含参一元二次方程综合题 专项练习
类型一、根据一元二次方程的定义求参数
例1（22-23九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
变式1-1（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A．1 B．－1 C． D．不存在
变式1-2（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________．
类型二、已知一元二次方程的根求参数
例2（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（ ）
A． B． C． D．
变式2-1（22-23九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______．
变式2-2（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________．
变式2-3（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________．
变式2-4（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
类型三、根的判别式计算
例3（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一实数根为3，求的值；
(2)求证：无论取何值，方程总有实数根．
变式3-1（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求k的值；
(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
变式3-2（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为，求的值．
变式3-3（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为2，求k的值及方程的另一根．
类型四、根据一元二次方程根的情况求参数
例4（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式4-1（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______．
变式4-2（24-25九年级上·吉林长春·月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
变式4-3（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程
(1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值；
(2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值；
(3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
类型五、配方法的应用
例5（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
变式5-1（25-26九年级上·北京·月考）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
变式5-2（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程．
类型六、方程整数根/有理数根求参数
例6（24-25八年级下·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为______．
变式6-1（25-26九年级上·北京西城·月考）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个异号的整数根，求整数m的值．
变式6-2（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数．
(1)求出的最大值；
(2)若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根．
类型七、方程变形与恒等变形
例7（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2025 B． C．2026 D．
变式7-1（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知a为方程的根，则的值为______．
类型八、含参方程的解法选择
例8（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，请用适当方法解此方程；
(2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______；
变式8-1（25-26九年级上·天津河西·月考）已知，关于x的方程
(1)当m取何值时方程有一个实数根？
(2)当m取何值时方程有两个实数根？
(3)请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．
1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________．
2．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）已知关于x的方程有且仅有一个实数解，则_______．
3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）方程，m为何值时，方程是一元二次方程．
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，求的值．
5．（22-23九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．
，，的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式的最小值是______；
(2)求代数式的最小值；
(3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______．
8．（河北衡水市2026年初中学业水平模拟数学（摸底一））已知整式，，．
(1)求整式M；
(2)对任意实数x，整式M的值能否为负数吗？说明理由．
9．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值．
10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程．
(1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为1，求的值．含参一元二次方程综合题 专项练习
类型一、根据一元二次方程的定义求参数
例1（22-23九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零．
根据一元二次方程的定义，x的最高次数为2且二次项系数不为0，因此需满足且．
【详解】∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，即，解得或.
又∵二次项系数，
∴，
∴．
故选：D．
变式1-1（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A．1 B．－1 C． D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴ 且，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
变式1-2（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键．
将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可．
【详解】解：原方程化为：，
移项得：，
由不含的一次项，得一次项系数，
解得 ，
故答案为：．
类型二、已知一元二次方程的根求参数
例2（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根.
