【精品解析】一元二次方程·动态几何问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题

一元二次方程·动态几何问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2024九上·邻水期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：当运动时，，，，
∵，
∴，
即．
故答案为：D
【分析】当运动时，，，，进而根据三角形的面积结合题意即可列出一元二次方程。
2．（2023九上·江岸期中）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设t秒后，，
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故答案为：A．
【分析】根据动点运动的路程表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可．
二、填空题
3．（2024八上·新会月考） 如图， 在 中， 为 的中点， 点 在线段 上以 4 的速度由点 向点 运动， 同时， 点 在线段 上由点 向点 运动. 当点 的运动速度为　 　 时， 能够在某一刻使 与 全等.
【答案】6cm/s或4cm/s
【知识点】三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵点D 为 的中点，
∴BD=
设BP得运动时间为ts，则：BP=4tcm，CP=（16-4t）cm，
与 全等 ，可分为两种情况：
①当BP=CP时：
∴4t=16-4t，解得：t=2，
此时CQ=BD=12，
∴ 点 的运动速度为 ：12÷2=6（cm/s）；
②当BD=CP时
∴12=16-4t，解得：t=1，
此时，BP=CQ=4，
∴点 的运动速度为 ：4÷1=4（cm/s）；
综上， 当点 的运动速度为 6cm/s或4cm/s时， 能够在某一刻使 与 全等.
【分析】设BP得运动时间为ts，则：BP=4tcm，CP=（16-4t）cm， 与 全等 ，可分为两种情况：①当BP=CP时，可得4t=16-4t，求得运动时间，进一步求得Q的运动速度为 6cm/s；②当BD=CP时，可得12=16-4t，解得运动时间，进一步求得Q的运动速度为4cm/s，综上即可得出答案。
4．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 　 　秒．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，舍去
故
故答案为：1．
【分析】设运动时间为，根据路程、速度、时间三者的关系可表示出，，，再根据三角形的面积列出方程即可解答.
5． 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=7 cm，AC>BC.动点 P 从点 C出发，沿 CA 边向点 A 运动；同时动点Q从点 B 出发，沿BC 边向点 C 运动.如果点 P，Q 的运动速度均为1 cm/s，那么运动　 　s时，它们相距5cm .
【答案】3或4
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设运动xs时，它们相距5 cm，则CQ=(7-x)cm，CP=x cm.
根据题意，得x2+(7-x)2=52，
化简、整理，得x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4.
故运动3 s或4 s时，它们相距5 cm.
【分析】设运动xs时，它们相距5cm，表示出CQ和CP长，然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
6． 如图， 是一条射线， ，一只蚂蚁由点 以 的速度向点 爬行， 同时另一只蚂蚁由点 以 的速度沿 方向爬行， 则经过　 　 后， 两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为 ．
【答案】10或15或30
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意得
分类讨论：①点P在点O左侧
由解得
则
解得或，符合题意
②点P在点O右侧
由解得
则
解得或（不符题意，舍去）
综上所述，所求的t的值为或或
故答案为：10或15或30
【分析】先根据题意得到，进而结合题意分类讨论：①点P在点O左侧，②点P在点O右侧，再根据直角三角形的面积结合题意即可求解。
三、解答题
7．如图， 在 Rt 中， ． 动点 在线段 上并从点 出发，沿 方向运动； 动点 在线段 上并同时从点 出发，沿 方向运动． 如果点 的运动速度均为 ， 那么运动多少秒时， 它们相距
【答案】解：设运动 x s时，它们相距5cm.
则CQ=（7-x） cm，CP=x cm.
根据题意，得 解得
答：运动大动3s时或4s，它有相距5cm.
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设运动x 秒，则根据题意可用x表示出CP、CQ长，而P、Q距离为PQ，则结合勾股定理可得出CP2+CQ2=PQ2，代入并求解关于x的一元二次方程即可.
8．（2023九上·从江期中）如图所示，在△ABC中，AB=6 cm，BC=7 cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动.如果P，Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2
【答案】解：如图所示，过点Q作QE⊥AB于点E，
则∠QEB=90°.
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB.
∴S△PQB=·PB·QE.
设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，
则PB=(6-t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm).
根据题意，得·(6-t)·t=4.
