浙教版数学八年级下册 3.3 离差平方和与方差 一阶
一、选择题
1．（2025八下·雨花期末）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9 C．众数是9 D．方差是2
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.将这10个数从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，取第五个和第六个数的算术平均数，故B正确；
C.观察这组数据，出现次数最多的是10，众数应为10，故C错误；
D.
=1
故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题要牢记平均数、中位数、众数、方差的计算方法或者公式，尤其是方差公式较为复杂，并且计算也要细心，不能出错。
2．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为 102 分，方差 分2.后来甲同学进行了补考，数学成绩为102 分，则加入甲同学的成绩后，关于班级数学成绩，下列说法正确的是 ( )
A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲同学的成绩为102分，原数据的平均分为102分，
∴平均分不变.
∵数据的个数增加，各数据与平均数差的平方的和保持不变，
∴方差变小.
故选C.
【分析】根据平均数及方差的计算方法作出判断。
3．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是（ )。
A．5 B．4 C．30 D．20
【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是：4×5=20.
故答案为：D.
【分析】样本离差平方和 其中n是这个样本的容量， 是样本的平均数.利用此公式直接求解.
4．（2025八下·长沙期末）某班对一小组7名男生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不消楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意可得7个数据中的中位数为31，与被涂污数字无关.
故答案为：C.
【分析】将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数叫做这组数据的平均数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
5．（2025八下·江海期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为乙丁的平均数大于甲丙，说明乙丁的成绩比甲丙好；
且丁的方差比乙小，说明丁的成绩比乙稳定；
因为需要选择成绩好且发挥稳定的运动员，所以应该选择丁；
故答案为D.
【分析】 成绩好且发挥稳定的运动员即为平均数大且方差小的运动员。
6．若一组数据在某种分组情况下的离差平方和为50，组内离差平方和为30，则组间离差平方和为（ ）
A．20 B．30 C．80 D．无法确定
【答案】A
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据在某种分组情况下的离差平方和为50，组内离差平方和为30
∴组间离差平方和=50-30=20
故答案为：A
【分析】根据离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和即可求出答案.
7．（2025八下·南宁期末）某校举行健美操比赛，甲、乙两个班各选10名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是1.65米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．同样整齐 D．无法确定
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲班身高的方差为1.7，乙班身高的方差为0.9．
由于方差越小，数据分布越集中，波动越小，
因此乙班参赛学生的身高更整齐．
故选B．
【分析】本题主要考查了根据方差判断稳定性，方差越小，数据波动越小，越整齐．因为乙班的方差小，所以乙班学生身高更齐整.
8．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
9．（2023八下·南宁期末）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
10．（2024八下·衡山期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
二、填空题
11．（2025八下·滨江期中）数据5，6，7，8，9的标准差是 ．
【答案】
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：∵数据5、6、7、8、9的平均数为，
∴数据5，6，7，8，9的方差为，
∴数据5，6，7，8，9的标准差．
故答案为：．
【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，然后求出标准差．
12．将5个数据1，2，3，4，5分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和是 .
【答案】10
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：第一组的均值为，组内离差平方和为
第二组的均值为，组内离差平方和为
∴这种分组情况的组内离差平方和为8+2=10
故答案为：10
【分析】分别求出两组的组内离差平方和，再求总组内离差平方和.
13．（2025八下·新昌期中）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击平均成绩均为9环，方差分别为：环2，环2，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： 已知甲的射击成绩的方差为2环2，乙的射击成绩的方差为1.5环2。
根据方差的意义，方差越小，数据越稳定。
因此，乙的射击成绩更稳定。
故答案为：乙.
【分析】 根据方差的含义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可判断.
14．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
15．（2025八下·余姚期中） 小明用 计算一组数据的方差，那么 .
【答案】30
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得这组数据的平均数为3，个数为10，
.
故答案为：30.
【分析】由方差公式可得这组数据的平均数为3，个数为10，进而求出这组数据的总和.
三、解答题
16．某市6个区2025年地区生产总值(单位：千亿元)分别是1.1， 1.6 ， 1.2， 1.5， 1.6， 1.1 ，根据组内离差平方和最小原则，把这6个区分成两组.
