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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025·化州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·浙江期中）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·珠海模拟）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八下·柯桥月考）若与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·遵义期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·南宁模拟）如果式子有意义，那么a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024·定海模拟）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2024八下·惠城期中） 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ）
A．3a＋2 B．﹣3a﹣2 C．4﹣a D．a﹣4
9．（2024八下·黔东南期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·茅箭月考） 阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（ ）
A．10 B． C．6 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·泸县模拟）若与互为相反数，则 ．
12．（2025八下·义乌期中）已知，则计算 ．
13．（2024·南山模拟）计算：= ．
14．（2024八下·凤山期末）已知是整数，则正整数n的最小值是 .
15．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
16．（2024八下·义乌月考）已知实数a满足，则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·安次月考）计算下列各题：
（1）
（2）
18．（2024八下·红花岗期中）已知，，求代数式的值：
（1）；
（2）
19．（2024八下·绥阳月考）观察下列等式：
①；②；
③；④…
回答下列问题：
（1）利用上面你观察到的规律，化简 ， ．
（2）计算：．
20．（2024八下·中江月考）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
21．（2024八下·大余期末）小芳解答问题“已知，求的值”的过程如下：
，
，即，
．
．
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：
（1），求的值；
（2）化简．
22．（2024·金华自主招生）解答下列问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知a，b是实数，且，化简.
23．（2025八下·广东期中）“最强大脑”节目中的魔方，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，由四层完全相同的小正方体组成，表面积为288．
（1）该4阶魔方中小正方体的棱长为______；
（2）若图中的四边形是一个正方形，求该正方形的边长及面积；
（3）如图2，把（2）中的正方形放在坐标系中，点与重合，在轴上，以点为圆心，为半径画弧，交轴的负半轴于点，直接写出点的坐标______．
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二次根式（B卷·综合能力提升卷）
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025·化州模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，二次根式的性质，对四个式子逐一计算后作出判断．
2．（2025八下·浙江期中）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根是它的正的平方根，结果只有一个值；
B、一个正数的两个平方根的平方都等于它本身；
C、算术平方根的积等于积的算术平方根；
D、同类二次根式可以合并．方法类似合并同类项，不是同类二次根式也不能合并.
3．（2025·珠海模拟）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形边长为，小正方形的边长为，
∴，
．
故答案为：C．
【分析】由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可求出答案.
4．（2025八下·柯桥月考）若与是同类二次根式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故本选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别将各个选项给出数作为二次根式的被开方数，根据二次根式的性质“”分别化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义“如果几个最简二次根式的被开方数完全相同，则这几个最简二次根式就是同类二次根式”进行判断即可得出答案.
5．（2024八下·遵义期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴的倒数是为，
故答案为：．
【分析】利用，即可计算的倒数 ．
6．（2024·南宁模拟）如果式子有意义，那么a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 式子有意义，
∴a≥0，
∴a的值可以是1.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，可知a≥0，即可得到答案.
7．（2024·定海模拟）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而得出答案.
8．（2024八下·惠城期中） 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ）
A．3a＋2 B．﹣3a﹣2 C．4﹣a D．a﹣4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵a＜﹣3，
∴2a-1＜0，a+3＜0，
∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2，
故答案为：B.
【分析】根据a＜-3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项即可.
9．（2024八下·黔东南期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B．
【分析】先逆用积的乘方变形，然后根据平方差公式计算．
10．（2024八下·茅箭月考） 阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（ ）
A．10 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出，然后代入，求出结果即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·泸县模拟）若与互为相反数，则 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，
解得： ，
∴
故答案为：6．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性列方程组，求出a，b的值，然后代入代数式计算解题．
12．（2025八下·义乌期中）已知，则计算 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【分析】
由知，当时，，，然后再根据绝对值的性质化简并进行整式的加减运算即可．
13．（2024·南山模拟）计算：= ．
【答案】7
【解析】【解答】解：.
故答案为：7.
【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法法则进行计算，即可得到答案.
