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二次根式的综合题 题型分类专练
类型一、二次根式求勾股定理综合
例1（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．
(1)求滑道的长度；
(2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的长．（精确到0.1米，参考数据：）
变式1-1（22-23八年级下·广西来宾·期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
变式1-2（24-25八年级下·湖南湘西·月考）我县进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强我县老旧小区居民的幸福感与安全感．如图，是原有天然气管道，是一条与垂直的街道，A、B是位于，内部的两个老旧小区，且小区与的距离为，与的距离为，小区与的距离为，与的距离为．现计划从处选一点，铺设燃气管道．若的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号）
变式1-3（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设．
(1)用含x的代数式表示的长．
(2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值．
类型二、二次根式求距离综合
例2（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算．例如求点到直线的距离．
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为．
根据以上材料求：
(1)点到直线的距离；
(2)已知为直线上的点，且到直线的距离为．求的坐标；
(3)已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值．
变式2-1（21-22八年级下·重庆·期中）阅读下列两则材料，回答问题
材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值．
∵，∴
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC，
则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：，
∴可将的值看作点到点的距离．
(1)利用材料一，解关于x的方程：，其中；
(2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围．
变式2-2（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，P是直角坐标系上一点．
①用二次根式表示点P原点O的距离．
②如果，，直接写出点P到原点O的距离．
（2）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值．
变式2-3（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点到直线：的距离；
(2)直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离．
类型三、二次根式在面积计算中的应用
例3（25-26八年级上·重庆·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究．
古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式：
，其中；
我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：，
从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积；
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
(3)若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方．
变式3-1（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】
我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
（2）已知一个中，，，．求面积．
变式3-2（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题,
，(是的面积；
，(是的面积；
，(是的面积；
(1)______，______，______；用含n的代数式表示
(2)求的值．
类型四、二次根式的实际应用
例4（25-26八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
变式4-1（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科
高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任．
据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）．
(1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）；
(2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由．
变式4-2（25-26八年级下·全国·课后作业）站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们近似地符合公式．登山者从海拔处登上海拔为的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？
变式4-3（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为．
(1)求该座钟摆针的摆动周期．
(2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？
类型五、二次根式与方程综合
例5（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若，则的“对偶式”为_____，__________；
(2)解方程：．
变式5-1（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读理解
我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如在解方程时，可采用如下方法：
由于，
又因为①，所以②，
由①＋②可得，将两边平方解得，
代入原方程检验可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若，则m的对偶式n为______，______；
(2)方程的解是______；
(3)解方程：．
变式5-2（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：
又有，
可得，
将这两式相加可得，
将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
(1)解方程；
(2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）．
类型六、二次根式与函数综合
例6（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标；
(3)已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标．
变式6-1（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则有，
得，
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题：
(1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ．
(2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值．
变式6-2（23-24八年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
【猜想结论】
如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为，
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，______．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？
类型七、二次根式与定义新运算综合
