浙教版八下 第二章 专项训练：一元二次方程的应用专项训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的总人数是否突破500人？
2．某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
3．如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
（1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，的长度等于？
连续递推，豁然开朗
4.如图， 用总长为 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形种植园，
每个长方形都有一个 1 米宽的门，墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果种植园的总面积为 300 平方米，求边 的长．
(2)围成的两个区域的面积之和能为600 m2吗？请说明理由。
（3） 当种植园的总面积最大时， 请求出边 的长；
思维拓展，更胜一筹
5． 根据以下素材，探索完成任务．
智能农业种植基地设计
背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率， 提升农产品的质量．
素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物．已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长AD比宽AB多10米．
素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统P（视为一个点），当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统．
素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米．
⑴任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为 ▲ 米，根据素材1的信息可列方程： ▲ ．
⑵任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案．
⑶任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值．
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（2）
夯实基础，稳扎稳打
1.有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)若此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患此流感？
2.某商店销售一款每件进价为70元的童装，每件售价为110元时，每天可售出20件。为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经市场调查发现，该童装每降价1元，每天可多售出2件。采取降价措施后，如果商店需要每天盈利1 200元，那么每件童装应降价多少元？
3.如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，求它们移动的时间
连续递推，豁然开朗
4.．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．（1）若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
（2）花圃的面积能达到吗？若能，请你给出设计方案，若不能，请说明理由．
5、如图，中，，点从点出发沿边向点B以的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）若两点的距离为时，求的值？
（2）当为何值时， BPQ的面积最大？并求出最大面积．
思维拓展，更胜一筹
6．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（3）
夯实基础，稳扎稳打
1.请根据图片内容，回答下列问题：
1.(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的传染速度，第三轮将新增多少名感染者？
2.某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件。为尽可能多地占有市场份额，销售方决定降价处理，且经市场调查得知：每降价1元，每星期可多卖出20件。现要使销售该商品每星期获利6 120元，求每件商品应降价多少元？
3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，若的面积等于△ABC面积的，求它们移动的时间
连续递推，豁然开朗
4．如图，学校计划利用已有的一堵长为25m的墙，用篱笆围成一个长方形花园。现有可用的篱笆长为60m（全部用完）。设AB的长为。
（1）如图1，用含的代数式表示BC的长。
（2）如图1，当长方形花园ABCD的面积为时，求的值。
（3）如图2，将墙MN全部利用，并在墙MN的延长线上拓展ND，构成长方形ABCD，其中BM，BC，CD和DN都由篱笆构成。长方形花园ABCD的面积可以为吗？如果能，求出的值；如果不能，请说明理由。
5、一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
思维拓展，更胜一筹
6.根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 ①设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，求y与x之间的函数关系式 ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（4）
夯实基础，稳扎稳打
1.某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，
求平均每次降价的百分率。
2..新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？
3.如图，在中，，动点分别从点同时开始运动（运动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点运动到点C后停止，点P也随之停止运动．若使的面积为，求点运动的时间及PQ的长
连续递推，豁然开朗
4．小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，则这两个正方形的边长各是多少？
（2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 . 你认为他的说法正确吗？请说明理由.
把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
思维拓展，更胜一筹
6．如图，甲打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，
现要围成面积为 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.
（1）若m=14，能成功围成吗 若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.
（2）若要成功围成，求m的最小值及此时的长.
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（5）
夯实基础，稳扎稳打
1.某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，求降尘量的年平均下降率．
2.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，求每件衬衣应降价多少元？．
3.如图，△ABC中，∠B=90°，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，若，求点运动的时间
连续递推，豁然开朗
4．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为42m），其他的边用总长73m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽AB为xm．
（1）求车棚的长BC．（用含x的代数式表示）
（2）若矩形车棚ABCD的面积为450m2，求车棚的长和宽．
（3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为525m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
5.根据以下素材，探索完成任务．
如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？
素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．
素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件.按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价.
素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件．
问题解决
任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？
任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价。
任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件▲元时，公司每天销售这种小商品的总毛利润最大.
