(共44张PPT)
课题名称：离差平方和与方差
第三章
初中数学
学习目标
通过方差大小判断数据稳定性
02
理解离差平方和与方差的定义，掌握其计算公式，能准确计算数据的离差平方和与方差
01
03
感受统计知识在运动员选拔、作物长势分析等生活场景中的应用，培养用数据理性决策的意识
情境导入
填空回顾：
1.一组数据的平均数计算公式为：
2.折线统计图的核心作用是：
直观反映数据的变化趋势（波动情况）。
3.若两组数据平均数相同，可通过观察数据的波动大小判断稳定性。
。
情境导入
甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下：
表3-6
次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7 8 8 8 9
乙命中环数 10 6 10 6 8
探究新知
探究一：
（1）计算甲、乙两名运动员的平均成绩。
甲的平均成绩：甲（环）
乙的平均成绩：乙（环）
（2）根据这两名运动员的成绩在图3-1中画出折线统计图。
探究新知
探究一：
甲、乙两名运动员射击成绩的折线统计图
图3-1
探究新知
探究一：
（3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流）
甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但甲各次射击的成绩都均数8环，而乙各次射击的成绩偏离平均数较大。在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
探究新知
探究一：
离差平方和：
样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和（deviation sum of squares），记为 。对于一组数据 ，这组数据的平均数为 ，则
。
探究新知
探究一：
甲、乙两名运动员射击测试成绩的高差平方和如下：
你发现了什么？
探究新知
探究一：
容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的平均数来衡量数据的稳定性。
探究新知
探究一：
方差：
一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差（variance）记为 。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
探究新知
探究二：
例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出10株苗测得苗高如下（单位：cm）：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11,16,17,14,13,19,6，8,10,16。
哪块地小麦长得比较整齐？
探究新知
探究二：
解：
探究新知
探究二：
因为 ，所以甲地小麦长得比较整齐。
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。上例中，两个标准差分别是：
探究新知
探究二：
【注意】
计算方差的前提是平均数准确，否则后续计算全错；
重复数据可通过“次数×单个离差平方”简化计算；
方差的单位是原数据单位的平方，标准差与原数据单位一致。
探究新知
探究三：
拓展1：数据平移对方差的影响（探究活动）
问题：数据，每个数减得新数据，两组数据的方差是否相同？
计算验证：
原数据方差：
新数据方差：
结论：一组数据中每个数都加（或减）同一个常数，方差不变（仅整体平移，波动幅度不变）。
探究新知
探究三：
辨析1：离差平方和与方差的区别
离差平方和是“波动总和”，与样本容量正相关；
方差是“平均波动幅度”，消除了样本容量的影响，更适合跨样本比较稳定性。
辨析2：平均数相同，方差不同的稳定性判断
甲射击成绩方差甲，乙射击成绩方差乙，平均成绩均为环，谁更稳定？
结论：甲的方差更小，成绩更稳定。
探究新知
探究三：
想一想
如果直接计算甲、乙射击测试成绩离差的和，结果如何？
甲离差依次为：，，，，
离差的和：
乙的离差： ，，，，
离差的和：
探究新知
探究三：
想一想
核心结论
甲、乙射击测试成绩的离差和均为0，且任意一组数据中，所有数据与平均数的离差之和恒为0。
探究新知
探究三：
平均数是一组数据的“数值重心”，数据中比平均数大的部分产生正离差，比平均数小的部分产生负离差，正、负离差的数值会精准相互抵消，最终离差的和必然为0。
探究新知
探究三：
已知数据99, 97, 96, 98, 95, 把这组数据的每个数都减去97, 得到一组新数据。将这两组数据画成折线图, 并且一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数。观察你画的两个图形, 你发现了哪些有趣的结论
探究活动
探究新知
探究三：
探究活动
探究新知
探究三：
探究活动
数据计算基础
原数据：
平均数：原
方差：原
探究新知
探究三：
探究活动
数据计算基础
新数据（每个数减97）：
平均数：新
方差：新
探究新知
探究三：
探究活动
探究新知
探究三：
探究活动
整体平移性：两组数据的折线图形状完全相同，仅纵轴基准线（平均数对应的水平线）从平移到了，说明数据整体加减一个常数，仅改变数据的整体位置，不改变波动的形态。
稳定性不变：两组数据的方差均为，说明数据整体平移不影响方差（波动程度），方差只反映数据相对于平均数的波动幅度，与数据的整体位置无关。
探究新知
探究三：
探究活动
平均数的变化规律：若原数据每个数减去常数c，则新数据的平均数为原平均数减去c（本题中c=97，新平均数=97-97=0）。
课堂练习
1.数据5,8,5,4,6,7,8,9,3,6
的离差平方和是__________，方差是______________.