【答案】解：解：将这组数据按从小到大的顺序排列为1.1，1.1，1.2，1.5，1.6，1.6，将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后四位），如表所示：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第 1 个间隔 0 0.22 0.22
第 2 个间隔 0 0.107 5 0.107 5
第 3 个间隔 0.006 7 0.006 7 0.013 4
第 4 个间隔 0.107 5 0 0.107 5
第 5 个间隔 0.22 0 0.22
观察最后一列组内离差平方和可知，当按第3个间隔分组时，组内离差平
方和最小，因此按组内离差平方和最小的分法是{1.1，1.1，1.2）和{1.5，1.6，1.6}.
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【分析】根据组内离差平方和最小原则即可求出答案.
17．（2024八下·萧山期中） 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）请求出下表中a，b，c的值
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 3.2
（2）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】（1）解：∵甲8环出现的次数最多，
∴甲的众数．
∵乙的成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
∴乙的平均数
乙的中位数，
故答案为：8，8，9；
（2）变小
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(2) ∵乙再射击1次，命中8环，
∴平均数不变，仍是8，
因此每个数据与平均数差的平方的和不变，但数据的个数多1，因此方差变小
故答案为变小.
【分析】
（1）本题考查的是各个统计量的计算，计算公式是关键
众数：一组数据中出现次数最多的数；
平均数：一组数据中每个数据的和除以数据的个数；
（2）
方差：一组 数据中，每个数据与平均数差的平方的和除以数据的个数.
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一、选择题
1．（2025八下·雨花期末）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数是9.5 B．中位数是9 C．众数是9 D．方差是2
2．一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析.甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为 102 分，方差 分2.后来甲同学进行了补考，数学成绩为102 分，则加入甲同学的成绩后，关于班级数学成绩，下列说法正确的是 ( )
A．平均分和方差都不变 B．平均分和方差都改变
C．平均分不变，方差变小 D．平均分不变，方差变大
3．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是（ )。
A．5 B．4 C．30 D．20
4．（2025八下·长沙期末）某班对一小组7名男生一分钟垫排球的个数进行统计，整理数据后发现26，27，2，31，32，38，39中第三个数的个位数字被涂污看不消楚了，则下列统计量中与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．（2025八下·江海期末）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数（cm） 180 185 180 185
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若一组数据在某种分组情况下的离差平方和为50，组内离差平方和为30，则组间离差平方和为（ ）
A．20 B．30 C．80 D．无法确定
7．（2025八下·南宁期末）某校举行健美操比赛，甲、乙两个班各选10名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是1.65米，其方差分别是，，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
A．甲班 B．乙班 C．同样整齐 D．无法确定
8．（2025八下·杭州期中）数据0，，6，1，的众数是，则这组数据的方差为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2023八下·南宁期末）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（2024八下·衡山期末）老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ）
A． B．平均数为8
C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6
二、填空题
11．（2025八下·滨江期中）数据5，6，7，8，9的标准差是 ．
12．将5个数据1，2，3，4，5分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和是 .
13．（2025八下·新昌期中）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击平均成绩均为9环，方差分别为：环2，环2，则射击成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
14．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差 ．
15．（2025八下·余姚期中） 小明用 计算一组数据的方差，那么 .
三、解答题
16．某市6个区2025年地区生产总值(单位：千亿元)分别是1.1， 1.6 ， 1.2， 1.5， 1.6， 1.1 ，根据组内离差平方和最小原则，把这6个区分成两组.
17．（2024八下·萧山期中） 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）请求出下表中a，b，c的值
平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 3.2
（2）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.将这10个数从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，取第五个和第六个数的算术平均数，故B正确；
C.观察这组数据，出现次数最多的是10，众数应为10，故C错误；
D.
=1
故D错误.
故答案为：B.
【分析】本题要牢记平均数、中位数、众数、方差的计算方法或者公式，尤其是方差公式较为复杂，并且计算也要细心，不能出错。
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲同学的成绩为102分，原数据的平均分为102分，
∴平均分不变.
∵数据的个数增加，各数据与平均数差的平方的和保持不变，
∴方差变小.
故选C.
【分析】根据平均数及方差的计算方法作出判断。
3．【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：一组数据的离差平方和为 则该组数据的总和是：4×5=20.
故答案为：D.
【分析】样本离差平方和 其中n是这个样本的容量， 是样本的平均数.利用此公式直接求解.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意可得7个数据中的中位数为31，与被涂污数字无关.
故答案为：C.