思维拓展，更胜一筹
6．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本，已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天.
（1）若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少；
（2）能否通过每套书降价х元（x为整数，0（3）根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案：
书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，0书店方案二：每套书降价n元（n为整数，0是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求m：n的比值；若不存在，请说明理由。
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（1）参考答案
1．（1）解：设平均一个人传染了人，则．，（舍去）．
（2）经过三轮传染后，患流感人数为，512]>500．
2.解：设每件工艺品单价降x元，则当天销售量为件，
依题意，得：，整理，得，
解得：，尽快减少库存，（舍去），
3.（1），
（2）解：在中，由勾股定理，得，解得：，；
4.【答案】（1）解：设AB=x米， 由题意得BC=(80-4x)米，
∴x(80-4x)=300，解得x1=15， x2=5，
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，BC=60米>30米，∴x=15.
(2)不能。x(80-4x)=600，得x2－20x＋150=0。∵Δ=(－20)2－4×150=－200＜0，方程无实数根∴围成的两个区域的面积之和不能为600 m2。
（3）解：设AB=x米，S=x(80-4x)=-4x2+80x
∴种植园的总面积最大值为400平方米.
5.解：（1）（x+10）；x（x+10）＝1200；
（2）任务2：该设计达标．理由如下：
由题意，结合任务1，x（x+10）＝1200，
∴x2+10x﹣1200＝0．∴x＝﹣40（不合题意，舍去）或x＝30．
∴AD＝40m，AB＝30m．∴对角线BD＝50m．∴AP＝BP＝CP＝DP＝25m．
∵当系统P到矩形内任意一点（包括边上）的距离不超过28米时视为达标，
∴该设计达标．
（3）任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，
∴（30﹣2a）（40﹣2a）＝24．
∴a＝14或a＝21（此时30﹣2a＜0，不合题意，舍去）．
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（2）
1.（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，，即：解得：，，，不合题意，舍去，，
（2）第一轮的患病人数为：人，第二轮的患病人数为：人，
则，第三轮的患病人数为：人．
2.解：设每件童装降价x元，(40－x)(20＋2x)=1 200，
整理，得x2－30x＋200=0，解得x1=10（舍去），x2=20。
3.【详解】解：设运动时间为秒，由题意得：，，∴，
∴，解得：或，
∵，∴，∴不符合题意∴当的面积等于4时，经过了1秒，
4.（1）解：设的长为米，则米
由题意可得：，解得：，，
，即：，，∴的长为10米
（2）花圃的面积不能达到．理由如下：设的长为米，
由题意可得：，
化简得，△，方程无解，
花圃的面积不能达到
5.【答案】（1）解：依题意得：，∴，
∵，∴，
∵两点的距离为，∴，解得：或2；
（2）解：设的面积为，根据题意得：
，
∴当时，S取得最大值，最大值为9，
即当为时，的面积最大，最大面积为．
6．（1）解：设纸盒的高为x(cm)，由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（3）
1.解：(1)设每轮传染中，平均一个人传染x个人，由题意，得(1＋x)2=121，
解得x1=10，x2=－12(不合题意，舍去)。
(2)121×10=1 210(名)。
2.【解析】 设售价为x元时，该商品每星期盈利为6 120元，
由题意，得(x－40)[300＋20(60－x)]=6 120，解得x1=57，x2=58。
又∵要尽可能多地占有市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58，
∴每件商品应降价60－57=3(元)。
3.解：设经过x秒的面积等于△ABC面积的，，，，，解得：，．
4.【答案】（1）解：设AB的长为xm，则BC的长为(60-2x)m.
（2）解：由题意可得，
解得（舍去），，
答：当为20时，可使长方形花园ABCD的面积为．
（3）解：不能，理由如下：
由题意可知得，
，
该方程无实数根长方形花园MBCD的面积不可能为
5.①设 解得：
②每天销售利润为w元，
要使每天销售利润最大，销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润是1210元.