【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为，
∴ 将代入方程得：
，
整理得：，
将上式两边同时除以，得：
，
变形为：，
对比方程，可知当时，方程成立，
∴ 方程必有实数根为．
故答案选：B．
变式2-1（22-23九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的定义得到，再利用方程的解的定义，将代入已知方程，列出关于的方程，求解后结合二次项系数不为0的条件确定的值；
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0，
∴将代入方程得：
，
即，
因式分解得，
解得或，
又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得，
∴的值为2．
变式2-2（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
变式2-3（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：3．
变式2-4（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】5
【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解．
先化简代数式，再利用方程条件求值即可．
【详解】解：原式
，
∵m是方程的根，
∴，
即，
∴原式的值为5．
类型三、根的判别式计算
例3（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一实数根为3，求的值；
(2)求证：无论取何值，方程总有实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式．
（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解： 方程有一实数根为3，
，
解得；
（2）证明：根据题意可得：，，，
，
无论取何值，方程总有实数根．
变式3-1（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求k的值；
(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案；
（2）只需要证明即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2，
∴，
解得；
（2）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
变式3-2（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)证明：不论为何值时，方程总有实数根；
(2)若该方程有一个根为，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键．
()根据根的判别式即可求出答案；
()把代入方程中即可求出答案．
【小问1】
证明：
，
，
不论为何值时，方程总有实数根；
【小问2】
解：该方程有一个根为，
，
解得：；
的值为．
变式3-3（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为2，求k的值及方程的另一根．
【答案】(1)见解析
(2)的值为1，方程的另一根为0
【分析】本题考查了根的判别式以及方程的解，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时是解题的关键．
（1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证；
（2）把一根为2代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根．
【详解】（1）证明：∵
∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，，
解得：，
把代入原方程：，
解得，，
故的值为1，方程的另一根为0．
类型四、根据一元二次方程根的情况求参数
例4（25-26九年级下·辽宁本溪·开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根的条件为．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，解得且，
∴实数a的最小整数值为2．
【点睛】注意考虑二次项系数．
变式4-1（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______．
【答案】且
【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
该方程有两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根的判别式，
即：，
计算得，
解得：，
实数的取值范围是且．
变式4-2（24-25九年级上·吉林长春·月考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
【答案】且．
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，得到，解之，根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到一个关于m的不等式，解之，取两个解集的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
解得：，
综上可知：且，
故答案为：且．
变式4-3（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知关于的一元二次方程
(1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值；
(2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值；
(3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【答案】(1)
(2)，，
(3)当时，
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判别根的情况是关键．
（1）根据题意列式得到，代入求值即可；
（2）根据方程有实数根得到，再根据为正整数和一元二次方程的定义即可求出答案；
（3）利用因式分解法解得到的方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：
整理得：
∴
∴
（2）∵方程有实数根
∴
整理得：
解得：
∵取正整数值
∴，，，
又∵
∴
∴满足条件的的正整数值为：，，
（3）当时，
原方程可化为：
∴，即
解得：
类型五、配方法的应用
例5（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
即，
与对比，得，
∴，
故选：A．
变式5-1（25-26九年级上·北京·月考）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】D
【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值．
【详解】解：∵ ,
∴,
∴,
∴，
∴，
∴．
故选：D．
变式5-2（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴关于的方程总为一元二次方程．
类型六、方程整数根/有理数根求参数
例6（24-25八年级下·福建福州·期末）若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为______．
【答案】0，1，9，10
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握根的判别式以及有理数和整数的定义．
根据一元二次方程根的判别式求出Δ，再根据方程的根为有理数，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程的根为有理数，
∴是完全平方数，
设，
变形为，
∴，
∴，
解得；
，
解得k＝0，
，
解得k＝9；
，
解得，
综上，整数k的值为0，1，9，10．
故答案为：0，1，9，10．
变式6-1（25-26九年级上·北京西城·月考）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个异号的整数根，求整数m的值．
【答案】(1)见详解
(2)或
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据求解判别式，即可作答．
（2）运用因式分解得，再结合该方程有两个异号的整数根，进行分析列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，
则，
∴
∵
，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵该方程有两个异号的整数根，
∴，且为整数，
即或，
∴或，
解得或．
变式6-2（25-26九年级上·河北唐山·月考）已知关于的一元二次方程有实数根，其中为正整数．