32.9
3.29
2.如图是小慧根据上海市某天土午和下午各四个整点时的气温绘制成的折线统计图。根据该统计图回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？请说明理由。
课堂练习
结论：上午的气温更稳定
计算方差：方差越小，数据波动越小，气温越稳定。
上午气温的方差：
下午气温的方差：
比较稳定性：因为 上下，所以上午的气温波动更小，更稳定。
课堂小结
掌握离差平方和的定义及计算公式：；
理解方差的概念、计算公式：，知道方差越小数据波动越小、越稳定；
了解标准差的含义（方差的算术平方根，与原数据单位一致）；
掌握数据变换规律：数据的方差为（平移不影响方差，缩放影响方差）；
能运用离差平方和、方差解决数据稳定性判断的实际问题。
知识梳理
课后提升
基础达标：
某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ）
Ａ．离差平方和是 １６ Ｂ．方差是 １６０
Ｃ．标准差是 ４ 分 Ｄ．众数是 ５
C
课后提升
2. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 １，２，３，４，５，６ 这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有 １ 的是（ ）
Ａ．小庆选出的四个数字的方差等于 ４.２５
Ｂ．小铁选出的四个数字的方差等于 ２.５
Ｃ．小娜选出的四个数字的平均数等于 ３.５
Ｄ．小萌选出的四个数字的离差平方和等于 ８.７５
A
课后提升
3. 某外贸公司要出口一批规格为 ２００ 克／ 盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 １５ 盒进行检测，测得它们的平均质量均为 ２００ 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 _________（填“甲”或“乙”）．
甲
课后提升
4. 为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
B
能力提升：
甲 乙 丙 丁
平均数/cm 155 155 155 150
方差/cm 2.7 2.2 2.3 3.1
课后提升
5. 为庆祝中国共产主义青年团成立104周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
D
课后提升
6. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差分别为_____________________________。
7. 王老师对甲、乙两人的五次数学测试成绩进行统计，两人的平均成绩均为90分，方差甲分 ，乙分 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.甲的成绩稳定
B.乙的成绩稳定
C.甲、乙成绩一样稳定
D.不能确定谁的成绩稳定
-0.5，-1，1，0，0，0.5
A
课后提升
8. 下列有关离差平方和的说法正确的是（ ）
A.用每个数据与平均值之差的平方和除以数据个数计算
B.离差平方和对极端数据不敏感
C.离差平方和除以数据个数得到方差
D.数据分组一般要以组间离差平方和最小为原则
C
课后提升
9.甲、乙、丙三个小组各有２０ 人，一道满分为 ４ 分的题目，三个小组的得分情况如图：
拓展迁移：
课后提升
（１）请计算甲组的平均数和方差．
甲组得分分布如下：
（分）
计算每组离差平方：，，，，
得分（x） 0 1 2 3 4
人数（f） 1 2 3 6 8
课后提升
离差平方和=
计算方差：（分 ）
课后提升
（２）乙组和丙组的平均数和方差如下表：
则这三组中，得分情况最稳定的小组是__________组．
解答：方差越小，数据波动越小，稳定性越强。
对比可知：乙组方差（0.9875）＜甲、丙组方差（1.39），因此乙组得分最稳定。
乙组
课后提升
（３）对比这三幅条形统计图，“柱子的高度” 都是１，２，３，６，８，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法？
乙组得分集中在平均数（2.25分）附近（如2分人数多），离差小（如），方差最小（0.9875）；
甲、丙组得分远离各自平均数（如甲组4分与2.9分离差1.1，丙组0分与1.1分离差1.1），离差大，方差大（1.39）。
结论：方差与数据“相对于平均数的分布密集度”相关，而非仅与人数分布相关。
Thanks!