6．【答案】解：任务1：①设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，4x+2y=32，∴y=16-2x，
②停车位总面积为180m2，∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)=180，x=5或x=3(舍去)∵5>4.8，停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)=12x2-24x=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，∴4.8≤x≤6，∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（4）
1.【解析】 设平均每次降价的百分率为x，16(1－x)2=9，
解得x1=0.25，x2=1.75＞1(舍去)，故x=0.25=25%，则平均每次降价25%。
2..解：设每台冰箱的降价应为元，依题意得：，
即．x1=x2=150
3.【详解】，，
设运动时间为，，的面积为，，解得：，当时，，不成立，舍去，，
，，
4.【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为.依题意列方程得.，，得，，
（2）解：两个正方形的面积之和不可能等于.理由：若两个正方形的面积和为，则，，
，此方程无解，面积之和不可能等于.
5.解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm，则(40－2x)2＝484，
即40－2x＝±22，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.
②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x，即y＝－8x2＋160x，
改写为y＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，y最大＝800.
6：(1)不能围成面积为平方米的长方形花园.理由如下：
假设能围成面积为平方米的长方形花园，设AB的长为y米，则BC的长为(14-2y)米.
根据题意，得y(14-2y)=，化简、整理，得4y2-28y+81=0.
∵b2-4ac=(-28)2-4×4×81=-512<0，∴原方程没有实数根，不能围成
（2）解：设AB的长为a米，则BC的长为(m-2a)米.
根据题意，得a(m-2a)=，化简、整理，得4a2-2ma+81=0.得b2-4ac=(-2m)2-4×4×81≥0，
解得m≥18或m≤-18.∵m>0，∴m的最小值为18.
当m=18时，原方程为4a2-36a+81=0，解得a1=a2=.
当a=时，18-2a=18-2×=9<10，符合题意，∴AB=米.
一元二次方程的应用------代数思考：设x,用x,列x（5）
1.解：若设降尘量的年平均下降率为，根据题意得：，
解得：，（舍去），即降尘量的年平均下降率为．
2.【详解】解：设每件衬衫应降价元．根据题意得：，
整理，得，解得，，
题目要求尽快减少库存，而选择降价越多则销售量越大，取，
即若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价25元．
3.【详解】解：设运动时间为，则，，
∵，，∴cm，
∵，∴，整理得：解得，，
4（1）解：∵不锈钢栅栏的总长为73m，左右两侧各开一个1m的出口，且车棚的宽AB为x m，∴车棚的长BC为（73+2﹣3x）m
（2）解：根据题意得：（73+2﹣3x）x＝450，
整理得：x2﹣25x+150＝0，解得：x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×10＝45＞42，不符合题意，舍去；
当x＝15时，73+2﹣3x＝73+2﹣3×15＝30＜42，符合题意．
答：车棚的长为30m，宽为15m
（3）解：不能围成面积为525m2的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为525m2的自行车车棚，设AB＝y m，则BC＝（73+2﹣3y）m，
根据题意得：（73+2﹣3y）y＝525，
整理得：y2﹣25y+175＝0，∵Δ＝（﹣25）2﹣4×1×175＝﹣75＜0，
∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即不能围成面积为525m2的自行车车棚
5.解：任务1：网上毛利润为： 元
实体店毛利润为： 元
任务2：设网上销售价下降x元/件，则
网上毛利润为：
实体店毛利润为：
总毛利润为： ＋ =
根据题意得， ， ∴60－x=58或56.
任务3：【解析】任务3：设每天销售这种小商品的总毛利润为W元，
由（2）知W==-20（x-3）2+8180，
∴当x=3时，W有最大值，∴此时的销售价为60-3=57（元）
6.（1）解：(30+5)(60-20)=1400，所以每天的总销售额是1400元；
（2）解：由题意可得(30-x)(60+x)=1400解得x1=-40(舍)或x2=10，
因为每套涨价小于10元，所以也不满足题意，也舍去，所以每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等.
（3）解：由题意可得(30+m)(60-4m)=(30-n)(60+n)整理得(2m-n)(30+2m+n)=0得m：n=使两种方案的销售额相等此时021世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)