首次旋转至位置，，解得；而当t经过70s，CN旋转了；
中间存在t值使得两盏探照灯射出的光线互相平行，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得；
此后的移动速度比要快，均不可能平行．
当QN到达转到DN，又返回时，若两组光线平行，如图：
同样有∠CNQ=∠BMP.
，
解得；
因此答案为或秒；
（3）解：设两灯同时开始旋转，若两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直．
∵点N处的射线旋转速度为4°每秒，故从NC旋转到ND需要的时间为：180÷4=45（s）.
∵点M处的射线旋转速度为2°每秒，故从NA旋转到NBD需要的时间为：180÷2=90（s）.
①当时，如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即：，
解得：，此时，两光线交于点，不符合题意；
当时：
两盏探照灯射出的光线在河面上点F处互相垂直时，
同法可得：，解得；
此时
当，两个的探照灯又会回到平行时候的状态，
故是唯一解．
【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，得到关于a和b的二元一次方程，求解即可；
（2）根据平行线的性质可证得，设ts时两盏探照灯射出的光线互相平行，分ON到达DN之前和ON到达DN之后两种情况分别表示出∠CNQ和∠BMP，列方程求解即可；
（3）求出两岸的两盏探照灯从岸的一头旋转到另一头的时间，然后分两种情况讨论即可。①N出发出的光线从NC运动到ND的过程，即；②N出发出的光线运动到ND又返回到NC的过程，即；过F作EF//CD，根据平行线的性质建立关于时间t的方程，求解即可.注意排除不合题意的交点F.
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