(共14张PPT)
第1章 二次根式
1.3 二次根式的运算
第1课时 二次根式的乘除
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
根据二次根式的性质,我们可以得到:
(1) × = (a≥ 0,b ≥ 0);(2) = (a≥ 0,b > 0).
≥
≥
≥
>
1. (2025·广东)计算 × 的结果是( B )
A. 3 B. 6 C. D. 2
2. 下列各式中,计算正确的是( B )
A. ÷ =9 B. ÷ =
C. ÷ =4 D. ÷ =3
3. 计算 × ÷2 × 的结果是( C )
A. B. C. 1 D.
B
B
C
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4. 等式 · = 成立的条件是 x≥1 .
5. 计算:
(1) × × = 6 ;
(2) = - .
x≥1
6
-
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6. 计算: = 2 .
7. 某精密仪器的一个零件上有一个长方形孔,其面积是4 cm2,宽为 cm,则这个孔的长为 cm.
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(1) × ;
解:原式= = =6
(2) 3 ×2 ;
解:原式=6 =6 =12
(3) 2 × ;
解:原式=2×(-3)× =-6 =-4
8. (教材变式)计算:
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(4) - ÷ ;
解:原式=- =- =- =-3
(5) .
解:原式= = = =
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9. 已知m= ×(-2 ),则下列结论正确的是( A )
A. 5
C. -510. (易错题)计算: · = 8a .
11. 若要使 × 的结果是整数,则整数x的值是 2或18 .
A
8a
2或18
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12. (方程思想)(教材变式)如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,BD是△ABC的高,则BD= .
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13. (教材变式)解方程:
(1) 5 x+ =0;
解:5 x+ =0.移项,得5 x=- .系数化为1,得x=- =- =-1
(2) (x+1)= .
解: (x+1)= .两边同除以 ,得x+1=3.移项,得x=2
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14. 计算:
(1) ×4 ÷()2;
解:原式=4 ÷5=4×2÷5=
(2) -5 × ×3 ;
解:原式=-5×3× =-15×2 =-30
(3) ÷ × .
解:原式=(1× × )× =15
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15. 阅读下面的解题过程:
2 = × = = ;
-3 =- × =- =- .
利用上述解法化简下面各式:
(1) 10 ;
解:10 = =
(2) x .
解:因为- >0,所以x<0.所以x =- · =-
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16. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,S△ABC=3 ,BC= ,CD⊥AB于点D. 求AC,CD的长.
解:在Rt△ABC中, S△ABC= AC·BC. 所以AC= = =2 .在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= = =3 .因为CD⊥AB,所以S△ABC=
AB·CD. 所以CD= = =
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16(共13张PPT)
第1章 二次根式
1.2 二次根式的性质
第2课时 积、商的算术平方根的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一般地，二次根式有下面的性质：
（1） ＝ × （a≥0，b≥0）；（2） ＝ （a≥0，b＞0）.
2. 在根号内不含 分母 ，也不含 开得尽方 的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式.二次根式化简的结果应为 最简二次根式 .
×
分母
开得尽方
最简二次根式
1. 下列关于 的叙述中，错误的是（ A ）
A. 是有理数
B. 面积为12的正方形的边长是
C. ＝2
D. 在数轴上可以找到表示 的点
2. （2024·宁波海曙期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的为（ D ）
A. B.
C. D.
A
D
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3. 化简 的结果是（ C ）
A. 100 B. 60 C. 40 D. 20
4. 下列化简错误的是（ B ）
A. ＝ B. ＝1
C. ＝ D. － ＝－
C
B
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5. 化简：
（1） ＝ 88 ；
（2） ＝ .
6. 比较大小： ＞ （填“＞”“＜”或“＝”）.
7. 若 是整数，则正整数n的最小值是 7 .
