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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．若 与是同类最简二次根式，则求的值．
2．已知x，y为实数，且，求的平方根。
3．当时，求的值．如图
（1） 的解法是错误的．
（2）当时，求的值．
4．高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及.据研究，高空抛物下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式 不考虑风速的影响，g≈10m/s ).
（1）求某物体从40 m(约13层楼)高处掉落到地上所用的时间(结果保留根号).
（2）已知高空抛物动能(单位：J)=10×物体质量(单位：kg)×高度(单位：m)，某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过 4s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗 请说明理由(注：无防护人体受到65 J 的动能即会受到伤害).
5．如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积．
6．已知y= +9，求代数式 的值．
7．已知 xy=6，x+y=﹣4，求x +y的值．
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简．
9．已如实数 、 在数轴上的位置如图所示，请化简
10． 如图，矩形内两相邻正方形面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．
11．一个物体从高处自由落下，落地时的速度v(m/s)与距离地面的高度h(m)之间的等量关系式为 其中 请问一个铁球从10m的高处自由下落，落到地面时的速度是多少
12．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）若是的小数部分，求的平方根．
13．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“立信区间”为，如，所以的立信区间为．
（1）无理数的“立信区间”是______；
（2）若其中一个无理数的“立信区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值．
（3）实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“立信区间”．
14．已知的整数部分为a，小数部分为b，求(3a+b)(3a-b)的值.
15．已知，，求：
（1）；
（2）．
16．已知，求的值．
17．已知a满足|2019-a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 ；则在这个条件下将|2019-a|去掉绝对值符号可得|2019-a|＝
（2）根据（1）的分析，求a-20192的值．
18．阅读下面问题：
=﹣1；=﹣；=﹣2．
猜测：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）根据你的猜测计算：
+++L++的值．
19．王聪学习了二次根式性质公式 = 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题： = = = =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.
20．实数 a， b 在数轴上的位置如图所示， 化简： =
21．已知，，求的值．
22．（1）若，则x的取值范围为 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简
23．在学习了二次根式的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值：，其中
他的做法为：解：原式
当时，原式
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
24．当x= ﹣ 时，求代数式x2﹣ x+ 的值．
25．计算：（﹣1）3+﹣|1-|．
26．计算：．
27．求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
28．已知函数 ，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值．
29．如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为50厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到0.01厘米）
30． 已知a，b，c 满足等式
（1）求a，b，c 的值；
（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并求出此三角形的面积.
31．现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出两块面积分别为和的正方形木板，．
（1）截出的正方形木板的边长为 ；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出面积为的两块正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
32．若 - -y=6，求yx的算术平方根．
33．如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简： ﹣|a﹣c|+ ．
34．已知：a= ，求 ﹣ 的值．
35．若，求代数式的平方根．
36．学习二次根式后，小王认为：当x=m时，3﹣ 有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？
37．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若DE+DF=2，△ABC的面积为求AB的长.
38．如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
39．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，且．
（1）求的平方根；
（2）若在轴的正半轴上有一点，且的面积是27，求点的坐标；
（3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
41．已知x，y满足y=，求的平方根.
42．小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a===2﹣，
∴a﹣2=﹣，
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1．
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．
43．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE.已知AB=5，DE=9，BD=8，设BC=.
（1）用含的代数式表示AC+CE的长.
（2）当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小
（3）根据(2)中的结论，请构图求出代数式的最小值.
44．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
45． 如图1，以直角的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，C(b，0)，并且满足.
（1） a与b的值分别是：a= ；b= .
（2） 如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D(4，3)，设运动时间为t秒. 是否存在 t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
46．已知 + =0，求 的值.
47．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图1在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；
（3）求中边上的高与边上的高的积．
48．解不等式： ．
49．如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m，n满足．
（1）直接写出：______，______，点的坐标为______；
（2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围．
50．
（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 ， ， ，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= 的最小值．
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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．若 与是同类最简二次根式，则求的值．
【答案】解：由题意可知 ，
解得m=，n=，
即==．
【解析】【分析】由二次根式的根指数为2可知2n+1=2，然后依据同类二次根式的定义可知3m﹣2n=3，然后求得m、n的值，最后再求mn得算术平方根即可．
2．已知x，y为实数，且，求的平方根。
【答案】解：∵，
∴x-27≥0，27-x≥0，
∴x=27
∴y=
∴
即xy的平方根为±3.
