2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A B D C A C D
1．B
本题考查一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可．
解：A．方程含有两个未知数，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．方程含有两个未知数，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．方程不是整式方程，则该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案．
解：根据题意，由常数项为2，
则，
解得：或，
∵，
∴，
∴或都符合题意．
故选：C．
3．C
本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程．
解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，
∴ 第一轮后患者总数为：人，
第二轮传染时，有个患者，每人传染x人，
∴ 第二轮新增患者为：人，
∴ 两轮后总患者为：人，
故方程为：．
故选：C．
4．A
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解．
解：由题意得
，
解得：，
设另一根为，
，
解得：，
当为腰时，
此种情况不符合；
当为腰时，
，
符合题意，
的周长为：，
故选：A．
5．B
本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．根据运算定义将方程转化为二次方程，计算判别式并分析其恒正，即可求解．
解：∵，
∴，
即．
判别式．
∵，
∴恒成立．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．D
本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得．
解：①当，即时，则，
解得或（不符合题设，舍去）；
②当，即时，，
解得或（不符合题设，舍去）；
综上，的值为3或，
故选：D．
7．C
本题考查了解分式方程，判别式的应用，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，因为关于x的方程恰有一个实根，故，即，再把代入进行计算，得，符合题意；第二种情况：方程有两个不等的实数根， 即方程有一个根为0或2．再进行分析，逐步计算，即可作答．
解：把去分母，
得．
方程的根的情况有两种：
第一种情况：方程有两个相等的实数根，
即．
解得．
当时，则，
整理得
得．
第二种情况：方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，
即，解得或
即方程有一个根为0或2．
当时，代入式得，即．
当时，解方程，
整理得，
解得或．
而是增根，即这时方程①的另一个根是．它不使分母为零，确实是原方程的唯一根．
当时，代入①式，得，即．
当时，解方程，
则，或
此时是增根，故为方程的唯一实根；
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6，共3个．
故选：C．
8．A
本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根．
解：将方程整理为：，
令，则方程变为，与原方程形式相同，
∵是关于y的方程的一个根，
∴，
∴，
∴关于x的方程必有一个根为2024，
故选：A．
9．C
本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和增长次数的关系，是解题的关键．
10月份的月利润300万元，11月份和12月份利润的平均增长率为，11月份和12月份的利润合计为800万元，列方程即可．
解：∵11月份和12月份利润的平均增长率为，10月份的利润300万元，
∴11月份的利润万元，
∴12月份的利润万元，
∴．
故选：C．
10．D
本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可．
解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
根据题意，得，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
，
∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故选：D．
11．
此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
12．
本题考查一元二次方程的解，根据题意把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
13．16
先将方程整理为标准形式，利用直接开平方法得出根的特征（互为相反数），再根据根的和为求出的值，进而得到方程的两个根，最后代入原方程求出的值．
解：方程化为一般形式为 ，设两根分别为 ，，
则由根与系数的关系，有 ，即 ，
解得 ．
又 ，即 ，
代入
得 ，
∴ ．
故答案为：．
本题考查了直接开平方法解一元二次方程和根的性质，解题关键是发现方程的两个根互为相反数，从而利用两根之和为求出的值，再代入求解．
14．或
设菱形的两条对角线长分别为，根据菱形的面积公式得到，根据根与系数的关系得到，求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长分别为2和，再利用菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定即可求解．
解：设菱形的两条对角线长分别为，
∵菱形的面积，
∴，
∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
解得：，，
∴菱形的两条对角线长分别为2和，
如图，菱形的对角线，，
则，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵菱形，
∴，，
∴该菱形的一个内角的度数为或．
故答案为：或．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定，掌握菱形的性质是解题的关键．
15．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键．
解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，
设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，
即：，，，
根据题意可得：，
即：，
解得：，（舍去），
答：甲走了步．
故答案为：．
16．
此题考查一元二次方程的实际运用，利用单利润销售的数量获得的利润列出方程解答即可．
解：设每个口风琴的定价应该是元，
，
解得：，，
∵尽可能多地让利给消费者，
∴，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
本题主要考查了解一元二次方程，
对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解；
对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解．
（1）解：，
移项，得，
配方，得，
即，
，
，；
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
或，
解得，．
18．(1)；
(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．
（1）解：设与之间的函数表达式为，
将，代入得
，
解得，
与之间的函数表达式为；
（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：
依题意得，
整理得，
∴，
∴该商品日销售额不能达到元．
19．(1)
(2)，或，
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义方程的应用，掌握利用韦达定理结合新定义条件，分情况讨论求解，注意根不为0的限制是解题的关键．
（1）设方程的两根为和，利用韦达定理的两根和与积，代入方程系数求的值
（2）设方程的两根，根据既是倍根又是方根的条件分两种情况讨论，利用韦达定理求和的值，注意根不为0的条件．
（1）解：设方程的两个根分别为，．
∵该方程是“倍根方程”，
∴可设．
，，
，，
，
．
（2）解：设方程的两个根为，．
∵这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
∴分以下两种情况讨论：
①当，时，得，
解得或（不合题意，舍去），
．
，，
，；
②当，时，得，
解得或（不合题意，舍去），
．
，，
，．
综上，，或，．
20．不相等；（1）米；（2）米
本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）梯子长度始终不变，设底端滑动x米，滑动后，梯子和墙仍能构成直角三角形，用勾股定理解三角形即可；
（2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离， 同（1）根据勾股定理列出方程求解．
解：底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离不相等．
由题意知，，，，
．
（1）设底端滑动x米，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
即梯子顶端下滑米，则底端滑动米；
（2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离，
由题意得，，
解得，（不舍题意，舍去），
即梯子顶端下滑2米正好等于底端滑动的距离．
21．人
本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程并求解．设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，根据“周末场和工作日场的票房收入均为元，周末场观影人数比工作日场多人”列出方程，求解并检验即可解答．