例7（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式7-1（23-24八年级下·河北廊坊·月考）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
变式7-2（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
类型八、新定义的二次根式
例8（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出的对偶式_____；
(2)已知，，求的值；
变式8-1（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ．
(2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值．
变式8-2（24-25九年级上·山西长治·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式．
(1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值．
(2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值．
变式8-3（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则，．
等号左边，等号右边；
∵，，
∴，
∴等号右边，
∴等号左边等号右边，
∴等式成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程的解为________．
2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点．
(1)求点M坐标和直线的函数表达式；
(2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点E，交于点F．
①当时，的面积为________．
②当时，t的值为___________．
③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时t的值为_________．
(3)如图3，点Q为x轴上一动点，最小值为________．
3．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式．
(1)若与是关于的和谐二次根式，求；
(2)若与是关于的和谐二次根式，求的值．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽．
(1)请你写出一对共轭实数：________和__________；
(2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积；
(3)已知，求代数式的值．
5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
6．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________；
(2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值．
7．（25-26八年级上·广东河源·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
(1)直接写出，的值；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，若点为上一动点，于点，交延长线于点，连接．
①求的度数；
②若，，的长为_____．
8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．
(1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
9．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
10．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：
∴
∴，
当且仅当时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．
例：若，则变形为，
∴该方程的解为，
化简后得：．
请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．
(2)若，求出的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．中小学教育资源及组卷应用平台
二次根式的综合题 题型分类专练
类型一、二次根式与勾股定理综合
例1（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为4米，为1米．
(1)求滑道的长度；
(2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的长．（精确到0.1米，参考数据：）
【答案】(1)米
(2)5.2米
【分析】（1）由题意设滑道的长度为x米，则米，米，然后在中，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）先根据勾股定理求出的长，然后结合（1）的结果利用线段的和差求解即可．
【详解】（1）由题意可得：是直角三角形，，
∵，
∴，
设滑道的长度为x米，则米，
米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
答：滑道的长度为米；
（2）由，可设米，则米，
∴ （米），
∴，
解得：，
∴（米），
由（1）可知， （米），
∴ （米）．
答：的长约为5.2米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、利用勾股定理列出方程是解题的关键．
变式1-1（22-23八年级下·广西来宾·期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；
(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助B船先到达
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间路程速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于C，
则，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，
∴海里，
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为海里．
（2）解：∵海里，海里，救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为（小时），救助船B所用的时间为（小时），
∵，
∴救助B船先到达．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的意义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
变式1-2（24-25八年级下·湖南湘西·月考）我县进行“老旧小区天然气改造”项目，让老旧小区的居民不再需要搬煤气罐上楼，增强我县老旧小区居民的幸福感与安全感．如图，是原有天然气管道，是一条与垂直的街道，A、B是位于，内部的两个老旧小区，且小区与的距离为，与的距离为，小区与的距离为，与的距离为．现计划从处选一点，铺设燃气管道．若的天然气管道铺设的价格为5万元，请计算所铺设的燃气管道的最低价格．（结果保留根号）
【答案】所铺设的燃气管道的最低价格为万元
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称—最短路径问题，因为距离一定，所以只需要求出的最短距离即可，作A关于的对称点，连接交于，连接，过作交延长线于，交于，过作于，求得最小值即可．
【详解】解：作A关于的对称点，连接交于，连接，过作交延长线于，交于，过作于，如图，
由题意得，，，，，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
∴可得最小为，
所铺设的燃气管道的最低价格为万元．
变式1-3（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设．
(1)用含x的代数式表示的长．
(2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)点A、C、E在一条直线上；
(3)25
【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法．
（1）利用勾股定理分别求出，，即可求解；
（2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解；
（3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可．
【详解】（1）解：已知，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
