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二次根式 单元综合全能测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·路桥期中）下列计算正确的是（ ）．
A．2＋＝ B．－＝ C．×＝ D．÷＝5
3．（2024·湖南模拟）设m＝，则实数m所在的范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．﹣4＜m＜﹣3 C．﹣3＜m＜﹣2 D．m＞﹣2
4．（2024·莲都模拟）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
5．（2024八下·百色期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八下·江油月考） 如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·潮南期末）如果与的和等于，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·安次月考）若x为实数，在“（） x”的“ ”中添上一种运算符号（在“+、-、×、÷”中选择）后，其运算结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八下·中江月考）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C．5 D．
10．（2024八下·澄海期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·瑞安期中）化简所得的结果是 。
12．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为 .
13．（2025·广河模拟）计算 ．
14．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
15．（2024八下·中山期中）计算的结果是 .
16．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·三台月考）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025八下·利州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则__________，__________；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
19．（2024八下·岫岩月考）高空拋物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
20．（2024八下·玉州期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值．
（2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值．
21．（2024八下·瑶海期中） 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求原长方形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
22．（2024八下·盐山期中）在算式“”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，求“○”表示的数．
（2）如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．
23．（2024八下·斗门期中） 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1；于是用来表示的小数部分．
请解答：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．
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二次根式 单元综合全能测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025八下·义乌月考）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，所以分母中含有根号，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，所以被开方数中含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.
2．（2025八下·路桥期中）下列计算正确的是（ ）．
A．2＋＝ B．－＝ C．×＝ D．÷＝5
【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并；
B、，结果错误；
C、，结果正确；
D、，结果错误；
故答案为：C.
【分析】整数与二次根式不能直接合并；二次根式的加减，首先化为最简二次根式，若最简二次根式是同类二次根式，可直接进行合并；二次根式的乘除，先对被开方数作乘除运算，根号保持不变，若结果不是最简二次根式，还需要进行化简.
3．（2024·湖南模拟）设m＝，则实数m所在的范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．﹣4＜m＜﹣3 C．﹣3＜m＜﹣2 D．m＞﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：m＝
∵
∴
故答案为：B.
【分析】先把二次根式进行化简，合并同类二次根式后得到：m=，先估算的范围，再估算m的范围.
4．（2024·莲都模拟）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：4<7<9，
∴，
，，
.
故答案为：D
【分析】估算的范围可得，于是可确定、的值，再代入计算即可．
5．（2024八下·百色期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A选项计算错误；
B、和不是同类二次根式，不能加减，故B选项计算错误；
C、，故C选项计算错误；
D、，故D选项计算正确，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质及其运算法则逐项判断即可．
6．（2024八下·江油月考） 如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，
∴它们的边长分别为：和，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：B．
【分析】分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可．
7．（2024八下·潮南期末）如果与的和等于，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵与的和等于，
∴与是同类二次根式.
.
A、a=0，，与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、a=1，，与不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C、a=2，，与是同类二次根式，，故C符合题意；
D、a=3，，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据与的和等于，可知与是同类二次根式，根据，对4个选项逐项判断，即可得到a的值.
8．（2024八下·安次月考）若x为实数，在“（） x”的“ ”中添上一种运算符号（在“+、-、×、÷”中选择）后，其运算结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.当x=+1时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-（+1）=0，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
B.当x=-1时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-（-1）=2，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
C.当x=2时，“ ”中添上“+”，
则（+1）+2=3+1，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-2=-+1，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“×”，
则（+1）×2=6+2，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“÷”，
则（+1）÷2=，其运算的结果为无理数，
∴C选项符合题意；
D.当x=1-时，“ ”中添上“+”，
则（+1）+（1-）=2，其运算的结果为有理数，
∴D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论。
9．（2025八下·中江月考）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，，
，
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质先化简二次根式，再根据一个正数的绝对值等于其本身，一个负数的绝对值等于其相反数化简绝对值，最后合并同类项即可.
10．（2024八下·澄海期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查平方差公式及二次根式的计算，根据平方差公式及二项式的计算进行求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八下·瑞安期中）化简所得的结果是 。
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式化简法则计算即可．
12．（2025八下·义乌月考）若，则a3-11a2+9a+8的值为 .
