一元二次方程·新定义问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
2．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
3．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
4．（2024八下·合肥期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故答案为：C．
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
5．（2024八下·镇海区期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得即，方程有两不相等的实根，则△>0，即1+8k>0，得
故答案为：A.
【分析】由新定义运算可得一元二次方程，有两个不相等的根，即可求出k的取值范围.
6．（2025八下·衢州期末） 定义运算：，例如，.若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可化为，即
方程有两个相等的实数根，故，即，解得m=.
故答案为：A .
【分析】根据定义的新运算化为一元二次方程，利用可得m的值.
7．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
8．（2025八下·义乌月考）若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：的倒方程为( 把 代入方程 得 解得 所以错误；
②一元二次方程( 与它的倒方程有公共解，正确，公共解是
③若一元二次方程( 无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当 时， 一元二次方程 的根的判别式 也为一元二次方程，此方程的根的判别式所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程 与它的倒方程有公共解 ，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断.
二、填空题
9．（2025八下·温州期中）赵爽在周髀算经中有这样的记载，命题1：勾股各自乘，并之为弦实．意思是：记直角三角形勾股弦分别为，，．则．命题2：“加差于勾，即股．”意思是：已知，，求，．其中就是二次方程的根，例如方程的一个根为．问题1：请你构建一个形如“”，且一个根为的方程 ．
问题2：已知关于的方程，则其中一个根为 ．
【答案】；
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】解：问题1：根据题意设a=5，b=12，c=13，则满足，
的一个根为，
将a=5，b=12代入b-a，得到b-a=12-5，
再将c=13，b-a=12-5代入方程右边得得，
得到方程；
故答案为：；.
问题2：∵ 关于的方程
∴
∴，c2-b2=3=a2，
∴a2=3，
解之：（取正）
∴a是二次方程的根，
∴其中的一个根为.
故答案为：.
【分析】（1）解题关键是利用勾股数构造满足条件的方程，以及通过一元二次方程右边式子变形找到方程的根，利用常见勾股数，令a=5，确定b，c的值，代入方程，构建方程；
（2）利用已知方程和阅读材料中的内容可推出，即可得到b的值及c2-b2的值，由此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；根据a是二次方程的根，可得到此方程的其中的一个根.
10．（2024八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】2020
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
则代数式的最小值是2020．
故答案为：2020．
【分析】根据新定义得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出与的值，再利用配方法求出出代数式的最大值即可．
11．（2024八下·柯桥期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得当时，
解得（不合题意，舍去）；
当时，
解得（不合题意，舍去）；
故答案为：3.
【分析】根据新定义的运算分两种情况求解即可.
12．（2024八下·余姚期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】2024
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： 关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
，
，
最小值是2024．
故答案为：2024．
【分析】根据“同族二次方程”定义运算，再根据对应系数相等列出关于与的方程组，求出与的值，然后代入配方，根据平方式的非负性解题即可．
13．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 .
【答案】-9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据新定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式即可求出k.
14．（2024八下·丰城期中）当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为 ．
【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+（m-2）x-2m=0，
∴（x+m）（x-2）=0，
∴x1=-m，x2=2，
由题意-m=2×2或2=2（-m），
∴m=-4或-1，
故答案为-4或-1．
【分析】利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题.
三、解答题
15．（2025八下·永康期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算“◎”如下：
如：，。
根据上述定义，解决下列问题：
（1）计算： ，
（2）若（x-1）◎（x+1）=2x+2，求x的值。
【答案】（1）10；4+
（2）解：∵x-1∴(x-1)(x+1)=2x+2
∴x2-2x-3=0
x1=3，x2=-1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)∵1000>10，
∴
∵，
∴，
故答案为：10；.
【分析】(1)准确比较根式的大小，选择对应的运算规则；
(2)通过比较x-1和x+1的大小，确定运规则，转化为方程后求解.
16．（2025八下·温州期中）定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【分析】（1）先解出每个方程的根，然后根据邻根方程的定义逐个分析判断即可；
（2）先解方程得到，，然后根据邻根方程的定义得到解此方程即可求解；
（3）设的两个根为，，由韦达定理得，，根据邻根方程的定义得到，则，进而代入计算即可．
17．（2025八下·杭州期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
18．（2024八下·长沙期末）若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ；
；
；
．
（2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：由题意，当时，关于的方程为“明一方程”，
当时，．
．
．
又直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
．
．
又，
．
或．
或或．
直线解析式为或或
（3）解：由题意，为“明一”方程，
方程必有一个根是．
．
又，
，，且．
．
，为“明一方程”的两个根，
其中一个是，而另一个为．
．
，
．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（1）解方程得，
是“明一方程”；
解方程得，，
不是“明一方程”；
解方程得，，
是“明一方程”；
故答案为：①③
【分析】（1）根据“明一方程”的定义结合题意解一元二次方程，从而即可求解；
（2）先根据“明一方程”的定义结合题意得到，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到，，从而根据三角形的面积结合题意即可得到，解方程即可得到或或，从而即可求解；
（3）先根据“明一”方程的定义即可得到方程必有一个根是，从而结合题意即可得到，再结合已知条件得到，根据一元二次方程的根结合题意得到，从而即可求解.