【解析】【分析】根据题意先求出x-27≥0，27-x≥0，再求出x=27，最后计算求解即可。
3．当时，求的值．如图
（1） 的解法是错误的．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）小亮
（2）解：当时，＝
【解析】【解答】解：（1）
当时，，
原式=a+a-1=2a-1.
当a=6时，原式=2×6-1=11.
∴小亮的解法是错误的.
故正确答案为：小亮.
【分析】（1）先把变形为的形式。再根据当1-a≤0时，=a-1，可得：原式=a+a-1=2a-1.所以当a=6时，原式=2×6-1=11.所以可知小亮的解法是错误的.
（2）根据当a<4时，a-4<0， 5-a>0，化简即可.
4．高空抛物严重影响人们的安全，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，常常避之不及.据研究，高空抛物下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式 不考虑风速的影响，g≈10m/s ).
（1）求某物体从40 m(约13层楼)高处掉落到地上所用的时间(结果保留根号).
（2）已知高空抛物动能(单位：J)=10×物体质量(单位：kg)×高度(单位：m)，某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过 4s落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗 请说明理由(注：无防护人体受到65 J 的动能即会受到伤害).
【答案】（1）解：将h=40代入得：
.
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到行人，理由如下：
将t=4代入得：，
解得：h=80；
故高空抛物动能为10×0.2×80= 160＞65；
故这个玩具产生的动能会伤害到行人.
【解析】【分析】（1）将h=40代入公式计算即可；
（2）先将t=4代入公式求出h的值；将相关值代入高空抛物动能计算即可.
5．如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为 和 ，求大正方形的面积．
【答案】解：，
∴正方形Ⅰ的边长为：，正方形Ⅱ的边长为：，
∴大正方形的边长为：
∴大正方形的面积为：
则大正方形的面积为．
【解析】【分析】根据算术平方根的定义得出正方形Ⅰ的边长为，正方形Ⅱ的边长为，即可得出大正方形的边长为，再根据正方形的面积公式计算求解即可解答．
6．已知y= +9，求代数式 的值．
【答案】解：由题意可得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，
解得，x=4，
则y=9，
则
=
=2﹣3
=﹣1
【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出x的值，代入原式求出y的值，代入代数式根据算术平方根的概念计算即可．
7．已知 xy=6，x+y=﹣4，求x +y的值．
【答案】解：∵xy=6＞0，
∴x，y 同号．
又 x+y=﹣4＜0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式=x +y
=﹣ ﹣
=﹣
=﹣
=﹣．
【解析】【分析】先利用有理数的性质得到x＜0，y＜0，再根据二次根式的性质化简得到原式═﹣﹣，然后利用完全平方公式变形得到原式=﹣ ，再利用整体代入的方法计算．
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简．
【答案】解：由数轴知，，且．
∴．
．
【解析】【分析】结合数轴求出，且，再去二次根号，最后合并同类项即可。
9．已如实数 、 在数轴上的位置如图所示，请化简
【答案】解：由题意得： ＜ ＜ ， ＜ ＜
＜ ＜ ＞
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据数轴判断绝对值中数据正负性，再去绝对值，最后合并同类项即可。
10． 如图，矩形内两相邻正方形面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．
【答案】解：∵矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，
∴两个正方形的边长分别为：，，
大矩形的长为，大矩形的宽为，
大矩形的面积为，
∴大矩形内阴影部分的面积为：大矩形面积．
【解析】【分析】根据正方形的面积公式求两个正方形的边长，根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算即可．
11．一个物体从高处自由落下，落地时的速度v(m/s)与距离地面的高度h(m)之间的等量关系式为 其中 请问一个铁球从10m的高处自由下落，落到地面时的速度是多少
【答案】解：把g=9.8，h=10代入 得 14(m/s).
答：落到地面时的速度是14m/s
【解析】【分析】把g=9.8，h=10代入求解即可.
12．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分．
（1）求的值；
（2）若是的小数部分，求的平方根．
【答案】（1）解：∵a的平方根是，
∴，
∵b是27的立方根，
∴，
∵c是的整数部分，而
，
∴；
（2）解：由（1）可知，的整数部分是3，
∵x是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【解析】【分析】（1）根据平方根和立方根的性质可求出a，b，再根据二次根式的性质可求出c，再代入代数式即可求出答案.
（2）由（1）可求出x值，再代入代数式即可求出答案.