14．（2024八下·凤山期末）已知是整数，则正整数n的最小值是 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵是整数，n是正整数，
∴最小的值是4，
∴最小的正整数n的值是2．
故答案为：2．
【分析】根据2n是完全平方数进行求解即可.
15．（2023七下·亳州期末）已知，，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】9和-9的平方是81，a=9或-9；-2的三次方是-8，b=-8，当a=9时，-8-9小于0，二次根式无意义，当a=-9时，-8-（-9）=-8+9=1，1的算术平方根是1。
【分析】81的平方根是互为相反数的2个值，二次根式有意义，根号下要大于等于0.
16．（2024八下·义乌月考）已知实数a满足，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】【解答】解：∵，
∴a≥2024，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2024
【分析】先根据二次根式有意义的条件即可得到a≥2024，进而化简得到，再两边平方结合题意即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八下·安次月考）计算下列各题：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）利用乘法的分配律去括号，化简合并即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可。
18．（2024八下·红花岗期中）已知，，求代数式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，，
，，
（2）解：，，
，，
．
【解析】【分析】（1）利用平方差公式先分解因式再代入求值可简化计算；
（2）利用完全平方公式把所求多项式变成两数和的完全平方与这两数积的和，然后再代入求值可简化计算；
（1）解法一：，，
，，
解法二：原式=
=
=
（2）解法一：，，
，，
．
解法二：
原式=
=
19．（2024八下·绥阳月考）观察下列等式：
①；②；
③；④…
回答下列问题：
（1）利用上面你观察到的规律，化简 ， ．
（2）计算：．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
…
∴可以得到规律，
∴
【解析】【解答】（1），，
【分析】（1）将式子直接进行分母有理化即可求解；
（2）将各算式直接进行分母有理化，根据规律再相加减即可求解.
20．（2024八下·中江月考）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为.
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是.
（2）解：蔬菜地的面积
.
（元）.
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元.
【解析】【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算即可；（2）先计算出蔬菜地的面积，然后根据每平方米蔬菜产量及每千克蔬菜价格，即可算出销售收入。
21．（2024八下·大余期末）小芳解答问题“已知，求的值”的过程如下：
，
，即，
．
．
请你根据小芳的解答过程，解决下列问题：
（1），求的值；
（2）化简．
【答案】（1）解：，
，
即，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】(1)化简二次根式，直接代入求值即可得结果；
(2)根据分母有理化的再相加即相消得结果.
22．（2024·金华自主招生）解答下列问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知a，b是实数，且，化简.
【答案】（1）解：∵2-x≥0，
∴x≤2，
∴x-3≤0，
∴3-x-2+x=2x，
∴
（2）解：∵a-2≥0且2-a≥0，
∴a≥2且a≤2，
∴a=2.
将a=2代入上式，得b>1，
∴1-b<0，
∴原式
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的值.
（2）根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列出不等式，求出a的值，再根据b的取值范围，化简式子.
23．（2025八下·广东期中）“最强大脑”节目中的魔方，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，由四层完全相同的小正方体组成，表面积为288．
（1）该4阶魔方中小正方体的棱长为______；
（2）若图中的四边形是一个正方形，求该正方形的边长及面积；
（3）如图2，把（2）中的正方形放在坐标系中，点与重合，在轴上，以点为圆心，为半径画弧，交轴的负半轴于点，直接写出点的坐标______．
【答案】（1）
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3）
【解析】【解答】（1）解：，
则组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（3）解：连接，
∵，点B表示的数为2，，且点E在点B左侧，
∴点E坐标为．
【分析】（1）根据正方体的表面积求出一个小正方一个面的面积，再求出棱长即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BC，再根据正方形的面积即可求出答案.
（3）连接，根据勾股定理可得BD，再根据点的坐标即可求出答案.
（1）解：，
则组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
（3）解：连接，
∵，点B表示的数为2，，且点E在点B左侧，
∴点E坐标为．
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