88
＞
7
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（1） ；
（2） ；
解：原式＝ ＝4× ＝4
解：原式＝ ＝ ＝
（3） ；
（4） ；
解：原式＝ ＝ ＝
解：原式＝ ＝60
8. （教材变式）化简：
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（5） ；
解：原式＝ ＝ ＝
（6） ；
解：原式＝ ＝ ＝ ＝
（7） .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝
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9. 已知k，m，n都是整数.若 ＝k ， ＝20 ， ＝6 ，则k，m，n的大小关系为（ A ）
A. m＜k＜n B. m＝n＜k
C. m＜n＜k D. k＜m＝n
10. 若 ＝a， ＝b，则 可以表示为（ C ）
A. B. a C. a2b D. ab
11. 计算： ＝ 28 .
A
C
28
12. 给出下列二次根式： ， （x≥0）， ， ， .其中，属于最简二次根式的有 2 个.
2
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2 ＝ .
验证：因为2 ＝2 ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
所以2 ＝ .
3 ＝ .
13. 观察下面的等式验证过程，并回答问题.
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验证：因为3 ＝3 ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，
所以3 ＝ .
参照这两个等式的验证过程，猜想4 的变形结果，并进行验证.
解：猜想：4 ＝ 验证：因为4 ＝4 ＝ ， ＝ ＝ ＝ ，所以4 ＝
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14. 已知T1＝ ，T2＝ ，T3＝ ，…，Tn＝ ，其中n为正整数.设Sn＝T1＋T2＋T3＋…＋Tn，则S2023的值是（ A ）
A. 2023 B. 2024
C. 2023 D. 2024
A
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15. 已知x为奇数，且满足 ＝ ，求 ＋ 的值.
解：因为 ＝ ，所以 解得6≤x＜9.又因为x为奇数，所以x＝7.所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝8＋2
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15(共11张PPT)
第1章 二次根式
小专题（一） 二次根式的性质与化简
类型一 利用“二次根式的非负性”求值
1. 已知实数x，y满足y＝3＋ ＋ ，则x＋2y的立方根为（ B ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 3
2. 若实数x，y满足（3x－6）2＋ ＝0，则x＋2y＝ 0 .
3. 已知实数x，y满足y＝ ，求 · 的值.
解：由题意，得 解得x＝2.所以y＝ .所以 · ＝ × ＝ × ＝
B
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4. （1） 已知实数x，y满足y＝ ＋ ＋6，求4x＋y的平方根；
解：（1） 因为y＝ ＋ ＋6，2x－5≥0，5－2x≥0，所以2x＝5，解得x＝2.5.所以y＝0＋0＋6＝6.所以4x＋y＝10＋6＝16，其平方根为± ＝±4
（2） 已知实数m，n满足m2＋4＋ ＝4m，求mn的值.
解：（2） 因为m2＋4＋ ＝4m，所以m2－4m＋4＋ ＝0，即（m－2）2＋ ＝0.易得m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4.所以mn＝2×4＝8
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类型二 利用二次根式的性质化简
5. 下列二次根式的化简正确的是（ D ）
A. ＝40 B. ＝－
C. ＝3 D. ＝
6. 若实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简 －｜m－n｜的结果是（ B ）
A. n B. －n
C. 2m－n D. －2m＋n
D
B
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7. （2025·杭州钱塘期中）已知－1＜a＜0，则化简 － 的结果为（ B ）
A. －a＋5 B. 3a－1
C. －a－5 D. －3a＋5
8. 化简 －（ ）2的结果是（ B ）
A. 2x－6 B. 0
C. 6－2x D. 2x＋6
B
B
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9. 若一次函数y＝（m－3）x＋n－2（m，n为常数）的图象如图所示，则化简｜m－3｜－ 的结果为（ D ）
A. 3－m－n B. 5
C. －1 D. m＋n－5
D
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10. 计算（－4 ）2－ ＋ 的结果是 84 .
11. （易错题）已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，请化简： －｜b－a｜＋ － .