【分析】将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数叫做这组数据的平均数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为乙丁的平均数大于甲丙，说明乙丁的成绩比甲丙好；
且丁的方差比乙小，说明丁的成绩比乙稳定；
因为需要选择成绩好且发挥稳定的运动员，所以应该选择丁；
故答案为D.
【分析】 成绩好且发挥稳定的运动员即为平均数大且方差小的运动员。
6．【答案】A
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据在某种分组情况下的离差平方和为50，组内离差平方和为30
∴组间离差平方和=50-30=20
故答案为：A
【分析】根据离差平方和=组内离差平方和+组间离差平方和即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲班身高的方差为1.7，乙班身高的方差为0.9．
由于方差越小，数据分布越集中，波动越小，
因此乙班参赛学生的身高更整齐．
故选B．
【分析】本题主要考查了根据方差判断稳定性，方差越小，数据波动越小，越整齐．因为乙班的方差小，所以乙班学生身高更齐整.
8．【答案】B
【知识点】方差；众数
【解析】【解答】解：根据这组数据的众数是-1，则x=-1，
故这组数据为：0、-1、6、1、-1，由平均数的计算公式得这组数据的平均数=[0+（-1）+6+1+（-1））÷5=1，
由方差的计算公式得这组数据的方差s2= [（0-1）2+（-1-1）2+（6-1）2+（1-1）2+（-1-1）2]=．
故答案为：B．
【分析】根据这组数据的众数是-1，则x=-1，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后运用方差的计算公式S2=（其中n是样本容量，表示平均数）计算方差即可．
9．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，
平均数为：
（11+9+8+6+6）÷5
=40÷5
=8
故A、B选项正确，不符合题意；
添加一个数8后方差为
即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；
这组数据，6出现的次数最多，
即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据方差公式的运算，可直接从方差算式中读出平均数和项数；
根据求方差的公式：，然后与原式对比，即可判断
根据众数的定义：数列中出现次数最多的数，即可众数，据此即可判断
11．【答案】
【知识点】方差；标准差
【解析】【解答】解：∵数据5、6、7、8、9的平均数为，
∴数据5，6，7，8，9的方差为，
∴数据5，6，7，8，9的标准差．
故答案为：．
【分析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，然后求出标准差．
12．【答案】10
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：第一组的均值为，组内离差平方和为
第二组的均值为，组内离差平方和为
∴这种分组情况的组内离差平方和为8+2=10
故答案为：10
【分析】分别求出两组的组内离差平方和，再求总组内离差平方和.
13．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： 已知甲的射击成绩的方差为2环2，乙的射击成绩的方差为1.5环2。
根据方差的意义，方差越小，数据越稳定。
因此，乙的射击成绩更稳定。
故答案为：乙.
【分析】 根据方差的含义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可判断.
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
15．【答案】30
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可得这组数据的平均数为3，个数为10，
.
故答案为：30.
【分析】由方差公式可得这组数据的平均数为3，个数为10，进而求出这组数据的总和.
16．【答案】解：解：将这组数据按从小到大的顺序排列为1.1，1.1，1.2，1.5，1.6，1.6，将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后四位），如表所示：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第 1 个间隔 0 0.22 0.22
第 2 个间隔 0 0.107 5 0.107 5
第 3 个间隔 0.006 7 0.006 7 0.013 4
第 4 个间隔 0.107 5 0 0.107 5
第 5 个间隔 0.22 0 0.22
观察最后一列组内离差平方和可知，当按第3个间隔分组时，组内离差平
方和最小，因此按组内离差平方和最小的分法是{1.1，1.1，1.2）和{1.5，1.6，1.6}.
【知识点】按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【分析】根据组内离差平方和最小原则即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵甲8环出现的次数最多，
∴甲的众数．
∵乙的成绩从小到大排列为：5，7，9，9，10，
∴乙的平均数
乙的中位数，
故答案为：8，8，9；
（2）变小
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(2) ∵乙再射击1次，命中8环，
∴平均数不变，仍是8，
因此每个数据与平均数差的平方的和不变，但数据的个数多1，因此方差变小
故答案为变小.
【分析】
（1）本题考查的是各个统计量的计算，计算公式是关键
众数：一组数据中出现次数最多的数；
平均数：一组数据中每个数据的和除以数据的个数；
（2）
方差：一组 数据中，每个数据与平均数差的平方的和除以数据的个数.
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