1 / 1一元二次方程·新定义问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2024八下·金华期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
2．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
3．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
4．（2024八下·合肥期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0
5．（2024八下·镇海区期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．（2025八下·衢州期末） 定义运算：，例如，.若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C． D．9
7．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八下·义乌月考）若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025八下·温州期中）赵爽在周髀算经中有这样的记载，命题1：勾股各自乘，并之为弦实．意思是：记直角三角形勾股弦分别为，，．则．命题2：“加差于勾，即股．”意思是：已知，，求，．其中就是二次方程的根，例如方程的一个根为．问题1：请你构建一个形如“”，且一个根为的方程 ．
问题2：已知关于的方程，则其中一个根为 ．
10．（2024八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
11．（2024八下·柯桥期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
12．（2024八下·余姚期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
13．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 .
14．（2024八下·丰城期中）当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为 ．
三、解答题
15．（2025八下·永康期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算“◎”如下：
如：，。
根据上述定义，解决下列问题：
（1）计算： ，
（2）若（x-1）◎（x+1）=2x+2，求x的值。
16．（2025八下·温州期中）定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
17．（2025八下·杭州期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
18．（2024八下·长沙期末）若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”．
（1）下列方程是“明一方程”的有 ；
；
；
．
（2）已知直线轴交于点，与轴交于点，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
（3）已知为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
，
∴有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】根据新定义下的实数运算列出关于的一元二次方程，再根据根的判别式判断根的情况.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，
把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，
∴1+（﹣1）=0，
即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；
故答案为：C．
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得即，方程有两不相等的实根，则△>0，即1+8k>0，得
故答案为：A.
【分析】由新定义运算可得一元二次方程，有两个不相等的根，即可求出k的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可化为，即
方程有两个相等的实数根，故，即，解得m=.
故答案为：A .
【分析】根据定义的新运算化为一元二次方程，利用可得m的值.
7．【答案】C
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：的倒方程为( 把 代入方程 得 解得 所以错误；
②一元二次方程( 与它的倒方程有公共解，正确，公共解是
③若一元二次方程( 无解，则它的倒方程也无解，正确，因为倒方程的判别式的值也小于0，方程没有实数根；
④当 时， 一元二次方程 的根的判别式 也为一元二次方程，此方程的根的判别式所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故答案为： C.
【分析】根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程 与它的倒方程有公共解 ，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断.
9．【答案】；
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】解：问题1：根据题意设a=5，b=12，c=13，则满足，
的一个根为，
将a=5，b=12代入b-a，得到b-a=12-5，
再将c=13，b-a=12-5代入方程右边得得，
得到方程；
故答案为：；.
问题2：∵ 关于的方程
∴
∴，c2-b2=3=a2，
∴a2=3，
解之：（取正）
∴a是二次方程的根，
∴其中的一个根为.
故答案为：.
【分析】（1）解题关键是利用勾股数构造满足条件的方程，以及通过一元二次方程右边式子变形找到方程的根，利用常见勾股数，令a=5，确定b，c的值，代入方程，构建方程；
（2）利用已知方程和阅读材料中的内容可推出，即可得到b的值及c2-b2的值，由此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的a的值；根据a是二次方程的根，可得到此方程的其中的一个根.
10．【答案】2020
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
则代数式的最小值是2020．
故答案为：2020．
【分析】根据新定义得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出与的值，再利用配方法求出出代数式的最大值即可．
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可得当时，
解得（不合题意，舍去）；
当时，
解得（不合题意，舍去）；
故答案为：3.
【分析】根据新定义的运算分两种情况求解即可.
12．【答案】2024
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： 关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
，
，
最小值是2024．
故答案为：2024．
【分析】根据“同族二次方程”定义运算，再根据对应系数相等列出关于与的方程组，求出与的值，然后代入配方，根据平方式的非负性解题即可．
13．【答案】-9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据新定义得到，进而根据一元二次方程根的判别式即可求出k.
14．【答案】-1或-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2+（m-2）x-2m=0，
∴（x+m）（x-2）=0，
∴x1=-m，x2=2，
由题意-m=2×2或2=2（-m），
∴m=-4或-1，
故答案为-4或-1．
【分析】利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题.
15．【答案】（1）10；4+
（2）解：∵x-1∴(x-1)(x+1)=2x+2
∴x2-2x-3=0
x1=3，x2=-1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)∵1000>10，
∴
∵，
∴，
故答案为：10；.
【分析】(1)准确比较根式的大小，选择对应的运算规则；
(2)通过比较x-1和x+1的大小，确定运规则，转化为方程后求解.
16．【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【分析】（1）先解出每个方程的根，然后根据邻根方程的定义逐个分析判断即可；
（2）先解方程得到，，然后根据邻根方程的定义得到解此方程即可求解；
（3）设的两个根为，，由韦达定理得，，根据邻根方程的定义得到，则，进而代入计算即可．
17．【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
18．【答案】（1）
（2）解：由题意，当时，关于的方程为“明一方程”，
当时，．
．
．
又直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
．
．
又，
．
或．
或或．
直线解析式为或或
（3）解：由题意，为“明一”方程，
方程必有一个根是．
．
又，
，，且．
．
，为“明一方程”的两个根，
其中一个是，而另一个为．
．
，
．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（1）解方程得，
是“明一方程”；
解方程得，，
不是“明一方程”；
解方程得，，
是“明一方程”；
故答案为：①③
【分析】（1）根据“明一方程”的定义结合题意解一元二次方程，从而即可求解；
（2）先根据“明一方程”的定义结合题意得到，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到，，从而根据三角形的面积结合题意即可得到，解方程即可得到或或，从而即可求解；
（3）先根据“明一”方程的定义即可得到方程必有一个根是，从而结合题意即可得到，再结合已知条件得到，根据一元二次方程的根结合题意得到，从而即可求解.
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