2.3 一元二次方程根与系数的关系—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·浙江月考）已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
2．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
3．（2024八下·越城期末）一元二次方程 的两根为 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·诸暨期中）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．13
5．已知 是一元二次方程 的两个实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．－3
7．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
8．若方程 的两根分别为 x ，x ，则x +x 等于 （ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·慈溪期末）若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
10．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
11．（2024八下·南浔期中）已知一元二次方程有一个根为1，则另一个根为 ．
12．（2025八下·瑞安期中）若x=1为方程x2-3mx+5=0的一个根，则该方程的另一个根为x= .
13．（2024八下·柯桥期中）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，则＝ ．
14．（2024八下·萧山期中） 已知一元二次方程的两个实数根为.若，则实数 ．
三、解答题（共4题，共38分）
15．（2024八下·象山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
16．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4，写出这个方程.
17．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
18．设x1，x2是一元二次方程 2x-100=0的两个根，请利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得，
设两个根是，
则，
解得，
∴这两个根是，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，由题意设两个根是，再根据根与系数的关系列出关于a的方程求出a，然后根据两根之积求出答案．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】
解：
A，B、，解得：故A，B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A，B、利用求根公式解出方程：的根即可
C、根据代入计算即可
D、根据d代入计算即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式求解即可．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴x1+x2=2， ，
∴D选项中 错误，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是a，
∵3x2-4x+m=0的一个根是x=1，
∴根据根与系数的关系得，
∴.
故答案为：A.
【分析】设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵2x2+6x-1=0中a=2，b=6，c=-1，
∴.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=可得答案.
9．【答案】x=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据根与系数的关系得1＋m＝6，
解得m＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：x＝5．
【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得1＋m＝6，然后解一次方程即可．
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程另一个根为t，
由根与系数的关系得1×t=3，
解得，t=3.
故答案为：3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数可得，据此建立方程，可求出方程的另一个根.
12．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程化为，
设方程的另一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程，从而求出m=2，进而将原方程化为，然后设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
13．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，
故答案为，2023.
【分析】由一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到再将代数式进行恒等变形代入计算即可求解.
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1+x2=3，x1 x2=k，
∴k+3=1，
∴k=-2．
故答案为：-2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2，x1 x2的值代入x1x2+x1+x2=1求解即可。一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=-，x1 x2=。
15．【答案】（1）解：对于方程：
，
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故不论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数根为且，由题意得：，
对于，
x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，
∵，
，
或，
故的值为2或．
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；
（2）设方程的两实数根为且，则，利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，再根据完全平方公式变形得，最后代入得关于m的方程并求解即可．
16．【答案】解：∵一元二次方程的二次项系数是3，
∴a=3，
∵一元二次方程的两个根是-2，4，
∴
∴
∴一元二次方程为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，从而代入a和两个实数根的值，可得到b，c的值，进而得出一元二次方程.
17．【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
18．【答案】（1）解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=-100.
+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-100)=204
（2）解：(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-100-5×(-2)+25=-65
（3）解：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×(-100)=404
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，再对原式进行变形，最后代入即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，对原式进行化简再变形，最后代入即可；
（3）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，再对原式进行变形，最后代入即可.
1 / 12.3 一元二次方程根与系数的关系—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题（每题3分，共24分
1．（2025八下·浙江月考）已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得，
设两个根是，
则，
解得，
∴这两个根是，
∴，
解得．
故答案为：C．
【分析】先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，由题意设两个根是，再根据根与系数的关系列出关于a的方程求出a，然后根据两根之积求出答案．
2．若 是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为( )
A．-5 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系直接计算出 .
根与系数的关系：如果方程有两个实数根，则，.
3．（2024八下·越城期末）一元二次方程 的两根为 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】
解：
A，B、，解得：故A，B错误
C、，故C正确
D、，故D错误
故选C.
【分析】
A，B、利用求根公式解出方程：的根即可
C、根据代入计算即可
D、根据d代入计算即可.
4．（2024八下·诸暨期中）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．13
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程解的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式求解即可．
5．已知 是一元二次方程 的两个实数根，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 是一元二次方程 的两个实数根 ，
∴x1+x2=2， ，
∴D选项中 错误，
故答案为：D。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
6．（2024八下·杭州期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．－3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根是a，
∵3x2-4x+m=0的一个根是x=1，
∴根据根与系数的关系得，
∴.
故答案为：A.
【分析】设方程的另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系进行求解.
7．（2024八下·杭州期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则值是（ ）
A．－11 B．4 C．16 D．38
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4x-11=0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
8．若方程 的两根分别为 x ，x ，则x +x 等于 （ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵2x2+6x-1=0中a=2，b=6，c=-1，
∴.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=可得答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2025八下·慈溪期末）若x=1是一元二次方程x2-6x+m=0的根，则方程的另一个根为 .
【答案】x=5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为m，
根据根与系数的关系得1＋m＝6，
解得m＝5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：x＝5．
【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得1＋m＝6，然后解一次方程即可．
10．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
11．（2024八下·南浔期中）已知一元二次方程有一个根为1，则另一个根为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程另一个根为t，
由根与系数的关系得1×t=3，
解得，t=3.
故答案为：3.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数可得，据此建立方程，可求出方程的另一个根.
12．（2025八下·瑞安期中）若x=1为方程x2-3mx+5=0的一个根，则该方程的另一个根为x= .
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
∴方程化为，
设方程的另一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程，从而求出m=2，进而将原方程化为，然后设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
13．（2024八下·柯桥期中）设x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，则＝ ．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：x1、x2是方程x2﹣3x﹣2020＝0的两个根，
故答案为，2023.
【分析】由一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得到再将代数式进行恒等变形代入计算即可求解.
14．（2024八下·萧山期中） 已知一元二次方程的两个实数根为.若，则实数 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1+x2=3，x1 x2=k，
∴k+3=1，
∴k=-2．
故答案为：-2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2，x1 x2的值代入x1x2+x1+x2=1求解即可。一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1，x2与系数的关系式：x1+x2=-，x1 x2=。
三、解答题（共4题，共38分）
15．（2024八下·象山期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）解：对于方程：
，
当时，方程有两个不相等的实数根，
当时，方程有两个相等的实数根；
故不论m取何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两实数根为且，由题意得：，
对于，
x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，
∵，
，
或，
故的值为2或．
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可；
（2）设方程的两实数根为且，则，利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=m+2，x1·x2=m+1，再根据完全平方公式变形得，最后代入得关于m的方程并求解即可．
16．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是-2，4，写出这个方程.
【答案】解：∵一元二次方程的二次项系数是3，
∴a=3，
∵一元二次方程的两个根是-2，4，
∴
∴
∴一元二次方程为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，根与系数关系为，从而代入a和两个实数根的值，可得到b，c的值，进而得出一元二次方程.
17．（2024八下·诸暨期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根，
∴
∴，
答：的取值范围为：.
（2）解：根据题意可得：
，，
又∵
∴6+2m=0
∴m=-3，且-3＞-9，
答：的值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围；
（2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件．
（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即的取值范围为：；
（2）解：根据题意得：
，，
，
，
解得：（符合题意），
即的值为．
18．设x1，x2是一元二次方程 2x-100=0的两个根，请利用根与系数的关系求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：由根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=-100.
+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-100)=204
（2）解：(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-100-5×(-2)+25=-65
（3）解：(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×(-100)=404
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，再对原式进行变形，最后代入即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，对原式进行化简再变形，最后代入即可；
（3）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=-100，再对原式进行变形，最后代入即可.
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