整理，得t2-6t+8=0.
解得t1=2，t2=4.
当t=4时，2t=8，8>7，不合题意舍去，
∴t=2.
即经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】 过点Q作QE⊥AB于点E， 根据含30°的直角三角形的性质可得2QE=QB，可得S△PQB=·PB·QE， 设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB=(6-t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)，根据S△PQB=·PB·QE=4，建立方程并解之即可.
9．（2023九上·惠阳月考）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：，，
，
整理得，
解得，
当时的面积为面积的；
（2）解：当时，
，
整理得，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意，可以直接得出CP=t 和CQ=8-2t ，再根据三角形的面积公式以及 ，可以直接列方程，解得t的值；
(2)根据(1)可知，三角形的面积S和时间t的关系为二次函数，根据得出方程，方程有无解即可判断.
10．（2025九上·东丽期中） 如图，在△ABC中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t s．（）
（1）填空：　 　，　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当t为何值时，的长为5？
（3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：在中，由勾股定理得：
，
解得：
∵
∴当时，.
（3）解：由题意得S△PBQ=，
解得：（不合题意，舍去）
∴当，使得的面积为4cm2.
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）BQ=2t，PB=AB-AP=5-t.
故答案为：；5-t.
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可得出BQ、AP的长，再根据线段的和差即可得出PB的长；
（2）根据勾股定理列出关于t的方程式，即可得出答案；
（3）列出使得的面积为4的方程式，进而得出答案.
11．（2025九上·游仙期中）如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）出发几秒后，线段的长为？
（2）的面积能否等于？若能，求出时间；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：设秒后，线段的长为，由题意，得：，
∴，
∴，
解得：或，
∴出发秒或2秒后，线段的长为
（2）解：不能，理由如下：设秒后，的面积等于，
，
∴，
∴的面积，
整理，得：，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能等于
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设出发秒后， 线段的长为，用含t的代数式表示出此时和的长度，再根据勾股定理列出关于t的一元二次方程求解即可；
（2）是直角三角形，根据三角形面积公式列出一元二次方程，再根据根的判别式来判断该方程的根的情况即可解答．
（1）解：设秒后，线段的长为，
由题意，得：，
∴，
∴，
解得：或，
∴出发秒或2秒后，线段的长为；
（2）解：不能，理由如下：
设秒后，的面积等于，
，
∴，
∴的面积，
整理，得：，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能等于．
12．（2024九上·宁乡市期中）如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．
（1）求的面积为多少？
（2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）解：设经过t秒钟，的面积等于，则
∴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
答：经过1秒钟，的面积等于．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）先解一元二次方程求出AC、AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式计算即可；
（2）设t秒后的面积等于，则可用含t 的代数式分别表示出PB和BQ的长，再利用三角形的面积公式可得关于t的一元二次方程并求解，由于BQ的长小于等于BC的长，再对根进行取舍即可.
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）解：设经过t秒钟，的面积等于，则
∴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
答：经过1秒钟，的面积等于．
13．（2024九上·连云港期中）如图所示，中，，．
（1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？
（2）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？
【答案】（1）解：设经过秒，使的面积等于，
则，
∴，
，
，即，
解得：或，
∴经过2秒或4秒，使的面积等于；
（2）解：①点在线段上，点在线段上时，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点在线段上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：，符合题意；
③点在延长线上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故符合题意；
综上所述，经过秒或5秒或秒后的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设经过秒，使的面积等于，则，推出，再根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）分①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段延长线上；③点在线段延长线上，点在线段延长线上，三种情况，根据三角形面积公式列出方程求解.
（1）解：设经过秒，使的面积等于，
则，
∴，
，
，即，
解得：或，
∴经过2秒或4秒，使的面积等于；
（2）解：①点在线段上，点在线段上时，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点在线段上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：，符合题意；
③点在延长线上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故符合题意；
综上所述，经过秒或5秒或秒后的面积为．
1 / 1一元二次方程·动态几何问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2024九上·邻水期末）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·江岸期中）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
二、填空题
3．（2024八上·新会月考） 如图， 在 中， 为 的中点， 点 在线段 上以 4 的速度由点 向点 运动， 同时， 点 在线段 上由点 向点 运动. 当点 的运动速度为　 　 时， 能够在某一刻使 与 全等.