13．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数，则称无理数T的“立信区间”为，如，所以的立信区间为．
（1）无理数的“立信区间”是______；
（2）若其中一个无理数的“立信区间”为且满足，其中是关于x、y的方程的一组正整数解，求C值．
（3）实数x、y、m满足关系式：，求m的算术平方根的“立信区间”．
【答案】（1）
（2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数，
是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，
是一个完全平方数，，
，
满足题意的m、n的值为：或，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述，C的值为1或37；
（3）解：实数x，y，m满足关系式：，，，
，
，
，，
，，
两式相减，得，
，
的算术平方根为，
，
，
的算术平方根的“立信区间”是．
【解析】【解答】解：（1），
，
无理数的“立信区间”是，
故答案为：；
【分析】（1）根据估算出的取值范围写出即可；
（2）先根据立信区间的特点得到m，n是相邻两个整数，再根据是二元一次方程正整数解，得到是一个完全平方数，，进而求出m、n的值，最后代入方程中进行求解即可；
（3）先根据被开方数的非负性得出，进而得出，，两式作差求出m，最后根据“立信区间”的定义求解即可．
（1）解：，
，
无理数的“立信区间”是，
故答案为：；
（2）解：由题意得，m、n是两个相邻的正整数，
是关于x、y的二元一次方程的一组正整数解，
是一个完全平方数，，
，
满足题意的m、n的值为：或，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述，C的值为1或37；
（3）解：实数x，y，m满足关系式：，
，，
，
，
，，
，，
两式相减，得，
，
的算术平方根为，
，
，
的算术平方根的“立信区间”是．
14．已知的整数部分为a，小数部分为b，求(3a+b)(3a-b)的值.
【答案】解：∵3=，4=，；
∴a=3，b=；
∴
=
=
=
=
【解析】【分析】根据无理数估值的方法，先找到相邻的整数，进而求出a和b的值；将所求等式先化简，再将a和b的值代入化简后的代数式，计算即可.
15．已知，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴
则
.
【解析】【分析】（1）将a，b的值代入，根据平方差公式直接计算即可；
（2）根据完全平方和的公式，再计算a+b的值代入即可.
16．已知，求的值．
【答案】解：，
，
∴，整理得，
∴
．
【解析】【分析】对进行分母有理化可得，则，即，再整体代入代数式化简即可求出答案.
17．已知a满足|2019-a|+＝a．
（1）有意义，a的取值范围是 ；则在这个条件下将|2019-a|去掉绝对值符号可得|2019-a|＝
（2）根据（1）的分析，求a-20192的值．
【答案】（1）a≥2020；a-2019
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴a-2020＝20192，
∴a-20192＝2020．
【解析】【解答】解：（1）∵有意义，
∴a-2020≥0
∴a≥2020；
∴2019-a＜0，
∴|2019-a|＝a-2019；
故答案为：a≥2020；a-2019；
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可；
（2）把（1）的结论代入等式，化简后两边同时平方去掉根号求解．
18．阅读下面问题：
=﹣1；=﹣；=﹣2．
猜测：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）根据你的猜测计算：
+++L++的值．
【答案】解：（1）原式=﹣；
（2）原式=﹣；
（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=10﹣1=9．
【解析】【分析】（1）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；
（2）根据观察，可发现规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案；
（3）根据规律：两个相邻自然数的算术平方根和的倒数等于这两个相邻自然数的算术平方根的差，可得答案．
19．王聪学习了二次根式性质公式 = 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题： = = = =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.
【答案】解：因为 = ， 有意义，而 中的二次根式无意义，因此该种化简过程不对
【解析】【分析】要注意二次根式中的被开方数是非负数，若被开方数是负数，则无意义。根据题中的解题过程，可作出判断。
20．实数 a， b 在数轴上的位置如图所示， 化简： =
【答案】解：由图得，a＜-1，b＞1，a＜b，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-a-1-b+1-a+b
=-2a
【解析】【分析】根据图中a、b的位置得a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，从而原式可化为，再去括号进行计算即可求解.
21．已知，，求的值．
【答案】解：∵， ，
∴a+b=4，ab=(2+)( 2-)=1，
∴．
【解析】【分析】利用分母有理化分别求出a、b的值，然后求出a+b、ab的值，再将原式变形为，然后整体代入计算即可.
22．（1）若，则x的取值范围为 ；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简
【答案】（1）
（2）由题：．原式．
【解析】【解答】解：（1） ，
解得：.