(1)求出的最大值；
(2)若原一元二次方程的两个根均为有理数，请求出符合要求的的值，并求出此时方程的根．
【答案】(1)
(2)的值为或；时，，；时，，
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解；
（）根据（）中的取值范围求出的值，进而逐个代入方程，求出方程的解，再根据解的情况确定出符合要求的值即可；
本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵原一元二次方程有实数根，
，
解得，
为正整数，
的最大值为；
（2）解：由（）知，
∵为正整数，
的值为或或或，
当时，方程为，
解得，，是无理数，不合题意；
当时，方程为，
解得，，是有理数，符合题意；
当时，方程为，
解得，，是无理数，不合题意；
当时，方程为，
解得，，是有理数，符合题意；
综上，的值为或，时，，；时，，．
类型七、方程变形与恒等变形
例7（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2025 B． C．2026 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题．
【详解】解：∵ a是方程的根，
∴，即，
∴，
∴．
故选：A．
变式7-1（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知a为方程的根，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，利用一元二次方程根的定义得到，即，然后求出的表达式，代入所求得答案．
【详解】解：∵a 是方程的根，
∴，即．
∴．
∴．
故答案为：2022．
类型八、含参方程的解法选择
例8（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，请用适当方法解此方程；
(2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______；
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求参数，解题的关键是掌握配方法和根的判别式．
（1）利用配方法进行求解即可；
（2）根据根的判别式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得：
，
，
，
，
，；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
，
解得，，
故答案为：3．
变式8-1（25-26九年级上·天津河西·月考）已知，关于x的方程
(1)当m取何值时方程有一个实数根？
(2)当m取何值时方程有两个实数根？
(3)请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解．
【答案】(1)
(2)且
(3)取，方程的解为
【分析】本题考查了一元一次方程、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）先判断出这个方程是一元一次方程，则，即，再代入方程，解一元一次方程进行验证，由此即可得；
（2）根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可得；
（3）取，利用因式分解法解方程即可得．
【详解】（1）解：要使方程有一个实数根，
则这个方程是一元一次方程，
即，解得，
此时方程可化为，解得，只有一个实数根，符合题意；
所以当时，方程有一个实数根．
（2）解：要使方程有两个实数根，
则这个方程是一元二次方程，且方程根的判别式，
即，
解得，
综上，当且时，方程有两个实数根．
（3）解：在（2）的条件下，取，则方程可化为，
因式分解得：，
解得．
1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解．
【详解】解：原方程化为一般形式：，
即，
由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数．
解，得．
由，得，
故．
故答案为：．
2．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）已知关于x的方程有且仅有一个实数解，则_______．
【答案】或或
【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合一元一次方程根的特征与一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当，即时，原方程为，解得，原方程只有一个实数根，符合题意；
当，即时，原方程为一元二次方程，
则，
解得或；
综上，的值为或或．
3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）方程，m为何值时，方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：
，解得：．
所以当时，该方程是一元二次方程．
4．（24-25八年级下·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：依题意，得，
由，得，解得，
又因为，即，
所以的值为，
∴当时，方程是一元二次方程．
5．（22-23九年级上·山东青岛·月考）若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程，二次项的系数不等于零，和方程有实数根，判别式大于等于零，进行计算即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
即关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得：，
∴当且时，一元二次方程有实数根．
6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下：
解：．
，
，
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；大；8
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性．
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值；
（2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系．
【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8；
故答案为：1，大，8．
（2）解：，
理由如下：
，
．
7．（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．
，，的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)代数式的最小值是______；
(2)求代数式的最小值；
(3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______．
【答案】(1)4；
(2)11；
(3)13．
【分析】本题考查完全平方公式，三角形周长问题，平方的非负性等．
（1）将配方得，继而求出代数式的最小值；
（2）将配方得，继而得到本题答案；
（3）将整理成完全平方形式得，利用平方非负性得，继而求出本题答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
，
，
∴代数式的最小值是4，
故答案为：4；
（2）解：∵，
∴，
，，
，
∴的最小值11；
（3）解：∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长：，
故答案为：13．
8．（河北衡水市2026年初中学业水平模拟数学（摸底一））已知整式，，．
(1)求整式M；
(2)对任意实数x，整式M的值能否为负数吗？说明理由．
【答案】(1)
(2)整式的值不能为负数，理由见解析
【分析】（1）把，代入，再化简即可；
（2）把整式M变形为，即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：整式的值不能为负数，理由如下：
9．（25-26九年级下·北京·开学考试）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】11
【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
，
，
，
，
．
10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程．
(1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为1，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)2025
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】（1）解：
；
因为，
所以，
所以无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当时代入得，，
即，
．