【答案】7
【解析】【解答】解：；
即代入；
=
=(26+10+25)（）++45+8
=(10+51)（）++45+8
=10×（）+51×（）++45+8
=260-60+51-306+9+53
=7
故答案为：7.
【分析】先对a 进行分母有理化，然后将化简后的a值代入式子，通过对式子进行变形和化简来求值。
13．（2025·广河模拟）计算 ．
【答案】22
【解析】【解答】解：原式，
故填：．
【分析】根据二次根式的性质和运算法则，平方差公式分别运算，最后相减即可得到结果.
14．（2024八下·潍城期中）如图，将面积分别为2、3、6的三个正方形放置在一起，则三个正方形共同重叠的阴影部分面积S为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵三个正方形的面积分别为2、3、6，
∴三个正方形边长分别为：，阴影部分长为，宽为，
S阴影部分=，
故答案为：
【分析】阴影部分的长=小正方形的边长， 阴影部分的宽=小正方形的边长-（大正方形的边长-中正方形的边长），由此先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积．
15．（2024八下·中山期中）计算的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用分母有理化，分子分母同时乘以，化简即可.
16．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八下·三台月考）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质将各个二次根式化为最简二次根式，然后去括号，进而再合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式、多形式乘以多形式法则与二次根式的乘法法则分别计算， 然后去括号，进而再计算实数的加减法运算即可.
（1）解：原式
（2）解：原式
18．（2025八下·利州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则__________，__________；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】
（1）
解：，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）根据题干中给出的方法，进行计算即可求解；
（2）根据题干给定的方法，求出的算术平方根，然后代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴．
19．（2024八下·岫岩月考）高空拋物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．
（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空抛物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【答案】（1）解：当时，，
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当时，，解得，
高空抛物动能这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【解析】【分析】（1）、直接代入h值求值即可，注意化简根式；（2）、先根据条件“4s后落在地上”，代入t计算出h，然后代入h到所给出的动能计算关系式，计算出实际动能与65J比较即可.
20．（2024八下·玉州期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值．
（2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值．
【答案】（1）解：∵和均有意义，
∴4﹣2a≥0且a﹣2≥0，
即a≤2且a≥2，
∴a＝2，
当a＝2时，
∴，
∴a＝2，；
（2）解：∵有意义，
∴m≥2024，
∴|2023﹣m|＝m﹣2023，
因此|2023﹣m|+＝m，可变为m﹣2023+＝m，
即＝2023，
∴m﹣2024＝20232，
即m﹣20232＝2024，
∴m﹣20232的值是2024.
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入所给式子求出b即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，然后根据绝对值的意义进行化简，再把式子两边平方可得答案．
21．（2024八下·瑶海期中） 有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）求原长方形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【答案】（1）解：两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原长方形木板的面积=；
（2）4
【解析】【解答】解：（2）最多能裁出4块这样的木条．理由如下：
，，
块，
块，
块．
从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出和的近似数，再根据题意求解即可．
22．（2024八下·盐山期中）在算式“”中，“○”表示被开方数，“□”表示“＋”“－”“×”“÷”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，求“○”表示的数．
（2）如果“○”表示的是（1）中所求的数，当“□”表示哪种运算符号时，算式的结果最小，直接写出这个最小数．
【答案】（1）解：设“”表示的数为x，则，
解得：，
∴“○”表示的数为，
故答案为：27；
（2）-3
【解析】【解答】解：（2）①当“□”表示“+”时，；
②当“□”表示“-”时，；
③当“□”表示“×”时，；
④当“□”表示“÷”时，；
∵-3<-1<0<，
∴当“□”表示“×”时，算式的结果最小，这个最小数是-3，
故答案为：-3.
【分析】（1）设“”表示的数为x，根据“ 运算结果为 ”列出方程求出x的值，再求解即可；
（2）先分别将“+”“-”“×”“÷”分别代入计算，再比较大小即可.
23．（2024八下·斗门期中） 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1；于是用来表示的小数部分．
请解答：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．
【答案】（1）解：，
，即，
的小数部分为，即，
，
，即，
的整数部分为5，即，
则；
（2）解：，
，即，
，
，
是整数，且，
，，
则的相反数是．
【解析】【分析】（1）根据无理数的估算分别求出a、b的值，再代入计算即可；
（2）根据无理数的估算x＋y的值，再由其中是整数，且分别求出x、y的值，再根据相反数的定义求出y-x即可.
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