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3.3.1离差平方和与方差 教学设计
学科 数学 年级 八年级下册 课型 新授课 单元 第三单元
课题 数据分析初步：离差平方和与方差 课时 3.3.1
课标要求 依据《义务教育数学课程标准》对 “数据与统计” 领域的要求，本节课需引导学生结合射击选拔、作物长势分析等实际情境，理解离差平方和与方差的统计意义，掌握其计算公式；能运用这两个统计量刻画数据的离散程度，判断数据的稳定性；经历 “提出问题 — 收集处理数据 — 分析数据 — 得出结论” 的完整数据分析过程，发展数据分析观念，提升用数据理性描述和解决实际问题的能力，体会统计知识与生活的紧密联系，为后续更复杂的统计学习（如标准差、数据分组）奠定基础。
教材分析 （1）从教材编写角度看 教材以生活实例为载体，遵循 “直观感知 — 问题驱动 — 概念建构 — 应用深化” 的逻辑展开：先通过甲、乙射击运动员成绩对比的情境，让学生直观感受 “平均数相同但波动不同” 的现象，再结合旧知（平均数、折线图）引导学生思考 “如何量化波动”；通过分析 “离差和为 0” 的局限性，自然引出离差平方和，又针对 “样本容量不同时离差平方和无法直接比较” 的问题，推导方差概念，体现 “发现问题 — 解决问题” 的编写思路；同时搭配折线图、重复数据简化计算等素材，降低抽象概念的理解难度，符合八年级学生由具体到抽象的认知规律。 （2）从在教材中的地位与作用看 本节课是 “数据分析初步” 单元的核心内容，承接此前所学的平均数、中位数等刻画数据 “集中趋势” 的统计量，填补了 “刻画数据离散程度” 的知识空白，构建起 “集中趋势 + 离散程度” 完整的数据分析框架；既是对前期数据处理方法的深化，又为后续学习标准差、组内离差平方和及高中阶段 “样本方差估计总体方差” 等知识奠定基础，同时在产品质量检测、成绩稳定性分析等实际场景中应用广泛，是连接数学理论与生活实践的重要纽带。
学情分析 八年级学生已掌握平均数计算、折线统计图解读及极差的初步应用，具备一定的数据观察和简单分析能力，但抽象思维仍处于发展阶段；对 “为什么用平方消除离差正负”“方差为何能反映波动” 等深层逻辑的理解存在困难，易机械记忆公式而忽略统计意义；在小组合作中能通过交流解决基础计算问题，但面对 “数据平移 / 缩放对方差的影响” 等复杂情境时，独立分析能力不足；此外，部分学生可能混淆 “离差平方和（波动总和）” 与 “方差（平均波动）”，需借助具象案例和分层探究突破认知难点。
教学目标 1.理解离差平方和与方差的定义，掌握其计算公式，能准确计算数据的离差平方和与方差 2. 通过方差大小判断数据稳定性 3. 感受统计知识在运动员选拔、作物长势分析等生活场景中的应用，培养用数据理性决策的意识
教学重点 离差平方和与方差的概念理解、计算公式掌握，以及运用方差比较两组数据的离散程度（稳定性）
教学难点 方差统计意义的深层理解，以及离差平方和与方差的区别
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 回顾旧知 填空回顾： 1.一组数据的平均数计算公式为： 。 2.折线统计图的核心作用是：直观反映数据的变化趋势（波动情况）。 3.若两组数据平均数相同，可通过观察数据的波动大小判断稳定性。 如果要选拔射击运动员参加比赛，不仅会考查运动员成绩的高低，还会考查运动员成绩的稳定性。在数学中，用什么统计量来刻画成绩的稳定性？ 呈现平均数计算、折线统计图作用、数据稳定性判断相关的填空回顾题，结合射击运动员选拔情境提出问题 完成填空回顾旧知，思考情境问题，初步感知研究数据波动的必要性 通过旧知回顾搭建知识桥梁，借助生活情境激发学习兴趣，引出本节课核心问题
探究活动一：合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： 表3-6 次数第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数78889乙命中环数1061068
（1）计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 甲的平均成绩：甲（环） 乙的平均成绩：乙（环） 衔接语言：两人平均成绩相同，那怎么判断谁更稳定？我们看每次成绩与平均数的“偏差”，也就是离差。 （2）根据这两名运动员的成绩在图3-1中画出折线统计图。 甲、乙两名运动员射击成绩的折线统计图 图3-1 （3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流） 甲、乙两名运动员的平均成绩相同，但甲各次射击的成绩都均数8环，而乙各次射击的成绩偏离平均数较大。在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。 离差平方和：样本中，各数据与平均数的差（又称离差）的平方和称为离差平方和（deviation sum of squares），记为 。对于一组数据 ，这组数据的平均数为 ，则 。 所以： 甲、乙两名运动员射击测试成绩的高差平方和如下： 计算离差（与平均数的差）： 甲：，，，， 乙：，，，， 衔接语言：“离差有正有负，相加会抵消，所以我们用‘离差的平方’消除正负，得到离差平方和。’’ 甲的离差平方和：甲 乙的离差平方和：乙 衔接语言：离差平方和反映了波动的“总幅度”，但样本容量不同时不好直接比较，因此我们用“离差平方和的平均数”——方差，来统一衡量稳定性。 