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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 2.4一元二次方程的应用（1）——销售、增长率问题
课型： 新授课 设计时间： 2026 年 3 月 12日
学习核心内容 销售利润、投资增长、物理运动和贷款增长等问题
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1、能根据具体问题（如增长率、利润问题）中的数量关系列出一元二次方程，并求解、检验和作答。 经历从实际问题中抽象出数学问题（列方程）、求解数学问题、并回归原问题解释结果的全过程，增 强数学建模能力和应用意识。 在解决贴近生活的实际问题中，体会数学的实用价值，增强用数学眼光观察世界、用数学思维分析问 题的兴趣和信心。 过程性评价：在“分析探究”环节，通过提问引导学生分析“增长次数”与“指数”的关系、“降价”与“销量”、“单利”的关系，评价其对核心 数量关系的理解深度。 2、纸笔评价：通过课堂练习（“做一做”）和课后作业（教材A组题），评估其列方程的准确性和解题过程的完整性（设、列、解、验、答）。 3、综合应用评价：通过B组题（如竖直上抛运动、贷款增长问题）的完成情况，评价其迁移建模能力和解决跨学科/复杂情境问题的能力。
学习过程设计
一、创设情境，导入新课 情境引入：展示教材“花圃盈利”问题（例1）。 师生共读：引导学生找出关键信息：“每盆植入4株，单株盈利3元”；“每 增加1株，单株盈利减少0.2元”；“目标：每盆盈利18元”。 提出问题：“如何通过调整种植株数来实现目标盈利？这能用我们学过的方 程知识解决吗？”引出课题。 二、合作探究，掌握模型 1、营销利润模型（教材例1） 分析数量关系：引导学生用列表或线段图梳理。 设每盆增加x株。则每盆株数(4+x)；平均单株盈利(3-0.2x)元。 等量关系：每盆盈利 = 每盆株数 × 平均单株盈利。 建立方程：根据等量关系列出方程：(4+x)(3-0.2x)=18。 求解与检验：学生解方程（x =1, x =6）。引导学生讨论两个解的合理性：都符合题意，对应两种种植方案（5株或10株）。 归纳模型：营销利润问题的核心是找到“总利润=单件利润×销量”，并注意“价格变动”与“销量变动”的联动关系。 2、平均变化率模型（教材“做一做”/作业题第2题） 呈现问题：某市2023年绿化投资为a万元，2025年达到1.75a万元，求年 平均增长率x。 理解“连续增长”：通过线段图或乘方意义，帮助学生理解： 2024年投资额：a(1+x)； 2025年投资额：在2024年基础上再增x，即 a(1+x)(1+x) = a(1+x) 。 建立方程：a(1+x) = 1.75a。强调a可约去，得 (1+x) =1.75。 归纳模型：若起始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后量为b，则模 型为 a(1+x) = b（降低则为1-x）。 三、巩固应用，内化方法 1、营销类（对应作业题A组第1题）：超市饮料降价问题。学生独立分析“每降1元，多售20箱”，仿照例1完成设元、列表、列式。 （对应作业题A组第2题）：绿化投资增长问题。直接应用 a(1+x) =b模 型求解。 教师巡导：重点关注学生设未知数是否明确、等量关系寻找是否准确、解方 程后是否进行合理性检验（如增长率是否为负、降价幅度是否合理等）。 四、课堂小结，提炼升华 思想方法小结：引导学生回顾，列方程解应用题的关键步骤是“审、设、 列、解、验、答”，核心是寻找等量关系。 2、两类模型小结： 营销利润问题：关注“单件利润”与“销量”的乘积关系及反向联动变化。 平均变化率问题：把握“连续增长（降低）”的指数模型 a(1±x) =b。 挑战预告：下节课我们将应用这些方法解决更复杂的几何问题和运动问题 （如B组第3、4题）。 学生常见问题预设： 等量关系模糊：在利润问题中，容易混淆“总利润”、“单件利润”、“总售 价”、“成本”等概念。 增长率理解偏差：误将两年总增长率直接除以2作为年平均增长率；对 (1+x) 的理解不深入。 忽视实际检验：求出方程的解后，忘记检验是否符合实际意义（如人数、 件数为正整数，增长率、降价率在合理范围内）。 应对策略： 使用表格辅助分析，明确区分各个量。强调“利润=售价-进价”等基本关 系。 2、用具体数字举例（如100元增长两次，每次10%，结果不是120元而是121元），帮助学生直观理解复式增长。 3、在板书和示例中，将“检验”作为必要步骤单独列出并强调。
作业内容： 基础题：P50 教材作业题”A组：第1题（超市饮料降价）、第2题（绿化投资增长率）。（必做） 提升题：教材“作业题”B组：第3题（竖直上抛运动）、第4题（公司贷款与增长）。 提示：第3题需将物理公式h=v t- gt 视为关于t的一元二次方程；第4题需理解“还清本息后盈余72万”的含义来建立等量关系。(选做） 实践探究（自主） 自编问题：请调查一种你感兴趣的商品（如文具、书籍）的进价和售价，假设通过某种促销方式（降价或提价）会影响销量，设计一个使总利润达到指定目标的问题，并列出方程（不要求解）。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 2.4一元二次方程的应用（1）——销售、增长率问题 列方程解应用题的关键步骤 例1、… ①审清题意 ②设未知数 ③列方程 例2、… ④解方程 ⑤检验 ⑥作答” 列方程核心是寻找等量关系。 ①单件利润销售数量=总利润 ②利润=售价—进价 ③ ④
教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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