故答案为：。
【分析】（1），据此建立不等式求解即可；
（2）观察数轴可得：，再依据，再逐一去绝对值求解。
23．在学习了二次根式的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道题．
化简求值：，其中
他的做法为：解：原式
当时，原式
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
【答案】解：小新同学的做法不正确．
正确过程为：
解：
，
当时，原式．
【解析】【分析】本题中的算术平方根和根号内的完全平方式的结果都具有非负性，但括号内的式子可以是任意值，若直接将平方与根号抵消，那最后的结果可能为负数，与题意不符，这也是本题的易错点.
24．当x= ﹣ 时，求代数式x2﹣ x+ 的值．
【答案】解：当x= ﹣ 时，
原式=（ ﹣ ）2﹣ （ ﹣ ）+
=2﹣2 +3﹣2+ +
=3
【解析】【分析】将x的值代入代数式进行计算．
25．计算：（﹣1）3+﹣|1-|．
【答案】解：原式=﹣1+2﹣（﹣1）=．
【解析】【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而求出答案．
26．计算：．
【答案】解：原式=2﹣=12﹣=11．
【解析】【分析】原式利用乘法分配律计算即可得到结果．
27．求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
【答案】解：设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4-+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
【解析】【分析】利用题目所给的计算方法将等式两边进行平方，然后利用平方差公式，以及二次根式的平分运算进行化简，最后求出结果即可.
28．已知函数 ，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值．
【答案】解：∵ ≥0，
∴y= +5≥5，
∴当 =0时，y有最小值，
即3x+4=0，
所以x=﹣ ，y有最小值5
【解析】【分析】由于 ≥0，则y= +5≥5，当 =0时，y有最小值，然后求出此时的x与y的值．
29．如图所示，15只空油桶堆在一起，每只油桶的底面直径均为50厘米．现在要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（结果精确到0.01厘米）
【答案】解：如图，AD⊥BC于D，
∵AB=4×50=200，BC=4×50=200，AC=4×50=200，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD= BC=100 ，
∴油桶的最高点到地面的距离=25+100 +25≈223.21（cm）．
答：遮雨棚起码要223.21cm高．
【解析】【分析】取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个△ABC，如图，可证明它为等边三角形，它的边长为200厘米，利用等边三角形的性质得到高AD=100 厘米，于是利用油桶的最高点到地面的距离为两个圆的半径与AD的和，然后进行近似计算即可．
30． 已知a，b，c 满足等式
（1）求a，b，c 的值；
（2）判断以a，b，c为边长的三角形的形状，并求出此三角形的面积.
【答案】（1）解： ，∴c=4，
又
（2）解：
又∵a=c，∴以a，b，c 为边长的三角形是等腰直角三角形，
∴此三角形的面积为
【解析】【分析】(1)利用非负数之和为0时，每个非负数均为0的性质，直接求出a、b、c的值；
(2)验证a、b、c是否满足勾股定理，判断三角形的形状，并计算周长.
31．现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板上截出两块面积分别为和的正方形木板，．
（1）截出的正方形木板的边长为 ；
（2）求图①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板上截出面积为的两块正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵正方形木板的面积为，
∴正方形木板的边长为，
∵阴影部分长方形的宽为，
∴阴影部分的面积为
（3）解：不能截出.
理由：
∵面积为的正方形木板的边长为，
∴两块正方形木板按题图②的方式拼在一起的长为.
由（2）可得长方形木板的长为，
∵，
∴不能截出
【解析】【解答】解：（1）设 正方形木板的边长为 x dm，则
x2=18，
解得 x=
故填：.
【分析】⑴根据S=a2，求出其算术平方根即可.
⑵先计算出正方形A和B的边长，再利用两正方形的边长及边长差求出阴影部分的长和宽，根据长和宽求面积即可.
⑶先计算出正方形的边长，再比较“两正方形边长和”与“两长方形边长和”的大小，即可判断能否截出.