你发现了什么？ 容易看出，离差平方和的大小还与样本容量有关，所以我们可以用一组数据的各个离差的平方的平均数来衡量数据的稳定性。 方差：一般地，一组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差（variance）记为 。 方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 知识点总结（全班梳理） 1.离差平方和：（所有数据与平均数差的平方和） 2.方差：（离差平方和的平均数） 3.方差的意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定。 4.标准差：方差的算术平方根（与原数据单位一致，更直观反映波动幅度） 引导学生计算甲、乙射击运动员平均成绩，分析离差局限性，讲解离差平方和与方差概念，组织全班梳理知识点 独立计算平均成绩与离差，小组交流挑选参赛选手的理由，理解离差平方和与方差的推导过程，参与知识点梳理 让学生经历 “发现问题 — 分析问题 — 解决问题” 的过程，逐步理解离差平方和与方差的概念及意义，培养数据分析能力
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：例题 例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出10株苗测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11,16,17,14,13,19,6，8,10,16。 哪块地小麦长得比较整齐？ 解： 因为 ，所以甲地小麦长得比较整齐。 一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。上例中，两个标准差分别是：
[注意事项] 计算方差的前提是平均数准确，否则后续计算全错； 重复数据可通过“次数×单个离差平方”简化计算； 方差的单位是原数据单位的平方（如本题中是），标准差与原数据单位一致。 呈现小麦苗高比较的例题，指导学生利用重复数据简化计算，强调计算方差的注意事项，巡视小组互助情况 以小组为单位合作计算甲、乙两块地小麦苗高的平均数与方差，讨论解题思路，总结计算技巧与注意事项 通过同伴互助突破例题难点，强化方差计算方法的运用，培养合作交流与问题解决能力
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 拓展1：数据平移对方差的影响（探究活动） 问题：数据，每个数减得新数据，两组数据的方差是否相同？ 学生计算验证： 原数据方差： 新数据方差： 结论：一组数据中每个数都加（或减）同一个常数，方差不变（仅整体平移，波动幅度不变）。 辨析1：离差平方和与方差的区别 离差平方和是“波动总和”，与样本容量正相关； 方差是“平均波动幅度”，消除了样本容量的影响，更适合跨样本比较稳定性。 辨析2：平均数相同，方差不同的稳定性判断 甲射击成绩方差甲，乙射击成绩方差乙，平均成绩均为环，谁更稳定？ 结论：甲的方差更小，成绩更稳定。 想一想 如果直接计算甲、乙射击测试成绩离差的和，结果如何？ 甲离差依次为：，，，， 离差的和： 乙的离差：，，，， 离差的和： 核心结论 甲、乙射击测试成绩的离差和均为0，且任意一组数据中，所有数据与平均数的离差之和恒为0。 平均数是一组数据的“数值重心”，数据中比平均数大的部分产生正离差，比平均数小的部分产生负离差，正、负离差的数值会精准相互抵消，最终离差的和必然为0。 探究活动 已知数据99, 97, 96, 98, 95, 把这组数据的每个数都减去97, 得到一组新数据。将这两组数据画成折线图, 并且一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数。观察你画的两个图形, 你发现了哪些有趣的结论？ 数据计算基础 原数据： 平均数：原 方差：原 新数据（每个数减97）： 平均数：新 方差：新 整体平移性：两组数据的折线图形状完全相同，仅纵轴基准线（平均数对应的水平线）从平移到了，说明数据整体加减一个常数，仅改变数据的整体位置，不改变波动的形态。 稳定性不变：两组数据的方差均为，说明数据整体平移不影响方差（波动程度），方差只反映数据相对于平均数的波动幅度，与数据的整体位置无关。 平均数的变化规律：若原数据每个数减去常数，则新数据的平均数为原平均数减去（本题中，新平均数）。 设计数据平移对方差影响的探究问题，提出离差平方和与方差区别、稳定性判断的辨析点，组织全班讨论与验证，引导学生总结结论 独立计算两组数据方差验证猜想，参与全班辨析讨论，分享自己的发现，理解数据平移对方差的影响及相关概念区别 通过拓展探究与辨析，深化对方差统计意义的理解，培养逻辑推理与抽象思维能力，提升全班互动交流氛围
