2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）下列属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实根
B．当时，方程无解
C．当时，方程只有一个实根
D．当时，方程一定有两个不相等的实根
5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上（ ）
A．9 B．6 C．36 D．3
7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
8．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ）
A．1， B．1， C．2， D．3，0
9．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③存在实数，使得；
④若是方程的一个根，则一定有成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（24-25八年级下·浙江·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ．
13．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是 ．
14．（24-25八年级下·浙江·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程：则；
③若满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有．
16．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近．他关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2阴影部分每个正方形的边长为 ，中间小正方形的边长x为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（24-25八年级下·浙江金华·月考）解下列方程：
(1)
(2)
18．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程．
(1)若方程的一个根为2，求的值．
(2)当时，求证：方程有两个实数根．
19．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
(2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
20．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
21．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
①；②；③．
(2)已知方程是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程是“邻根方程”，求证：．
22．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
23．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______．
(2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
24．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值；
(3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值．(共6张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第2章 一元二次方程
单元测试·真题重组卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 判断是否是一元二次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
3 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
4 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况
5 0.65 公式法解一元二次方程
6 0.65 解一元二次方程——配方法
7 0.65 一元二次方程的定义；因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数
8 0.65 由一元二次方程的解求参数
9 0.64 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
10 0.4 由一元二次方程的解求参数；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据判别式判断一元二次方程根的情况
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 判断是否是一元二次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
12 0.75 一元二次方程的定义
13 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
14 0.65 由一元二次方程的解求参数
15 0.4 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
16 0.65 解一元二次方程——配方法；完全平方公式在几何图形中的应用
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
18 0.75 由一元二次方程的解求参数；根据判别式判断一元二次方程根的情况
19 0.65 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
21 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
22 0.65 由一元二次方程的解求参数
23 0.65 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
24 0.4 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第2章 一元二次方程 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A B A C C C D
1．C
本题考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、不是整式方程，即不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．A
本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，理解一元二次方程的解和整体代入思想是解题关键．
根据是方程的根，得出、，对代数式变形后将其代入即可求解．
解：是方程的一个根，
，
，，
，
．
故选：A．
3．B
本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设平均每天的票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
4．A
本题考查一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解．需分别代入各选项中的k值，计算判别式或直接解方程，判断根的情况．
A：当时，方程为，解得，有两个不相等的实根，正确．
B：当时，方程为，解为，有解，原说法错误．
C：当时，方程为：，判别式，方程有两个不相等的实根，原说法错误．
D：当时，判别式．当时，，方程有两个相等实根，故“一定有两个不相等的实根”错误．
故选A．
5．B
本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论．
解：是关于的一元二次方程，
，
由求根公式，得，
∴或，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴；
故选B．
6．A
本题考查的是配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握完全平方式．
要使方程左边配成一个完全平方式，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方．
解：用配方法解方程，
两边都加上9，
得，
得．
故选：A．
7．C
本题考查了一元二次方程的定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程，排除不符合条件的解即可．
解：∵关于的一元二次方程的两个实数根相等，
，且
解得（舍）或，
故选：C．
8．C
本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案．
解：由题意知，方程的两根互为相反数，
，
解得，
，
故选：C．
9．C
本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值．
解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，
∵，小正方形的面积为，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∴，
∴，
∵小正方形的边长为，即，
∵，
即，
故，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10．D
此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键．
一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可．
命题①：∵方程有两个不等实根，
∴根判别式．
∴原方程的判别式为，
原方程必有两个不等实根．
∴①正确．
命题②：∵是方程的根，
∴，
∴．
∴．
∴②正确．
命题③：∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
存在实数m、n满足此条件（如取，）．
∴③正确．
命题④：∵c是方程的根，
∴，
∴．
当时，方程成立但不一定为0．
∴④错误．
综上，正确的命题为①②③，
故选：D．
11．2033
本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可．
解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
解：根据题意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案为：．
13．
本题主要考查了不等式的性质，一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，从而把用， 表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可．
解：∵关于x的方程的两根为，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
14．
本题主要考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键．
根据题意将代入方程可得关于的方程，解方程即可求出的值．
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得：．
故答案为：．
15．①③④
本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可．
解：①，
，
解得：，
方程是倍根方程；
故①正确；
②解方程，
解得：
是倍根方程，
或即或，
，，
，
故②不正确；
③，
解方程得：
，
故③正确；
④设方程的根为，
关于的方程是倍根方程，
令，
；故④正确．
故答案为：①③④．
16． 1
本题考查解一元二次方程的几何解法，解题的关键是要读懂题目意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
根据已知数学模型，同理可得阴影部分的边长为，先计算出大正方形的面积等于中间部分面积加上4个阴影部分小正方形面积，可得大正方形的边长，从而得到结论．
，
，
解得，
图2阴影部分每个正方形的边长为，中间小正方形的边长x为1．
故答案为：；1．
17．(1)，
(2)，
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得；
（2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得．
（1）解：，
，
或，
所以方程的解为，．
（2）解：，
，
，
，
，
，
所以方程的解为，．
18．(1)
(2)见解析
本题主要考查一元二次方程根的定义及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
（1）把代入方程可得，然后代入求解即可；
（2）首先由得到，然后由判别式即可证明．
（1）把代入，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
19．(1)10米
(2)不能，理由见解析
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
（1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解；
（2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解．
（1）解：设的长为米，则米
由题意可得：，
解得：，，
，即：，
，
∴的长为10米；
（2）花圃的面积不能达到．理由如下：
设的长为米，
由题意可得：，
化简得，
△，
方程无解，
花圃的面积不能达到．
20．(1)日平均增长率为
(2)每个玩偶降价元
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（1）解：设日平均增长率为，
由题意得：，
解得：（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，
由题意得：，
解得：（舍），
答：每个玩偶降价2元．
21．(1)③
(2)或
(3)见解析
本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可；
（2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可；
（3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可．
（1）解：，解得：，
∴，故①不是“邻根方程”；
，解得：；
∴，故②不是“邻根方程”；
，解得：，
∴；故③是“邻根方程”；
故答案为：③
（2）解：方程的两根为，
方程是“邻根方程”，
，即，
或；
（3）证明：设，是方程的两个根，
由根与系数的关系得：，，
方程是“邻根方程”，
，，
，
．
22．(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析
(2)见解析
(3)或
本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
（2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．
23．(1)
(2)
(3)2
本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键．
（1）根据“最值码”定义求解即可．
（2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程” 的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
24．(1)；
(2)；
(3).
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“快乐方程”、“快乐数”的定义探索、之间的关系.
根据“快乐数”的定义计算，即可得到结果；
因为关于的一元二次方程是“快乐方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知；
整理可得：，可知当，时有最小值，最小值为，又因为两个方程的“快乐数”相等，所以有，整理可得：，
分情况求出、的值，然后根据的值分情况讨论，即可得到结果.
（1）解：中，，，，
，
故答案为：；
（2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程，
，
其中是完全平方数，且为整数，且，
或，
当时，，
当时，，
是完全平方数，不是完全平方数，
；
（3）解：一元二次方程的快乐数为：
，
一元二次方程的快乐数为：
，
两个方程的快乐数相等，
，
整理得：，
左边分解因式得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
要取最小值，
当，时有最小值，最小值为，
此时，，
，
不符合题意，
当，或，时，有最小值，
最小值为，
当，时，
方程中，
方程中，
是完全平方数，
符合题意；
当，时，
方程中，
方程中
是完全平方数，
符合题意．
的最小值是．