解：由数轴，可知c＜a＜0＜b，｜c｜＞｜b｜，所以b－a＞0，a－c＞0，b＋c＜0.所以原式＝｜a｜－｜b－a｜＋｜a－c｜－｜b＋c｜＝－a－（b－a）＋（a－c）＋（b＋c）＝－a－b＋a＋a－c＋b＋c＝a
84
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类型三 与二次根式有关的化简求值
12. 已知a－b＝2 －1，ab＝ ，则（a＋1）（b－1）的值为（ A ）
A. － B. 3
C. 3 －2 D. －1
13. （2025·温州段考）若a＋b＝ ＋1，a－b＝ －1，则代数式a2－b2的值为 1 .
14. 若x＋y＝5，xy＝1，则x2 ＋y2 的值为 5 .
15. （2024·浙江模拟）先化简，再求值：2（a＋ ）（a－ ）－a（a－4）＋14，其中a＝ －2.
解：原式＝2（a2－5）－（a2－4a）＋14＝2a2－10－a2＋4a＋14＝a2＋4a＋4＝（a＋2）2.当a＝ －2时，原式＝（ －2＋2）2＝6
A
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16. （2025·杭州钱塘段考）已知x＝ ，y＝ ，求：
（1） ＋ 的值；
（1） ＋ ＝ ＝ ＝ ＝3
（2） （x－1）（y－1）的值.
解：因为x＝ ，y＝ ，所以x＋y＝ ，xy＝1.
（2） （x－1）（y－1）＝xy－x－y＋1＝1－ ＋1＝2－
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17. 先化简，再求值：（ ＋ ）÷ ，其中x＝ ＋1，y＝ .
解：原式＝ ÷ ＝
· ＝ · ＝ .当x＝ ＋1，y＝ 时，原式＝ ＝
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18. （易错题）已知a＝ ，b＝ ，求 （ ＋ ）的值.
解：原式＝［ － ＋ ］·（ ＋ ）＝（ ＋ － ＋ ）（ ＋ ）＝2 （ ＋ ）＝2a＋2 .因为a＝ ＝ ＋1，b＝ ＝ －1，所以原式＝2（ ＋1）＋2 ＝2 ＋2＋2＝2 ＋4
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18(共14张PPT)
第1章 二次根式
1.1 二次根式的意义
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 像 ， ， ， 这样，表示 算术平方根 的代数式叫作二次根式.
2. 根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数 大于或等于零 .
算术平方根
大于或等于零
1. 下列各式中，一定是二次根式的为（ C ）
A. B.
C. D.
2. 要使式子 有意义，则x的值可以是（ D ）
A. 0 B. －1
C. －2 D. 2
3. （2024·宁波模拟）在二次根式 中，x的取值范围是（ B ）
A. x＞－2 B. x≥－2
C. x≠－2 D. x≤－2
C
D
B
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4. （教材变式）（2024·温州鹿城期中）当x＝－4时，二次根式 的值是（ B ）
A. 4 B. 2
C. －2 D. ±2
B
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5. 当x＝1时，二次根式 的值为 2 .
6. （2025·河南）请写出一个使式子 在实数范围内有意义的x的值： 0（答案不唯一） .
7. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：a*b＝ （a＋b≥0），例如：3*2＝ ＝ .根据新运算，得6*（5*4）＝ 1 .
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（答案不唯一）
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（1） ；
（2） ；
解：由2x－1≥0，得x≥
解：由6－5x≥0，得x≤
（3） ；
解：因为无论x取何值，都有2x2＋4＞0，所以x的取值范围是全体实数
（4） .
解：由 ≥0且1＋6x≠0，得x＞－
8. （教材变式）求下列二次根式中字母x的取值范围.
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9. 如图，在边长为acm的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D.
（1） 求AD的长（用含a的代数式表示）；
解：（1） 因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC，所以BD＝ BC＝ acm.所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝ （cm）
第9题
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（2） 当a＝2时，求AD的长.