32．若 - -y=6，求yx的算术平方根．
【答案】解：由题意得2-x≥0，x-2≥0，∴x=2．
当x=2时，y=-6．此时yx=(-6)2=36．
所以y的算术平方根为6．
【解析】【分析】先利用二次根式有意义的条件求出x=2，再将x=2代入式子求出y=-6，最后将x、y的值代入计算即可。
33．如图，a、b、c分别是数轴上A、B、C所对应的实数，试化简： ﹣|a﹣c|+ ．
【答案】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴a＜c
∴原式=|b|﹣|a﹣c|+（a+b）
=﹣b+（a﹣c）+（a+b）
=﹣b+a﹣c+a+b
=2a﹣c
【解析】【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及a﹣c的符号，再根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质进行化简，然后进行整式的加减计算即可得解。
34．已知：a= ，求 ﹣ 的值．
【答案】解：原式= +
=|a+ |+|a﹣ |，
∵a= ﹣ ，
∴0＜a＜1，
∴原式=a+ + ﹣a
=
=2（ + ）
=2 +2
【解析】【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质得到原式=|a+ |+|a﹣ |，再化简得到a= ﹣ ，则0＜a＜1，然后根据a的范围去绝对值后合并，再把a的值代入计算即可．
35．若，求代数式的平方根．
【答案】解：∵，
∴，
解得，
则，
∴代数式的平方根为．
【解析】【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可求出x、y的值，再代入求解即可.
36．学习二次根式后，小王认为：当x=m时，3﹣ 有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？
【答案】解：=0时，即m=x=1时，3﹣有最大值，
n最大=3，m=1．
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
37．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.若DE+DF=2，△ABC的面积为求AB的长.
【答案】解：连接AD，如图：
S△ABC=S△ABD+S△ACD
，
即，
解得：.
【解析】【分析】连接AD，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可.
38．如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足．
（1）写出a，b的值；
（2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接．
①若为等腰三角形，求t的值；
②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：，
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能，理由如下：
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，
解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
【解析】【解答】解：（1）∵，，且
∴，，
∴，；
【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都为零，可求出a、b的值；
（2）①首先根据勾股定理算出AB的长，然后根据路程等于速度乘以时间，用含t的式子表示出OC、OA、OB，分OB=AB、AB=AO、OB=OA三种情况，分别建立方程，求解即可；
②首先判断出只能∠OBA=90°，然后根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案.
（1）∵，，且
∴，，
∴，；
（2）①∵，，
∴，
∵，
∴，，
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍去）．
综上所述，或；
②能．
∵，点C在上，，
∴只能是
∴，
即，解得
∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时．
39．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别是，且．
（1）求的平方根；
（2）若在轴的正半轴上有一点，且的面积是27，求点的坐标；
（3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得的面积是面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：，
假设点的坐标为，则有，，
点的坐标为
（3）解：由题意得，点的横坐标为3
设点的纵坐标为，则有，，
，
点的坐标为或
【解析】【分析】（1）根据平方根和绝对值的非负性求出a和b的值；
（2）根据三角形的面积求出三角形的高，求出点C的坐标即可；
（3）根据（2）的结论△ABC的面积为27，即可得到△ACD的面积为3，根据MN∥y轴得到△ACD的高为3，求出底得到点C的坐标即可。
40．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
【答案】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
【解析】【分析】先根据BD：AD=1：2求出AD的长度，再用勾股定理算出斜边AB和BC的长度，最后把钢架的所有边长相加得到总钢材长度。
41．已知x，y满足y=，求的平方根.
【答案】解：由题意得：
解得：x=3，
则y==1，
y=1，
=2，
2的平方根是．
【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得解出x的值，进而可得y的值，然后计算出，最后求的平方根即可．
42．小明在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a===2﹣，
∴a﹣2=﹣，
∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3
∴a2﹣4a=﹣1．
∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2（﹣1）+1=﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a=，求4a2﹣8a﹣3的值．
【答案】解：a===+1，
（a﹣1）2=2，a2﹣2a+1=2，
a2﹣2a=1．
4a2﹣8a﹣3=4（a2﹣2a）﹣3=4×1﹣3=1，
4a2﹣8a﹣3的值是1．
【解析】【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
43．如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作BA⊥BD，DE⊥BD，连结AC，CE.已知AB=5，DE=9，BD=8，设BC=.
（1）用含的代数式表示AC+CE的长.
（2）当点C满足什么条件时，AC+CE的值最小
（3）根据(2)中的结论，请构图求出代数式的最小值.
【答案】（1）解：∵BC=x，BD=8，
∴CD=BD-BC=8-x，
在直角三角形ABC中，AC=，
在直角三角形CDE中，CE=，
∴AC+CE=；
（2）接：两点之间，线段最短，因此当C在AE上时，AC+CE值最小；
（3）解：构图如下，
AB=2，BD=12，DE=3，AE长即为的最小值，
BF=DE=3，EF=BD=12，AF=AB+BF=5，
AE=，
即的最小值为13.