4．（2024九上·深圳开学考）如图，在中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B匀速移动，同时点Q从点B出发沿边以的速度向点C匀速移动，当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点P，Q运动的时间为 　 　秒．
5． 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=7 cm，AC>BC.动点 P 从点 C出发，沿 CA 边向点 A 运动；同时动点Q从点 B 出发，沿BC 边向点 C 运动.如果点 P，Q 的运动速度均为1 cm/s，那么运动　 　s时，它们相距5cm .
6． 如图， 是一条射线， ，一只蚂蚁由点 以 的速度向点 爬行， 同时另一只蚂蚁由点 以 的速度沿 方向爬行， 则经过　 　 后， 两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为 ．
三、解答题
7．如图， 在 Rt 中， ． 动点 在线段 上并从点 出发，沿 方向运动； 动点 在线段 上并同时从点 出发，沿 方向运动． 如果点 的运动速度均为 ， 那么运动多少秒时， 它们相距
8．（2023九上·从江期中）如图所示，在△ABC中，AB=6 cm，BC=7 cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动.如果P，Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2
9．（2023九上·惠阳月考）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
10．（2025九上·东丽期中） 如图，在△ABC中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t s．（）
（1）填空：　 　，　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当t为何值时，的长为5？
（3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
11．（2025九上·游仙期中）如图，在中，，点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）出发几秒后，线段的长为？
（2）的面积能否等于？若能，求出时间；若不能，说明理由．
12．（2024九上·宁乡市期中）如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．
（1）求的面积为多少？
（2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
13．（2024九上·连云港期中）如图所示，中，，．
（1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？
（2）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：当运动时，，，，
∵，
∴，
即．
故答案为：D
【分析】当运动时，，，，进而根据三角形的面积结合题意即可列出一元二次方程。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设t秒后，，
由题意得：，，则
整理得：
解得：，（不合题意，舍去），
即1秒后，的面积等于4，
故答案为：A．
【分析】根据动点运动的路程表示出线段的长度，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可．
3．【答案】6cm/s或4cm/s
【知识点】三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵点D 为 的中点，
∴BD=
设BP得运动时间为ts，则：BP=4tcm，CP=（16-4t）cm，
与 全等 ，可分为两种情况：
①当BP=CP时：
∴4t=16-4t，解得：t=2，
此时CQ=BD=12，
∴ 点 的运动速度为 ：12÷2=6（cm/s）；
②当BD=CP时
∴12=16-4t，解得：t=1，
此时，BP=CQ=4，
∴点 的运动速度为 ：4÷1=4（cm/s）；
综上， 当点 的运动速度为 6cm/s或4cm/s时， 能够在某一刻使 与 全等.
【分析】设BP得运动时间为ts，则：BP=4tcm，CP=（16-4t）cm， 与 全等 ，可分为两种情况：①当BP=CP时，可得4t=16-4t，求得运动时间，进一步求得Q的运动速度为 6cm/s；②当BD=CP时，可得12=16-4t，解得运动时间，进一步求得Q的运动速度为4cm/s，综上即可得出答案。
4．【答案】1
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．
∴，，
∴，
根据题意，得，
整理，得，
解得，
当时，，舍去
故
故答案为：1．
【分析】设运动时间为，根据路程、速度、时间三者的关系可表示出，，，再根据三角形的面积列出方程即可解答.
5．【答案】3或4
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设运动xs时，它们相距5 cm，则CQ=(7-x)cm，CP=x cm.
根据题意，得x2+(7-x)2=52，
化简、整理，得x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4.
故运动3 s或4 s时，它们相距5 cm.
【分析】设运动xs时，它们相距5cm，表示出CQ和CP长，然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
6．【答案】10或15或30
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：由题意得
分类讨论：①点P在点O左侧
由解得
则
解得或，符合题意
②点P在点O右侧
由解得
则
解得或（不符题意，舍去）
综上所述，所求的t的值为或或
故答案为：10或15或30
【分析】先根据题意得到，进而结合题意分类讨论：①点P在点O左侧，②点P在点O右侧，再根据直角三角形的面积结合题意即可求解。
7．【答案】解：设运动 x s时，它们相距5cm.
则CQ=（7-x） cm，CP=x cm.