（2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是；
理由如下：如图，延长至F，使，连接
由，
则，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是．
（3）解：
如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设．
∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，
延长至G，使，连接，
同理可证四边形是矩形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25，
∴代数式的最小值是25．
类型二、二次根式求距离综合
例2（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算．例如求点到直线的距离．
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为．
根据以上材料求：
(1)点到直线的距离；
(2)已知为直线上的点，且到直线的距离为．求的坐标；
(3)已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）将的坐标代入点到直线的距离公式即可直接求出答案；
（2）利用距离公式建立方程即可求解；
（3）利用点到直线的距离公式和待定系数法即可求出答案．
【详解】（1）解：∵直线化为：，其中
点到直线的距离为，
（2）设 ，直线化为：，其中，故M到直线的距离为：
，
∴，
∴或 ，
∴ 或，
（3）设上到直线距离为的点为()或()，
直线化为，其中，
把()代入，
，，
故，
∵直线与的交点横坐标为，则舍去，
∴，
同理，将()代入距离公式，得，
，，
解：或，
∵直线与的交点横坐标为，则 (舍去)，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题是一道关于一次函数的阅读理解题，两直线交点问题，二次根式的计算，理解点到直线的距离公式是解题的关键．
变式2-1（21-22八年级下·重庆·期中）阅读下列两则材料，回答问题
材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值．
∵，∴
材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC，
则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：，
∴可将的值看作点到点的距离．
(1)利用材料一，解关于x的方程：，其中；
(2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围．
【答案】(1)
(2)最小值为5，
【分析】（1）由阅读部分的提示可得到再把得到的方程与原方程相加即可得到答案；
（2）把原式化为 可得的含义表示点与点之间的距离与点与之和，再利用数形结合的方法可得答案．
【详解】（1）解： ，
即
两个方程相加可得：
解得： 经检验符合题意．
（2）
∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示：
即 ，
所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小，
最小值为：
设直线EF为
解得：
EF为：
【点睛】本题属于阅读题，考查学生的自主学习的能力，同时考查了二次根式的性质，方程组是解法，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，完全平方式的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，综合性较强，对学生的学习能力要求较高．
变式2-2（21-22九年级上·河南南阳·期末）（1）如图，P是直角坐标系上一点．
①用二次根式表示点P原点O的距离．
②如果，，直接写出点P到原点O的距离．
（2）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值．
【答案】（1）①；②3；（2）1
【分析】（1）①根据勾股定理求出答案；②将，代入（1）计算即可；
（2）根据根的判别式的意义得到Δ=（-2）2-4（2m-1）≥0，解不等式，从而得到正整数m的值．
【详解】解：（1）①∵P（x，y）
∴P到原点O的距离；
②将，代入，
∴点P到原点O的距离为：；
（2）∵关于x的方程有实数根，
∴Δ=（-2）2-4（2m-1）≥0，
解得m≤1，
所以正整数m的值为1，
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式的应用．
变式2-3（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知点和直线，则点P到直线的距离可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)求点到直线：的距离；
(2)直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，求、这两条平行直线之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点到直线的距离公式直接计算即可；
（2）先根据平移求出直线的解析式，在直线上任意取一点，然后计算这个点到直线的距离即可．
【详解】（1）解：∵直线，其中，．
∴点到直线的距离为：．
（2）解：∵直线：沿y轴向上平移2个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
当时，，即点在直线上，
∵直线：，其中，，
∴点到直线的距离为：．
∴、这两条平行直线之间的距离为．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移，平行线之间的距离等，解题的关键是能够理解题目中距离的计算公式求得点到直线的距离．
类型三、二次根式在面积计算中的应用
例3（25-26八年级上·重庆·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究．
古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式：
，其中；
我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：，
从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积；
(2)若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积；
(3)若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方．
【答案】(1)此三角形的面积为；
(2)此三角形的面积为；
(3)此三角形的面积的平方为．
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
（1）根据海伦公式求这个三角的面积；
（2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可；
（3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：一个三角形的三边长分别为2，3，4，
，
，
此三角形的面积为；
（2）解：由题意，令，，，
；
此三角形的面积为；
（3）解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，，
由秦九韶公式得：，
，
，
，
将代入中：，
或不合题意，舍去，
，
，，
，
此三角形的面积的平方为．
变式3-1（2025八年级下·山东·专题练习）【阅读】
我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
【尝试公式应用】
（1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积．
【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
（2）已知一个中，，，．求面积．
【答案】（1）；（2）9
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先根据求出p，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解；
（2）作于D，则，设，则，由勾股定理得出，求出x的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：（1）由题意得：，
∴
；
；
（2）如图：作于D，则，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
∴，
解得：，
∴，
∴．
变式3-2（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，细心观察，认真分析各式，然后解答问题,