环节四：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.数据5,8,5,4,6,7,8,9,3,6 的离差平方和是__________，方差是______________. 如图是小慧根据上海市某天土午和下午各四个整点时的气温绘制成的折线统计图。根据该统计图回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？请说明理由。 上海市某天气温统计图 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 掌握离差平方和的定义及计算公式：； 理解方差的概念、计算公式：，知道方差越小数据波动越小、越稳定； 了解标准差的含义（方差的算术平方根，与原数据单位一致）； 掌握数据变换规律：数据的方差为（平移不影响方差，缩放影响方差）； 能运用离差平方和、方差解决数据稳定性判断的实际问题。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 3.3 离差平方和与方差 一、情境导入（左上方） 问题：平均数相同，如何判断数据稳定性？（如：甲、乙射击成绩） 旧知回顾：（平均数）、折线图（直观看波动） 二、核心概念（黑板左侧，核心区域） 离差平方和（D） 定义：各数据与平均数离差的平方和 公式： 方差（） 定义：离差平方和的平均数（刻画平均波动） 公式： 标准差（S）：（与原数据单位一致） 三、核心意义（黑板中间，突出显示） 方差越大 → 数据波动越大 → 越不稳定 方差越小 → 数据波动越小 → 越稳定 关键：离差和恒为0，平方可消除正负抵消 四、拓展规律（黑板右侧上方） 若原数据：（方差） 新数据：（）→ 方差： 结论：平移（±b）不影响方差，缩放（×a）影响方差（平方倍） 五、例题小结（黑板右侧下方） 步骤：算平均数 → 算离差平方和 → 算方差 → 比稳定性 易错：平均数算错、忽略方差单位（原单位 ） 六、知识体系（黑板底部，串联梳理） 情境问题 → 离差平方和（波动总和）→ 方差（平均波动）→ 应用（判稳定性）→ 拓展（数据变换） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标： 1. 某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ） A．离差平方和是 16 B．方差是 160 C．标准差是 4 分 D．众数是 5 2. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 1，2，3，4，5，6 这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有 1 的是（ ） A．小庆选出的四个数字的方差等于 4.25 B．小铁选出的四个数字的方差等于 2.5 C．小娜选出的四个数字的平均数等于 3.5 D．小萌选出的四个数字的离差平方和等于 8.75 3. 某外贸公司要出口一批规格为 200 克／ 盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 （填“甲”或“乙”）． 能力提升： 4. 为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择（ ） 甲乙丙丁平均数/cm155155155150方差/cm 2.72.22.33.1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5. 为庆祝中国共产主义青年团成立104周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差分别为__________。 7. 王老师对甲、乙两人的五次数学测试成绩进行统计，两人的平均成绩均为90分，方差甲分 ，乙分 ，则下列说法中正确的是（ ） A.甲的成绩稳定 B.乙的成绩稳定 C.甲、乙成绩一样稳定 D.不能确定谁的成绩稳定 8. 下列有关离差平方和的说法正确的是（ ） A.用每个数据与平均值之差的平方和除以数据个数计算 B.离差平方和对极端数据不敏感 C.离差平方和除以数据个数得到方差 D.数据分组一般要以组间离差平方和最小为原则 拓展迁移： 9.甲、乙、丙三个小组各有20人，一道满分为4分的题目，三个小组的得分情况如图： （1）请计算甲组的平均数和方差． （2）乙组和丙组的平均数和方差如下表： 则这三组中，得分情况最稳定的小组是 组． （3）对比这三幅条形统计图，“柱子的高度” 都是1，2，3，6，8，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法？
教学反思 本节课围绕“离差平方和与方差”的核心知识点，通过情境导入、探究活动、同伴互助、全班展学和巩固练习五个环节展开教学，基本达成了预设的知识与能力目标。教学中，以射击选拔、小麦长势对比等生活实例为载体，将抽象的统计概念与实际情境结合，有效降低了学生的理解难度；探究活动的设计遵循“发现问题—分析问题—解决问题”的逻辑，让学生经历了概念的推导过程，强化了数据分析观念和逻辑推理能力。但同时也存在不足：部分探究活动（如数据平移对方差的影响）耗时超出预期，导致巩固练习的讲评时间不足，基础薄弱学生对“方差统计意义”的深层理解仍有欠缺；此外，对学生课堂生成性问题的回应不够及时，分层教学的针对性还需加强，未能完全满足不同层次学生的学习需求。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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分课时学案
课题 3.3.1离差平方和与方差 单元 第三单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习 目标 1.理解离差平方和与方差的定义，掌握其计算公式，能准确计算数据的离差平方和与方差 2. 通过方差大小判断数据稳定性 3. 感受统计知识在运动员选拔、作物长势分析等生活场景中的应用，培养用数据理性决策的意识