根据题意，得 解得
答：运动大动3s时或4s，它有相距5cm.
【知识点】勾股定理的应用；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】设运动x 秒，则根据题意可用x表示出CP、CQ长，而P、Q距离为PQ，则结合勾股定理可得出CP2+CQ2=PQ2，代入并求解关于x的一元二次方程即可.
8．【答案】解：如图所示，过点Q作QE⊥AB于点E，
则∠QEB=90°.
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB.
∴S△PQB=·PB·QE.
设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，
则PB=(6-t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm).
根据题意，得·(6-t)·t=4.
整理，得t2-6t+8=0.
解得t1=2，t2=4.
当t=4时，2t=8，8>7，不合题意舍去，
∴t=2.
即经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】 过点Q作QE⊥AB于点E， 根据含30°的直角三角形的性质可得2QE=QB，可得S△PQB=·PB·QE， 设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB=(6-t)cm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)，根据S△PQB=·PB·QE=4，建立方程并解之即可.
9．【答案】（1）解：，，
，
整理得，
解得，
当时的面积为面积的；
（2）解：当时，
，
整理得，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【知识点】一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据题意，可以直接得出CP=t 和CQ=8-2t ，再根据三角形的面积公式以及 ，可以直接列方程，解得t的值；
(2)根据(1)可知，三角形的面积S和时间t的关系为二次函数，根据得出方程，方程有无解即可判断.
10．【答案】（1）；
（2）解：在中，由勾股定理得：
，
解得：
∵
∴当时，.
（3）解：由题意得S△PBQ=，
解得：（不合题意，舍去）
∴当，使得的面积为4cm2.
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）BQ=2t，PB=AB-AP=5-t.
故答案为：；5-t.
【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可得出BQ、AP的长，再根据线段的和差即可得出PB的长；
（2）根据勾股定理列出关于t的方程式，即可得出答案；
（3）列出使得的面积为4的方程式，进而得出答案.
11．【答案】（1）解：设秒后，线段的长为，由题意，得：，
∴，
∴，
解得：或，
∴出发秒或2秒后，线段的长为
（2）解：不能，理由如下：设秒后，的面积等于，
，
∴，
∴的面积，
整理，得：，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能等于
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点Q从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动，设出发秒后， 线段的长为，用含t的代数式表示出此时和的长度，再根据勾股定理列出关于t的一元二次方程求解即可；
（2）是直角三角形，根据三角形面积公式列出一元二次方程，再根据根的判别式来判断该方程的根的情况即可解答．
（1）解：设秒后，线段的长为，
由题意，得：，
∴，
∴，
解得：或，
∴出发秒或2秒后，线段的长为；
（2）解：不能，理由如下：
设秒后，的面积等于，
，
∴，
∴的面积，
整理，得：，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能等于．
12．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）解：设经过t秒钟，的面积等于，则
∴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
答：经过1秒钟，的面积等于．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）先解一元二次方程求出AC、AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，再利用三角形面积公式计算即可；
（2）设t秒后的面积等于，则可用含t 的代数式分别表示出PB和BQ的长，再利用三角形的面积公式可得关于t的一元二次方程并求解，由于BQ的长小于等于BC的长，再对根进行取舍即可.
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积为；
（2）解：设经过t秒钟，的面积等于，则
∴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
答：经过1秒钟，的面积等于．
13．【答案】（1）解：设经过秒，使的面积等于，
则，
∴，
，
，即，
解得：或，
∴经过2秒或4秒，使的面积等于；
（2）解：①点在线段上，点在线段上时，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点在线段上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：，符合题意；
③点在延长线上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故符合题意；
综上所述，经过秒或5秒或秒后的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）设经过秒，使的面积等于，则，推出，再根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）分①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段延长线上；③点在线段延长线上，点在线段延长线上，三种情况，根据三角形面积公式列出方程求解.
（1）解：设经过秒，使的面积等于，
则，
∴，
，
，即，
解得：或，
∴经过2秒或4秒，使的面积等于；
（2）解：①点在线段上，点在线段上时，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点在线段上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
，
解得：，符合题意；
③点在延长线上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，
依题意得：，
，
，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故符合题意；
综上所述，经过秒或5秒或秒后的面积为．
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