中小学教育资源及组卷应用平台
温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 一元二次方程根与系数的关系
课型： 设计时间： 2026 年 3 月 12 日
学习核心内容 一元二次方程根与系数的关系
学习目标 评价设计（指向学习目标）
能准确表述一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能直接应用它求已知方程的两根之和与积，或由根的关系求方程系数（如作业题第1， 5题）。 2、经历“观察特例—提出猜想—严格证明—应用拓展”的完整探究过程，体会从特殊到一般、再由一般指导特殊的认识规律，发展数学抽象、逻辑推理和归纳概括能力。 3、在发现数学内在规律的过程中感受数学的对称美与和谐美，在合作探究与证明中培养严谨的科学态度。 1、探究过程评价：通过“合作学习”环节，观察学生能否从具体方程的解中准确计算出两根和与积，并有效归纳出与系数的关系。 理解应用评价：通过“课内练习”及提问（如：不求解，直接说出方程2x -5x+1=0的两根和与积），评价对 公式的即时理解和应用能力。 综合运用评价：通过作业题第3、4、6题的完成情况，评价学生运用根与系数关系解决实际问题和进行代数 证明的综合能力。
学习过程设计
一、复习旧知，情境引入 复习提问：请学生用公式法写出方程 ax +bx+c=0 (a≠0)的两个根 x 和 x 的表达式。 学生回答： ， 。 问题提出：教师引导：“这两个根 x 和 x 是由系数 a, b, c决定的。除了求根公式，它们与系数之间是否还有更直接、更简洁的数量关系呢？今天我 们一起来探索。”（板书课题） 二、合作探究，发现猜想 合作学习（对应教材活动）：学生分组完成教材中的“先解下列方程，然 后计算这些方程的两根之和与两根之积”。 1、解方程：x - 12x + 11 = 0，计算 x + x 与 x x 。 2、解方程：2x - 13x + 15 = 0，计算 x + x 与 x x 。 3、解方程：4x + 20x + 25 = 0，计算 x + x 与 x x 。 观察归纳：各小组汇报计算结果。教师引导学生将每组的 x + x 和 x x 与方 程的系数 a, b, c进行对比观察。 提出猜想：学生尝试用语言描述发现的规律。教师引导并板书猜想：对于 ax +bx+c=0 (a≠0)，可能有 ， 。 三、推理证明，形成定理 代数证明：师生共同完成猜想的严格证明。 1、前提回顾：明确 x , x 是方程的两个根，且 b -4ac ≥ 0。 和的计算： 3、积的计算： 强调：1、证明过程中运用了平方差公式，体现了代数变形的力量。教师 明确此关系称为“韦达定理”。 强调使用定理的前提是方程有实数根（Δ ≥ 0），且 a ≠ 0。 四、初步应用，巩固新知 直接应用： 1、口答：方程 3x - 7x + 2 = 0的两根之和是 ，两根之积是 。 2. 2、已知方程 x + px + q = 0的两根是 -2和 5，则 p = ____, q = ____。 例题精讲（作业题引导）： 例1（作业题1型）：设 x , x 是方程 2x - 4x - 1 = 0的两根，不求解，求 (1) x + x ; (2) x x 。 例2（作业题5型）：已知一元二次方程二次项系数为2，一根为2，且常数项为6，求另一根并写出方程。 引导：设一根为，另一根为，利用根与系数的关系列出方程组求解。 学生常见问题预设： 1、符号错误：最容易将 记成 。 2、前提遗忘：应用定理时不考虑判别式 Δ ≥ 0的条件。 3、变形困难：面对求 、等变形问题时，不知如何转化为 和 的表达式。 应对策略： 1、编口诀：“一根和，负a分b；一根积，a分c”。强调“和”的分子是“-b”。 2、在例题讲解中，养成先判断或提及“方程有实根”的习惯。 3、通过典型例题（如求 ）示范恒等变形的通法。
作业内容： 基础题：教材P46 作业题 A组：第1题（直接填空计算和与积）、第5题（由根求方程）。（必做） 能力题：P46作业题：第3题（长方形周长面积问题）、第4题（证明 ）（选做） 拓展探究（自主） 教材作业题第6题：求证 ：的两个根。求证： （提示：可从右边展开，利用韦达定理代入，验证等于左边）
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：2.3 一元二次方程根与系数的关系 根与系数的关系： 例1、… 两根之和： 两根之积： 例2、…
教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
