浙教版数学八年级下册 3.3 离差平方和与方差 二阶
一、选择题
1．（2024八下·余姚期中）A，B两名田径运动员进行了相同次数的100米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故答案为：C．
【分析】利用平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
2． 甲、乙两组数据的统计图如下， 其中方差较大的一组是( )
A．甲 B．乙 C．一样大 D．不能确定
【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵乙比甲整齐
∴甲的方差较大
故答案为：A.
【分析】根据方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小可得结果.
3．（2024八下·西湖期末）体育课上，体育老师记录了40位同学的实心球成绩，数据分别为，，……．但由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，其实际数据分别为，，……，比较记录成绩和实际成绩这两组数据，统计量不会发生变化的是（ ）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故答案为：A．
【分析】利用中位数，平均数，众数，方差的意义解答即可．
4．（2024八下·云梦期末）如图是甲、乙两射击运动员的次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，设甲、乙这次射击成绩的方差分别为，，则和的大小关系是( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】由折线统计图知甲的数据比乙的数据更加稳定，故.
答案：B.
【分析】数据越稳定方差更小，直接观察数据波动情况即可判断.
5．（3.3离差平方和与方差（1)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）数据m，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的离差平方和是（ ）。
A．60 B．12 C．14 D．2.8
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【解答】解：∵m， 1， 2， 3， 6的平均数为3，
解得m=3，
离差平方和为 .
故答案为：C.
【分析】先根据平均数为3确定m=3，根据离差平方和公式计算即可.
6．（2022八下·镇海区期中）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄(岁) 岁 岁 岁 岁
人数(人)
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义可判断众数和中位数不会发生变化.
7．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
8．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
9．（2025八下·鄞州期中）已知5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，方差为，而a1，a2，a3，a4，这四个数的方差，则下列正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，
∴
∴
∴正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，
∴ 与原数据的平均数相同，
，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平均数的定义得到则正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，分别根据方差的计算法则计算出，即可求解.
10．（2024八下·丽水期末）如图，一个转盘被分成等分，每份内均标有数字，旋转这转盘次，得到个数字，经统计这列数的平均数为，下列判断正确的是( )
A．中位数一定是 B．众数一定是
C．方差一定小于 D．方差一定大于
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：当这列数为1，1，1，3，4时，平均数为，中位数为，众数为1，方差为，故A、B不符合题意；
当这列数为2，2，2，2，2时，平均数为，中位数为2，众数为2，方差为，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中位数、众数、方差的定义，求出平均匀数、中位数、众数、方差，再逐一判断即可．
二、填空题
11．（专题复习 数据分析的综合应用-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）已知2，3，5，m，n五个数的离差平方和为10，则4，5，7，m+2，n+2五个数据的离差平方和为 。
【答案】10
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据都加上2后的新数据的离差平方和不发生改变，
∴ 4，5，7，m+2，n+2五个数据的离差平方和为10，
故答案为：10.
【分析】根据一组数据都加上同一个数得到的新数据的离差平方和不发生改变解答即可.
12．（2025八下·温州期中） 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 .
【答案】3.5
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数为：
∴方差是，
故答案为：3.5 .
【分析】先计算出这组数据的平均数，进而根据方差计算公式计算即可.
13．（2025八下·杭州期中） 据的方差是2，则的方差为 .
【答案】18
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵的方差是2，
∴的方差为
∴的方差为18，
故答案为：18.
【分析】根据当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数，方差乘以这个数的平方，据此计算即可．
14．（2024八下·从江月考）已知点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都在函数y=3x-7的图象上，若数据x1，x2，x3的方差为3，则另一组数据y1，y2，y3的方差为 .
【答案】27
【知识点】平均数及其计算；方差；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设x1、x2、x3的平均数为，方差为S2，则y1、y2、y3的平均数为＝3－7，
∴y1、y2、y3的方差为
＝
＝
＝9×
＝9S2
＝9×3
＝27．
故答案为：27
【分析】设x1、x2、x3的平均数为，方差为S2，则y1、y2、y3的平均数为＝3－7，根据方差的公式结合题意进行运算，进而即可求解.
15． 数据 的平均数为 ， 且 和 是方程 的两个根， 则这组数据的标准差是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；平均数及其计算；标准差
【解析】【解答】解：数据 的平均数为 ，
，化简得，
和 是方程 的两个根，
，
把代入，解得，
.