解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不符题意，舍），
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：工作日场的观影人数是人．
22．(1)见解析
(2)或3
本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证；
（2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果．
（1）证明：
．
∵，
∴．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得，．
∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数，
∴或3．
23．(1)①5米；②不能，见解析
(2)米
（1）①设段的长为米，则花圃的长边为米，根据矩形的面积列出方程求解即可，注意取舍；
②若，根据方程的判别式解答即可；
（2）设段的长为米，需要用的篱笆是米，依题意可得方程，然后根据阅读材料的方法求解即可．
（1）解：①设段的长为米，则花圃的长边为米，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴，
∴不合题意，舍去，
故段的长为米；
②若，
整理，得
因为，
所以不可能达到50平方米；
（2）解：设段的长为米，需要用的篱笆是米，
依题意得，
∴，此时，即，
∴要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是米．
本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
24．(1)或
(2)或
(3)或
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案；
（2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围；
（3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值．
（1）解：∵
或
解得：或
∴不等式的解集是或；
（2）解：，令
∴．
∴．
∴．
令，
，．
∴或
（3）解：令
，
当时，，且，
存在一个，使得，
当时，有解，
，
，
最小值为，最大值为，
，是方程的解，
或
∴或(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·冲刺卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 由一元二次方程的定义求参数
3 0.65 传播问题(一元二次方程的应用)
4 0.65 判断是否是一元二次方程的解；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的定义
5 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况
6 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程
7 0.65 因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数；根据分式方程解的情况求值
8 0.65 由一元二次方程的解求参数
9 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
10 0.4 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 一元二次方程的定义；由一元二次方程的定义求参数
12 0.65 判断是否是一元二次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
13 0.65 解一元二次方程——配方法
14 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；利用菱形的性质求角度；用勾股定理解三角形
15 0.65 列代数式；行程问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
16 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
18 0.65 求一次函数解析式；营销问题(一元二次方程的应用)
19 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
20 0.65 公式法解一元二次方程；求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；因式分解法解一元二次方程
21 0.65 因式分解法解一元二次方程；分式方程的其它实际问题
22 0.65 因式分解法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据一元二次方程根的情况求参数
23 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
24 0.4 因式分解法解一元二次方程；求一元一次不等式的解集；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·冲刺卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（ ）
A．3 B．2 C．2或3 D．5
3．有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ）
A．14 B．10 C．14或10 D．10或12
5．定义运算：，例如：，则关于的方程的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定
6．对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（ ）
A．3或 B．或
C．或 D．3或
7．已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
9．在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
12．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
13．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是和，则的值等于 ．
14．现有一个面积为的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为 ．
15．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步．
16．某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每个口风琴的定价应该是 元．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价/元
日销售量/件
(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
19．新定义：若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；若关于的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求，的值．
20．如图，一条长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，回答下列问题：
（1）梯子顶端下滑米，则底端滑动几米？
（2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端滑动的距离？
21．今年春节的动画电影《哪吒2》火爆影院，成为全民话题，其票房与文化影响力的双重爆发不仅印证了国漫的崛起，更通过角色成长与叙事内核传递了深刻的教育哲学．它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．《哪吒2》的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值．
23．阅读材料：
①对于任意实数和，都有，∴，于是得到，
当且仅当时，等号成立．
②任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果，则．
如：等．
例：已知，求证：．
证明：∵，∴
∴，当且仅当时，等号成立．
请阅读上述材料并解答下列问题：如图，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙的最大可用长度为14米），中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)若所用的篱笆长为22米．
①若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的段长为多少？
②这个花圃的最大面积能否达到50平方米？通过计算说明理由．
(2)若要围成面积为75平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
24．阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，
解：，可化为，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得，
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围：
解：令
即
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．
(1)直接写出不等式的解集是__________；
(2)求出代数式的取值范围；
(3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值．
