2.3 一元二次方程根与系数的关系 课后培优提升训练 （含答案）浙教版2025—2026学年八年级下册

2.3一元二次方程根与系数的关系课后培优提升训练浙教版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．一元二次方程的一根是，则方程的另一根是（ ）
A． B．1 C． D．3
2．若方程的两个实数根为、，则的值为（ ）
A．7 B．3 C． D．
3．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．已知关于x的方程的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A．5或 B．0 C．5 D．
5．若一元二次方程的两个实数根是且满足，则的值为（ ）
A． B．或6 C．6 D．4
6．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b分别为方程的两个不相等的实数根，则值为（ ）
A． B． C．2 D．4
8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．
二、填空题
9．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______．
10．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．
11．设，是方程的两个根，则________．
12．关于的一元二次方程的两实根满足，则__________．
三、解答题
13．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程．
(1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）；
①；②；③；④
(2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根；
(3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由．
14．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
15．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值．
16．【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)若，求的值；
(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长．
17．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的间隔点，称这样的方程为“间隔方程”．
(1)下列方程是“间隔方程”的是________（填序号）．
①；②；③；④．
(2)已知关于x的方程．
求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根且方程是“间隔方程”．
(3)已知不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，求b，c的值．
(4)关于x的一元二次方程是否存在间隔点，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
18．请认真阅读材料
材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，；
材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根；
材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数、满足、，且，求的值．
(2)已知实数、满足、，且，求的值．
(3)已知实数、、满足、，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．B
4．C
5．A
6．A
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．6
11．10
12．
三、解答题
13．【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程；
②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程；
③，，，，，，，故③是“等差”二次方程；
④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程．
综上，符合条件的有①③；
（2）当时，代入原方程得：，
∵由得，
∴将代入得：，
∴，
∵根据韦达定理，，
∴，
∴；
（3）∵，是“等差”二次方程的两个根，
∴根据韦达定理，，，
∵由得，即，
∴，
∴，即，
整理得，
∴．
14．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理，得，
解得．
（2）解：是方程的两个根，
则，，
∵，
∴，
整理，得，
解得，（不满足，舍去），
故．
15．【详解】（1）证明：∵一元二次方程，
∴，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系，，，
又∵，
联立方程组∶ ，
解得，
代入，得，
即，
∴，
∴．
16．【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
解得：，，
，
∴；
（2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长，
∴①或，即是方程的一个根，
将代入得：，
解得：或，
当时，得，方程的另一个根为，
此时三角形三边分别为，周长为17；
当时，得，方程的另一个根为，
三角形三边分别为，
，
此时不能构成三角形；
②，，解得，
此时方程为，解得，
三角形三边分别为，
，
此时不能构成三角形；
综上，三角形的周长为．
17．【详解】（1）解：①∵，
∴，
∴，
解得或
∵，
∴方程不是“间隔方程”；
②∵，
∴，
解得或，
∵，
∴方程是“间隔方程”；
③∵，
∴，
解得，
∵，
∴方程不是“间隔方程”；
④∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴方程是“间隔方程”；
故答案为：②④；
（2）证明：由题意得，
，
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
，
解得，，
∵
方程是“间隔方程”；
（3）解：∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，
∴可设方程的两个实数根为，且满足，
∴，
∴，
∴，
∴
∵不论为何值，关于x的间隔方程的间隔点M始终在直线上，
∴不论为何值，等式一定成立，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
假设关于x的一元二次方程存在间隔点，
∴原方程有两个不相等的实数根，
解方程得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴关于x的一元二次方程存在间隔点，此时．
18．【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根，
可得，，
故．
答：．
（2）解：，
，
，
，，，
和为的两个不相等实数根，
，，
．
答：．
（3）解：由 ，，
可构造，和是方程的两个实数根，
，
，
可得的最大值为2．
答：2．