故答案为：.
【分析】由平均数的定义可得，利用韦达定理可得，进而求得a、b的值，再通过标准差公式求得这组数据的标准差.
三、解答题
16．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环)依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10。
（1）求甲第10次的射击成绩。
（2）求甲这10次射击成绩的离差平方和。
（3）若将这10个数据按从小到大排列，每5个数据一组分成两组，求这种分组情况的组内离差平方和。
【答案】（1）解：根据题意，甲第10次的射击成绩为9×10-(8+10+9+10+7+9+10+8+10)=9(环)。
（2）解：甲这10次射击成绩的离差平方和为
（3）解：将这10个数据按从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，分成两组为{7，8，8，9，9}和{9，10，10，10，10}。
对于第1组数据，
对于第2组数据，
∴组内离差平方和=2.8+0.8=3.6。
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）根据离差平方和的定义解答即可；
（3）先分为两组分别求出两组数据的组内离差平方和，然后再相加求出这组数据的组内离差平方和解答即可.
17．（2024八下·宣化期末）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：cm）
嘉淇的计算 解： ．
（1）分别求出两段台阶高度的中位数；
（2）嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
【答案】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
∴甲路段台阶高度的中位数为（15+15）÷2=15，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
∴乙路段台阶高度的中位数为（15+17）÷2=16；
（2）解：
，
，
，
∵甲、乙路段台阶高度的平均数相等，但甲的方差较小即波动较小，
∴甲路段的台阶走起来更舒服一些．
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）将一组数据按顺序排列，如果奇数位最中间的数据为中位数，如果是偶数位最中间两个数据的平均数为中位数.
（2）设有n个数据x1、x2、x3、.....xn，各数据平均数是，则方差为，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大.
1 / 1浙教版数学八年级下册 3.3 离差平方和与方差 二阶
一、选择题
1．（2024八下·余姚期中）A，B两名田径运动员进行了相同次数的100米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2． 甲、乙两组数据的统计图如下， 其中方差较大的一组是( )
A．甲 B．乙 C．一样大 D．不能确定
3．（2024八下·西湖期末）体育课上，体育老师记录了40位同学的实心球成绩，数据分别为，，……．但由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，其实际数据分别为，，……，比较记录成绩和实际成绩这两组数据，统计量不会发生变化的是（ ）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
4．（2024八下·云梦期末）如图是甲、乙两射击运动员的次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，设甲、乙这次射击成绩的方差分别为，，则和的大小关系是( )
A． B． C． D．无法确定
5．（3.3离差平方和与方差（1)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）数据m，1，2，3，6的平均数为3，则这组数据的离差平方和是（ ）。
A．60 B．12 C．14 D．2.8
6．（2022八下·镇海区期中）数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：
年龄(岁) 岁 岁 岁 岁
人数(人)
那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（ ）
A．平均数、方差 B．中位数、方差
C．平均数、中位数 D．众数、中位数
7．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
8．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
9．（2025八下·鄞州期中）已知5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，方差为，而a1，a2，a3，a4，这四个数的方差，则下列正确的是
A． B． C． D．
10．（2024八下·丽水期末）如图，一个转盘被分成等分，每份内均标有数字，旋转这转盘次，得到个数字，经统计这列数的平均数为，下列判断正确的是( )
A．中位数一定是 B．众数一定是
C．方差一定小于 D．方差一定大于
二、填空题
11．（专题复习 数据分析的综合应用-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）已知2，3，5，m，n五个数的离差平方和为10，则4，5，7，m+2，n+2五个数据的离差平方和为 。
12．（2025八下·温州期中） 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 .
13．（2025八下·杭州期中） 据的方差是2，则的方差为 .
14．（2024八下·从江月考）已知点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都在函数y=3x-7的图象上，若数据x1，x2，x3的方差为3，则另一组数据y1，y2，y3的方差为 .
