2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数x、y满足，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．3或
4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．任意实数 B．3或 C．3 D．
5．设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．
6．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．解方程，，，较简便的方法依次是（ ）
A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法
C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法
8．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
9．某校在一块矩形基地中给八年级划分出两块如图所示的农耕实践基地，中间留出一条宽度相等的人行小道，已知矩形基地的长为41m，宽为20m，农耕基地的面积为，若设人行小道的宽度为m，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论：
①方程是“特根方程”；
②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或；
③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解．
这三个结论中判断正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若方程是一元二次方程，则k的值是 ．
12．已知，是二次方程的两个根，则的值为 ．
13．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ．
14．已知m，n是方程的两根，则＝ ．
15．暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍．该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价 ．
16．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽略不计）．若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长 米．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)．
(2)
18．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根；
(2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
19．定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由；
(2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值．
20．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问：
(1)经过多长时间，长为？
(2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？
21．某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
23．某建设单位需要一种如图1所示的三棱柱配件，该配件由3个全等的长方形侧面和2个全等的等边三角形底面的金属板焊接而成．
(1)若该建设单位共需图1所示的配件3800个，有甲、乙两个工厂参与竞标，根据两个工厂的生产水平可知，甲工厂每天生产该配件的数量比乙工厂每天生产该配件的数量多10个，且甲工厂完成任务比乙工厂用时少1天．求甲工厂每天生产该配件的数量．
(2)甲工厂凭借优异的生产工艺竞标成功，甲工厂现在需要先生产一批样品，用以检验是否达到生产标准．现有19块完全相同的长方形金属板，以图2的两种方法进行切割（切割后边角料不再利用），其中m块用A方法，其余用B方法，若切割出的侧面和底面恰好全部用完，求m的值．
24．阅读：关于的一元二次方程，我们知道当时，方程的两个实数根可以表示为：，，
此时方两根之和为：．
两根之积为：，
这就是一元二次方程的根与系数关系定理．利用一元二次方程的根与系数关系定理我们可以不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知，分别为一元二次方程的两根，则，．根据上述材料回答问题：
(1)求一元二次方程的两根之和与两根之积；
(2)已知，是一元二次方程的两根，那这两根的平方之和等于____．这两根的倒数之和为_____．
(3)已知，是一元二次方程的两根，，是的两根，则______，______．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 由一元二次方程的定义求参数
2 0.94 一元二次方程的定义
3 0.85 因式分解法解一元二次方程
4 0.75 一元二次方程的定义；由一元二次方程的解求参数
5 0.65 由一元二次方程的解求参数；一元二次方程的根与系数的关系
6 0.65 换元法解一元二次方程
7 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
8 0.65 由一元二次方程的解求参数；解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程
9 0.64 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
10 0.4 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由一元二次方程的定义求参数
12 0.75 一元二次方程的根与系数的关系；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 正比例函数的性质；根据判别式判断一元二次方程根的情况
14 0.65 判断是否是一元二次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
15 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
16 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程
18 0.75 由一元二次方程的解求参数；因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况
19 0.65 由一元二次方程的解求参数；加减消元法
20 0.65 根据矩形的性质求线段长；动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
21 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
23 0.65 分式方程和差倍分问题；因式分解法解一元二次方程
24 0.4 构造二元一次方程组求解；一元二次方程的根与系数的关系2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D A C B B C
1．D
本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据二次项系数不能为零，列式求解即可．
解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数，
∴．
故选D．
2．B
本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2次的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
3．A
本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可．
解：∵，
∴，
∴或，
解得：或，
∵，
∴．
故选：A
4．D
将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义．
解：∵是方程的一个根，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 ．
又∵ 方程为一元二次方程，
∴ 二次项系数 ，即 ，
∴，
故选D．
5．D
本题考查了一元二次方程根的性质（方程的根满足方程）以及代数式的降次与变形，解题的关键是利用方程根的定义将高次幂的项转化为低次幂的项，再结合已知条件进行计算．
由是方程的根，可得，进而推出高次幂的降次公式；利用该公式将转化为含的式子，代入已知值计算．
∵是方程的两个实根，
．
由此可得，对于任意有：
，
同理，．
．
∵已知
∴代入上式得：
．
故选：D．
6．A
本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键．
设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可．
解：设，则方程可化为，
∴，是方程的解，
则方程可化为，
∴或，即或，
∴或，即，．
故选：．
7．C
根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法．
解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意；
B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意；
C、直接开平方法，公式法，因式分解法：
① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法；
② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法；
③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。
该选项完全匹配，符合题意；
D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意；
故选：C．
本题考查了知识点一元二次方程的解法选择，解题关键是抓住方程的结构特点，区分直接开平方法、公式法、因式分解法的适用场景，避免盲目使用配方法增加计算量．
8．B
本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数．
解：方程的解为和，
方程的解为（需），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴，
解得：，
，
代入得：，
解得，
故选：B．
9．B
本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，根据矩形的面积公式进行列出方程即可．
解：由题意和图可列方程为：；
故选B．
10．C
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据“特根方程”的定义，需满足两个实数根均负且比值在3到4之间．结论①直接计算验证；结论②通过根与系数关系求k，但需检验是否满足定义；结论③通过分析m的取值范围，确定整数解个数．
解：对于结论①：解方程得：，
满足，且，符合；∴①正确．
对于结论②：由一元二次方程可得：，
由得，解得．
当时，方程，解得，满足定义；
当时，方程，解得，则有，不满足定义，∴②错误．
对于结论③：方程，判别式，
由题意可知需且根均负，故．
解方程得（时）或（）．
比值，当时，，需，解得，无整数m；
当时，，需，解得，则有整数m仅为，∴③正确．
综上，①③正确；
故选C．
11．
本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值．
解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
12．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和的值，并将原表达式中的和用方程关系代换，化简后代入求值．
，是方程的根，
根据根与系数的关系，有，，
由原方程得，，
，
，
原式．
故答案为．
13．有两个不相等的实数根
本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况．
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
为一元二次方程，
，
有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
14．8
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键．
根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可．
解：、是一元二次方程的两个根，
，，
，，
，，
．
故答案为：8．
15．
本题考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫的定价为x元时，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的倍即可确定x的值，此题得解．
解：设每件文化衫应定价为元，
，
解得：，，
∵该文化衫的售价不能超过进价的倍，
∴，
∴每件文化衫应定价为元，
故答案为：．
16．6
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．
设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得，
解得，，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴符合题意，
答：生态园垂直于墙的边长为6米．
17．(1)
(2)
本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．(1)
(2)见解析
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握的方程有两个不相等的实数根是解题关键．
（1）将代入方程，求出，化简原方程可得，再根据因式分解法解二元一次方程即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式得到，再根据平方的非负性，即可证明结论．
（1）解：将代入方程，得：，解得：．
当时，方程为，
，
，，
∴方程的另一个根是．
（2）证明：∵在中，，
，
，
，
，
∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
19．(1)该方程是“联合方程”，见解析
(2)的值为，的值为6
本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键．
（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可；
（2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可．
（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“联合方程”；
（2）解：是关于的“联合方程”，
，
是此“联合方程”的一个根，
，
即，
解得，
的值为，的值为6．
20．(1)经过2秒或秒；
(2)经过1秒或2秒．
（1）设经过x秒，MN长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，代入，得到关于x的一元二次方程求解；
（2） 设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解．
（1）解：设经过x秒，长为，
∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，
∴经过x秒，，，
∴，
∴，，
答：经过2秒或秒，长为；
（2）设经t秒，面积等于矩形面积的，
∴，，
∵当点M到达点B时，两点同时停止运动，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
答：经过1秒或2秒，面积等于矩形面积的．
本题考查了矩形的性质，四边形的动点问题，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长．
21．(1)
二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
(2)
该商品售价定为元时，商场当月获利元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得；
（2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元．
（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是，
当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得，，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴，
答：该商品售价定为元时，商场当月获利元．
22．(1)是，理由见解析
(2)或
(3)或
本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，，也考查了阅读理解能力．
（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值．
（1）解：，
，
或，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得或，
∴m的值为或．
23．(1)200个
(2)11
此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的数量关系是解题的关键．
（1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）首先表示出切割出的侧面的数量为个，切割出的底面的数量为个，然后根据题意得到，进而求解即可．
（1）设甲工厂每天生产该配件x个，则乙工厂每天生产该配件个．
根据题意，得
整理得，
解得或（舍去）．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲工厂每天生产该配件200个．
（2）根据题意可知用A方法切割的长方形金属板为m块，用B方法切割的长方形金属板为块，
则切割出的侧面的数量为个，
切割出的底面的数量为个．
∵每个图1的配件中，侧面与底面数量的比为，
．
解这个方程得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：m的值为11．
24．(1)两根之和为，两根之积为
(2)，
(3)，
（1）直接套用韦达定理，代入方程的系数，求出两根之和与两根之积；
（2）先将方程整理为标准形式，再用韦达定理求出两根之和与积，最后代入平方和、倒数和的变形公式计算结果；
（3）对两个方程分别应用韦达定理，得到关于， 的方程组，联立求解即可得到参数值．
（1）解：已知，
则两根之和为，
两根之积为．
答：两根之和为，两根之积为．
（2）解：已知，可变形为，
则，，
可得，
，
故两根的平方之和为，倒数之和为．
答：，．
（3）解：，是一元二次方程的两根，
则，；
，是的两根，
则，，
可得，，
即，
可得，即，整体代入中，
可得，
则，，
故，．
答：，．
本题考查韦达定理，一元二次方程的整理，代数式恒等变形，二元一次方程组的求解，灵活使用代数变形是解题关键．