重点 离差平方和与方差的概念理解、计算公式掌握，以及运用方差比较两组数据的离散程度（稳定性）
难点 方差统计意义的深层理解，以及离差平方和与方差的区别
教学过程
导入新课 【引入思考】 1.一组数据的平均数计算公式为： 2.折线统计图的核心作用是： 3.若两组数据平均数相同，可通过观察_________________________判断稳定性。 合作学习 甲、乙两名射击运动员的测试成绩统计如下： 表3-6 次数第一次第二次第三次第四次第五次甲命中环数78889乙命中环数1061068
（1）计算甲、乙两名运动员的平均成绩。 （2）根据这两名运动员的成绩在下图中画出折线统计图。 甲、乙两名运动员射击成绩的折线统计图 （3）现要从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为挑选哪一位比较合适？为什么？（请与你的同伴交流）
新知讲解 提炼概念（本节课主要内容提炼） 1．离差平方和: 2．离差: 3．方差: 4.标准差: 典例精讲 例1 为了考察甲、乙两块田地小麦的长势，分别从中抽出10株苗测得苗高如下（单位：cm）： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16。 哪块地小麦长得比较整齐？ 拓展1：数据平移对方差的影响（探究活动） 问题：数据，每个数减得新数据，两组数据的方差是否相同？ 辨析1：离差平方和与方差的区别 解答： 辨析2：平均数相同，方差不同的稳定性判断 甲射击成绩方差甲，乙射击成绩方差乙，平均成绩均为环，谁更稳定？ 想一想 如果直接计算甲、乙射击测试成绩离差的和，结果如何？ 探究活动 已知数据99， 97， 96， 98， 95， 把这组数据的每个数都减去97， 得到一组新数据。将这两组数据画成折线图， 并且一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数。观察你画的两个图形， 你发现了哪些有趣的结论？
课堂练习 巩固训练 课堂练习 1.数据5，8，5，4，6，7，8，9，3，6 的离差平方和是__________，方差是______________. 2.如图是小慧根据上海市某天土午和下午各四个整点时的气温绘制成的折线统计图。根据该统计图回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？请说明理由。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计 基础达标： 1. 某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩．对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是（ ） A．离差平方和是 16 B．方差是 160 C．标准差是 4 分 D．众数是 5 2. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 1，2，3，4，5，6 这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有 1 的是（ ） A．小庆选出的四个数字的方差等于 4.25 B．小铁选出的四个数字的方差等于 2.5 C．小娜选出的四个数字的平均数等于 3.5 D．小萌选出的四个数字的离差平方和等于 8.75 3. 某外贸公司要出口一批规格为 200 克／ 盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 （填“甲”或“乙”）． 能力提升： 4. 为了选拔一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会跳高比赛，班长小明记录了甲、乙、丙、丁四名同学几次跳高选拔的平均数与方差。根据表中数据，应该选择（ ） 甲乙丙丁平均数/cm155155155150方差/cm 2.72.22.33.1
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5. 为庆祝中国共产主义青年团成立104周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差分别为__________。 7. 王老师对甲、乙两人的五次数学测试成绩进行统计，两人的平均成绩均为90分，方差甲分 ，乙分 ，则下列说法中正确的是（ ） A.甲的成绩稳定 B.乙的成绩稳定 C.甲、乙成绩一样稳定 D.不能确定谁的成绩稳定 8. 下列有关离差平方和的说法正确的是（ ） A.用每个数据与平均值之差的平方和除以数据个数计算 B.离差平方和对极端数据不敏感 C.离差平方和除以数据个数得到方差 D.数据分组一般要以组间离差平方和最小为原则 拓展迁移： 9.甲、乙、丙三个小组各有20人，一道满分为4分的题目，三个小组的得分情况如图： （1）请计算甲组的平均数和方差． （2）乙组和丙组的平均数和方差如下表： 则这三组中，得分情况最稳定的小组是 组． 对比这三幅条形统计图，“柱子的高度” 都是1，2，3，6，8，但是它们的排序不同，导致了平均数和方差各不相同，你能否谈谈你的想法？
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