15． 数据 的平均数为 ， 且 和 是方程 的两个根， 则这组数据的标准差是
三、解答题
16．（3.3离差平方和与方差（2)-【全优方案夯实与提高】浙教版数学八年级下册）甲进行了10次射击训练，平均成绩为9环，且前9次的成绩（单位：环)依次为：8，10，9，10，7，9，10，8，10。
（1）求甲第10次的射击成绩。
（2）求甲这10次射击成绩的离差平方和。
（3）若将这10个数据按从小到大排列，每5个数据一组分成两组，求这种分组情况的组内离差平方和。
17．（2024八下·宣化期末）某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：cm）
嘉淇的计算 解： ．
（1）分别求出两段台阶高度的中位数；
（2）嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照如下她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故答案为：C．
【分析】利用平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
2．【答案】A
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵乙比甲整齐
∴甲的方差较大
故答案为：A.
【分析】根据方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小可得结果.
3．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故答案为：A．
【分析】利用中位数，平均数，众数，方差的意义解答即可．
4．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】由折线统计图知甲的数据比乙的数据更加稳定，故.
答案：B.
【分析】数据越稳定方差更小，直接观察数据波动情况即可判断.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【解答】解：∵m， 1， 2， 3， 6的平均数为3，
解得m=3，
离差平方和为 .
故答案为：C.
【分析】先根据平均数为3确定m=3，根据离差平方和公式计算即可.
6．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义可判断众数和中位数不会发生变化.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
8．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
9．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，
∴
∴
∴正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，
∴ 与原数据的平均数相同，
，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平均数的定义得到则正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，分别根据方差的计算法则计算出，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：当这列数为1，1，1，3，4时，平均数为，中位数为，众数为1，方差为，故A、B不符合题意；
当这列数为2，2，2，2，2时，平均数为，中位数为2，众数为2，方差为，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中位数、众数、方差的定义，求出平均匀数、中位数、众数、方差，再逐一判断即可．
11．【答案】10
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：∵一组数据都加上2后的新数据的离差平方和不发生改变，
∴ 4，5，7，m+2，n+2五个数据的离差平方和为10，
故答案为：10.
【分析】根据一组数据都加上同一个数得到的新数据的离差平方和不发生改变解答即可.
12．【答案】3.5
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数为：
∴方差是，
故答案为：3.5 .
【分析】先计算出这组数据的平均数，进而根据方差计算公式计算即可.
13．【答案】18
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵的方差是2，
∴的方差为
∴的方差为18，
故答案为：18.
【分析】根据当数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以同一个数，方差乘以这个数的平方，据此计算即可．
14．【答案】27
【知识点】平均数及其计算；方差；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设x1、x2、x3的平均数为，方差为S2，则y1、y2、y3的平均数为＝3－7，
∴y1、y2、y3的方差为
＝
＝
＝9×
＝9S2
＝9×3
＝27．
故答案为：27
【分析】设x1、x2、x3的平均数为，方差为S2，则y1、y2、y3的平均数为＝3－7，根据方差的公式结合题意进行运算，进而即可求解.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；平均数及其计算；标准差
【解析】【解答】解：数据 的平均数为 ，
，化简得，
和 是方程 的两个根，
，
把代入，解得，
.
故答案为：.
【分析】由平均数的定义可得，利用韦达定理可得，进而求得a、b的值，再通过标准差公式求得这组数据的标准差.
16．【答案】（1）解：根据题意，甲第10次的射击成绩为9×10-(8+10+9+10+7+9+10+8+10)=9(环)。
（2）解：甲这10次射击成绩的离差平方和为
（3）解：将这10个数据按从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，分成两组为{7，8，8，9，9}和{9，10，10，10，10}。
对于第1组数据，
对于第2组数据，
∴组内离差平方和=2.8+0.8=3.6。
【知识点】平均数及其计算；离差平方和
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）根据离差平方和的定义解答即可；
（3）先分为两组分别求出两组数据的组内离差平方和，然后再相加求出这组数据的组内离差平方和解答即可.
17．【答案】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
∴甲路段台阶高度的中位数为（15+15）÷2=15，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
∴乙路段台阶高度的中位数为（15+17）÷2=16；
（2）解：
，
，
，
∵甲、乙路段台阶高度的平均数相等，但甲的方差较小即波动较小，
∴甲路段的台阶走起来更舒服一些．
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）将一组数据按顺序排列，如果奇数位最中间的数据为中位数，如果是偶数位最中间两个数据的平均数为中位数.
（2）设有n个数据x1、x2、x3、.....xn，各数据平均数是，则方差为，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大.
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