，(是的面积；
，(是的面积；
，(是的面积；
(1)______，______，______；用含n的代数式表示
(2)求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及勾股定理，能根据题意得出及熟知勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理可求出的值，再根据，，，…，的变化规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可知，
；
因为，，，，…，
所以
故答案为：5，1，；
（2）解：由（1）知，
原式
．
类型四、二次根式的实际应用
例4（25-26八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式．
（1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解；
（2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可；
（3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
变式4-1（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科
高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任．
据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）．
(1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）；
(2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由．
【答案】(1)下落的时间为秒；
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键．
（1）把h的值代入计算求解；
（2）先求出h的值，再计算判断．
【详解】（1）解：当米时： ，
答：下落的时间为秒；
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当秒时，，
解得：米，
，
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
变式4-2（25-26八年级下·全国·课后作业）站在海拔为的地方看到的水平距离为，它们近似地符合公式．登山者从海拔处登上海拔为的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？
【答案】
【分析】先分别写出在海拔和处看到的水平距离表达式，再通过作商的方式求出两者的倍数关系，最后对结果进行二次根式化简．
【详解】解：登山者看到的原水平距离为，现在看到的水平距离为．
，
他看到的水平距离是原来的倍．
【点睛】本题考查了二次根式的应用与化简，解题关键是通过作商来求倍数关系，并利用二次根式的运算性质进行化简，避免了复杂的变量代换．
变式4-3（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为．
(1)求该座钟摆针的摆动周期．
(2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？
【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为
(2)在内，该座钟发出70次滴答声
【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可；
（2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：将，，代入，得
答：该座钟摆针的摆动周期为．
（2）解：，（次）．
答：在内，该座钟发出70次滴答声．
类型五、二次根式与方程综合
例5（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若，则的“对偶式”为_____，__________；
(2)解方程：．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查平方差公式在二次根式乘法中的应用以及解含根号的方程．
（1）根据题目中对偶式的定义直接写出，再利用平方差公式计算的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，利用平方差公式求出两个式子的乘积，结合原方程的值得到对偶式的式子的值，再通过加减消元消去一个根号，转化为只含有一个根号的方程求解，最后检验解的合理性．
【详解】（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
变式5-1（25-26八年级上·山东济南·期中）阅读理解
我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如在解方程时，可采用如下方法：
由于，
又因为①，所以②，
由①＋②可得，将两边平方解得，
代入原方程检验可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
(1)若，则m的对偶式n为______，______；
(2)方程的解是______；
(3)解方程：．
【答案】(1)，2
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
（1）根据对偶式定义即可求解，再利用平方差公式计算；
（2）根据题干的方法求解即可；
（3）根据题干的方法求解即可．
【详解】（1）解：若，则m的对偶式，
则，
故答案为：，2；
（2）解：，
，
∴，
由得，
则，
，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
（3）解：
∵
，
∴②
①＋②得，则，
∴，
经检验，是原方程的解．
变式5-2（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法：
又有，
可得，
将这两式相加可得，
将两边平方可解得，经检验是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
(1)解方程；
(2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次根式在解方程中的应用等知识点，
（1）利用已知化简思路化简，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解；
（2）由（1）中方法得，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解；
解答此题的关键是能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【详解】（1）
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验是原方程的解；
（2）
，
∵，
∴，
∴
∴或
经检验或是原方程的解，
故答案为：或．
类型六、二次根式与函数综合
例6（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
(1)求直线的函数解析式；
(2)设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标；
(3)已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)直线的函数解析式为
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为
【分析】（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）设，则、，过点作于点，利用，进行求解即可；
（3）方法一：作于点，利用等积法求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
方法二：作于点，利用等积法求得，过点作，延长交轴于，连接，如图所示，在中，由勾股定理求出，再利用等积法求得，在等腰中，设，则，即，建立方程解得，在中，由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：对于，
由得，则，
由得，解得，则，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设，
则、，
过点作于点，如图所示：
∴，，
∴，
解得，
∴点的坐标为或；
（3）解法一：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为．
解法二：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
过点作，延长交轴于，连接，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，则，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