【解析】【分析】(1)根据勾股定理分别算出AC、CE的长，相加即可；
（2）两点之间，线段最短，因此当A、C、E共线时，AC+CE值最小；
（3）根据2，代数式的最小值即为AE长，中的4即为AB的平方，12为BD长，9为DE的平方，由此得到AB、DE长，根据矩形的性质得到BF、EF长，最后在直角三角形AEF中由勾股定理求出AE长.
44．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7=21.
设n为正整数，若是大于1的整数，求n的最小值和最大值
【答案】解：∵，
当的值越大时，即的值越大；
此时n取值越小；
∵是整数，n为正整数，
∴时，n的值最小；
∴n的最小值为3；
当的值越小时，即的值越小；
此时，n取值越大；
又∵是大于1的整数，
∴时，n的值最大；
此时，
解得：n=75；
故n的最小值是3，最大值是75.
【解析】【分析】根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）、根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：（a≥0）可得；结合题意即可求解.
45． 如图1，以直角的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0，a)，C(b，0)，并且满足.
（1） a与b的值分别是：a= ；b= .
（2） 如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D(4，3)，设运动时间为t秒. 是否存在 t，使得与的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）6；8
（2）解：由（1）可知 ，，
∴，
由运动知，，，
，
，
，
，
与的面积相等，
，
，
∴存在 时，使得与的面积相等.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
解得：，
故答案为：6，8
【分析】（1）根据非负性结合题意得到，进而解二元一次方程组即可；
（2）根据（1）得到点A和点C的坐标，进而得到，，根据运动得到，，则，再根据点D的坐标结合三角形的面积即可得到，解方程即可。
46．已知 + =0，求 的值.
【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
47．【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图1在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法；
（3）求中边上的高与边上的高的积．
【答案】（1）解：（1）∵三角形三边长分别为4、5、7，
．
（2）解：过作于如图
，设，则，
在中，，
在中，，
解得：．
在中，
（3）解：设三角形中边上的高为
由（2）可知三角形中边上的高
所以三角形中与边上的高的积为．
【解析】【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式“计算即可；
（2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，然后计算CH，；把AB、CH的值代入计算即可。
（3）根据三角形的面积求出边的高，再由（2）知，再求AC×CH即可．
（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
．
（2）解：过作于，设，则，
在中，，
在中，，
，
解得：．
在中，，
；
（3）解：设三角形中边上的高为
由（2）可知三角形中边上的高
所以三角形中与边上的高的积为．
48．解不等式： ．
【答案】【解答】由题意： ≤（ + ）x，所以x≥ ，所以x≥
【解析】【分析】此题把解一元一次不等式的范围扩大到实数范围，要求正确应用二次根式的加减法进行运算．
49．如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m，n满足．
（1）直接写出：______，______，点的坐标为______；
（2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围．
【答案】（1），4，
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
【分析】（1）绝对值和算术平方根具有非负性，二者之和为0，只能二者同时为0，所以，再解方程组即可；
（2）如图1，连接，设直线与轴相交于 ，观察图形，FH与FG之间没有明显的相等或倍数的数量关系，不妨试试求其具体长度，由；可得，由，可以得到，带入到上式，即可得到二者关系；
（3）①当在轴右侧移动时，如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，结合平移可得：，求解；结合，再解不等式组即可；②当在轴左侧移动时，如图3所示，同理可得：；同法进一步求解即可.
（1）解：由题意可得，，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）解：如图1，连接，设直线与轴相交于
；
，
又；
；
；
；
即.
（3）解：①当在轴右侧移动时，
如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，
结合平移可得：，
；
；
；
；
；
；
；
；
②当在轴左侧移动时，如图3所示，
同理可得：；
；
，
；
；
；
；
，
综上可知：或.
50．
（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 ， ， ，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= 的最小值．
【答案】（1）解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF= ，EF= ，BE= ，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE-S△DEF
=（b-a）c+ ac+ （d-c）（b-a）- bd
= （bc-ad）；
（2）解：将b=2-a代入U= 中，得U= + ，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B= = ．
【解析】【分析】（1）先借助勾股定理构造出满足要求的三角形，再利用图形面积之间的和差关系即可计算；
（2）先用a的代数式表示b，将所求式子统一成字母a的形式，类比（1）借助勾股定理构造出图形，从而将问题转化为‘’两定点到一动点的距离之和最小‘’的问题，由轴对称性质易求。
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