，解得，
在等腰中，设，则由勾股定理可知，
即，
，
解得，
在中，
．
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
变式6-1（24-25九年级下·四川内江·期中）阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立．
例：已知，求函数的最小值．
解：令，，则有，
得，
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题：
(1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ．
(2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值．
【答案】(1)，
(2)当时，函数取到最大值，最大值为
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示得到，设，由此即可求解；
（2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解；
（3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解．
【详解】（1）解：函数，
令，
∴，
∴当且仅当，即时，取得最小值，
设，
当且仅当，即时，的最小值是4，
故答案为：，．
（2）解：∵，
又∵，
当且仅当时，有最小值，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴此时有最大值，最大值为：；
∴当时，函数取到最大值，最大值为．
（3）解：设，则，
∵，
∴，
∴；
当且仅当时，；
此时，，
故．
变式6-2（23-24八年级下·山东聊城·期末）【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
【猜想结论】
如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．
【证明结论】（补全横线上的说理过程）
因为，
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，______．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？
【答案】【证明结论】；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米
【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键．
证明结论：根据题目中思路解答即可；
应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值；
（2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值；
（3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度．
【详解】解：证明结论：
因为，
所以，所以．
所以①当且仅当，即时，
，所以；
②当，即时，所以．
综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．
故答案为：；
应用结论：
（1）根据结论可知，
所以函数的最小值为2，
此时，
解得：或（舍去），
所以，当时，函数的值最小，最小值是2．
（2）根据结论可知，
所以函数的最小值为7，
此时，，解得，或4（舍去），
所以当时，函数的值最小，最小值是7．
（3）由题意得：篱笆的总长度为米．
因为，
所以蓠笆总长度最短为米，
此时，，
所以，
答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米．
类型七、二次根式与定义新运算综合
例7（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
故选：B．
变式7-1（23-24八年级下·河北廊坊·月考）对于任意的正数x、y定义运算为：，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算，，再计算即可
【详解】解：∵
∴
故选：B
变式7-2（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可；
【详解】解：∵，
∴
故选：A
类型八、新定义的二次根式
例8（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1)请直接写出的对偶式_____；
(2)已知，，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．
（1）根据对偶式的定义即可得；
（2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得．
【详解】（1）解：的对偶式为，
故答案为：．
（2）解：∵，
，
∴，
，
，
∴
．
变式8-1（24-25八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ．
(2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算．
（1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式，
∴．
∴．
（2）解：∵与是关于4的共轭二次根式，
∴．
∴．
∴．
变式8-2（24-25九年级上·山西长治·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的和谐二次根式．
(1)若与是关于6的和谐二次根式，求的值．
(2)若为有理数，且与是关于的和谐二次根式，求和的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】此题考查了二次根式的计算，解一元一次方程：
（1）根据定义列得,即可求出的值．
（2）根据定义得,由为有理数得到，，即可解方程求出和的值．
【详解】（1）解：由题意可得，
．
（2）由题意可得，
整理得．
是有理数，
，，
，．
变式8-3（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式求解即可；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式成立的方法．
证明过程如下：
设，，则，．
等号左边，等号右边；
∵，，
∴，
∴等号右边，
∴等号左边等号右边，
∴等式成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程的解为________．
【答案】(1)9；1；．
(2)
【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答；
（2）解法一：依据题意，由，从而，
则，故，然后整理后求解即可．
解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：设，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
联立，解得：
∴．
∴．
故答案为：9；1．
（2）解法一：∵，
∴，
∴，
∴．
∴，解得：．
经检验：是原方程的解．
解法二：设，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：．
经检验：是原方程的解．
故答案为：．
2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，直线与直线相交于点．
(1)求点M坐标和直线的函数表达式；
(2)如图2，点为x轴上动点，过点G作轴，交于点E，交于点F．
①当时，的面积为________．
②当时，t的值为___________．
③当点E在点F上方时，y轴上存在动点N，使是等腰直角三角形，此时t的值为_________．
(3)如图3，点Q为x轴上一动点，最小值为________．
【答案】(1)；直线的函数表达式为
(2)①；②或；③或；
(3)．
【分析】（1）先利用直线解析式求出点M的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；
（2）①先求出点A、C、E的坐标，再根据列式计算即可；②求出E、F的坐标，进而表示出，再根据建立方程求解即可；③分当时， 当时， 当时，三种情况讨论求解即可；
（3）作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接，证明，得到，，求出，得到，进而求出；利用勾股定理求出；再证明，得到，则当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：①如图所示，连接，
∵轴，
∴轴，
在中，当时，，
∴；
在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
；
②在中，当时，，
在中，当时，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或，
故答案为：或；
③当时，则，
∴轴，
∴，
由（2）②可得，
∴，
解得；
当时，则，
∴轴，
∴，
由（2）②可得，
∴，
解得；
当时，如图所示，过点N作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
故答案为：或；
（3）解：如图所示，作交y轴负半轴于P，过点Q作交直线于T，连接，
∵，
∴，
∴，，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴当M、Q、T三点共线，即当时， 有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．（23-24八年级下·河南·月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式．
(1)若与是关于的和谐二次根式，求；
(2)若与是关于的和谐二次根式，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解
本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∴；
（2）解：由题意可得，，
整理得，，
∴．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）定义：形如和的两个实数，叫做共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽．
(1)请你写出一对共轭实数：________和__________；
(2)共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算（）中你写出的一对共轭实数的和与积；
(3)已知，求代数式的值．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)，
(3)
【分析】本题考查了实数的新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键．
（）根据共轭实数的定义解答即可；
（）根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可；
（）求出和的值，再代入代数式计算即可；
【详解】（1）解：写出的一对共轭实数可以是和，
故答案为：，；
（2）解：，
；
（3）解：∵，
∴，
，
∴原式
．
5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：．
(1)______，______；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)1，3
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式．
（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：1，3；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴．
6．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．
(1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________；
(2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键．
（1）根据题意即可解答；
（2）根据题意列出式子，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，
解得，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
所以
解得
即m的值为．
7．（25-26八年级上·广东河源·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，满足．
(1)直接写出，的值；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)如图2，若点为上一动点，于点，交延长线于点，连接．
①求的度数；
②若，，的长为_____．
【答案】(1)
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
(3)①；②
【分析】（1）根据算术平方根的非负性解答即可；
（2）求出的长，再根据勾股定理逆定理解答即可；
（3）①过点A作交于点F，证明，可得，从而得到为等腰直角三角形，即可求解；②根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，再由，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由（1）得：，，，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解∶ ①如图，过点A作交于点F，
由（2）得：
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
②∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，学校准备制作一块长方形宣传栏，用于展示校园文化．已知宣传栏的长为，宽为．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为、宽为的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．
(1)计算长方形宣传栏的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减和乘法的实际应用，解题关键是正确列出算式．
（1）利用长方形的周长＝2（长+宽）即可求解；
（2）将大长方形面积减去阴影面积即可求解．
【详解】（1）解：（）．
答：长方形宣传栏的周长为．
（2）（）．
答：用于张贴学生作品的面积为．
9．（25-26八年级上·山东济南·期末）某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米．
(1)你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？
(2)如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？
【答案】(1)花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
(2)花坛的绿化面积变成平方米．
【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简．
（1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解；
（2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知喷水池的边长为米，
花坛的边长为米．
所以周长一共是：（米）
答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米；
（2）解：新喷水池的边长为米，
新喷水池的面积为（平方米），
花坛的绿化面积变成（平方米），
答：花坛的绿化面积变成平方米．
10．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得：
∴
∴，
当且仅当时，等号成立．
因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值．
例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2．
阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为．
例：若，则变形为，
∴该方程的解为，
化简后得：．
请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题：
(1)若，当_______时，式子的最大值为_______．
(2)若，求出的最小值及对应的x的值．
(3)已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值．
【答案】(1)3，
(2)，
(3)，，
【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值．
（1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值；
（2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值；
（3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，
∵，
∴，
故答案为：3，．
（2）解：，
当且仅当，即，解得，
∵，
∴时，的最小值为．
（3）解：
,
当时，．
当且仅当，，且，
∴，．