解：（2） 当a＝2时，AD＝ ＝ （cm）
第9题
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10. （易错题）使式子 ＋ 有意义的整数x的值有（ B ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
11. （2024·甘南）已知x，y为实数，且满足y＝ ＋ ＋2，则xy的值为（ D ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
B
D
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12. （新考向·数学文化）（2025·南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝ .若a＝2 ，b＝3，c＝1，则S的值为 .
13. （2025·齐齐哈尔）若代数式 ＋（x－2025）0有意义，则实数x的取值范围是 x＞3且x≠2025 .
14. 已知x能使得 ＋ 有意义，则点P（x＋2，x－3）关于y轴的对称点P'在第 三 象限.
x＞3且x≠2025
三
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15. （易错题）已知a，b分别为等腰三角形的两边长，且a，b满足b＝4＋ ＋3 ，则此等腰三角形的周长为 10 .
16. 已知一个圆柱的底面圆的半径为rdm，高为5dm，该圆柱的体积为Vdm3.
（1） 用关于r的代数式表示V；
解：（1） V＝5πr2
（2） 当圆柱的体积为125πdm3时，求圆柱的底面圆的半径.
解：（2） 由题意，得5πr2＝125π，解得r＝5（负值舍去）.所以圆柱的底面圆的半径为5dm
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17. 请判断是否存在整数a，使它同时满足下列三个条件：① 式子 和 均有意义；② 的值仍为整数；③ 若b＝ ，则 也是整数.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解：存在 由条件①，可得 解得13≤a≤20.所以整数a的取值可能为13，14，15，16，17，18，19，20.其中满足条件②的只有16，且同时满足条件③.所以a的值为16
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18. 已知x，y为实数，且满足 －（y－1）· ＝0，求x2 025－y2 024的值.
解：因为 －（y－1）· ＝0，所以1＋x≥0，1－y≥0.所以－（y－1）≥0.所以 ＝0，－（y－1）· ＝0，即1＋x＝0，1－y＝0，解得x＝－1，y＝1.所以x2025－y2024＝（－1）2025－12024＝－1－1＝－2
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18(共14张PPT)
第1章 二次根式1.2 二次根式的性质
第1课时 二次根式的性质(a)2=a(a≥0)与a2=|a|
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
一般地,二次根式有下面的性质:
(1) ()2= a (a ≥ 0);(2) =|a|=
a
≥
1. 下列计算正确的是( D )
A. ()2=9 B. (- )2=-6
C. (- )2=-11 D. (- )2=5
2. (2024·杭州钱塘一模)下列计算正确的是( D )
A. - =7 B. =-7
C. =±7 D. =7
D
D
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3. 下列式子中,结果不为5的是( B )
A. B. -
C. ()2 D.
4. (2024·绍兴柯桥期中)若 =1-a,则a与1的大小关系是( B )
A. a<1 B. a≤1
C. a>1 D. a≥1
B
B
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5. (教材变式)若实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简|a-2|+ 的结果为( A )
A. 2 B. -2
C. 2a-6 D. -2a+6
A
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6. 化简: = -1 .
7. 当18. (教材变式)在直角坐标系中,点M(- , )到原点O的距离为 5 .
-1
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(1) -(- )2;
解:原式=6-5=1
(2) - ;
解:原式= - - = - - + =
(3) (- )2- .
解:原式=2-(2- )=
9. (教材变式)计算:
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10. 若1A. 2a-4 B. 4-2a
C. 2 D. a-4
11. 满足2 =6-2a的所有正整数a的平方和为( B )
A. 13 B. 14 C. 5 D. 16
12. 化简: -()2= 1 .
13. (数形结合思想)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,请化简: +|b-1|- = 0 .
C
B
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14. 已知y= -x+3,则当x的值分别取1,2,3,…,2024时,对应y的值的总和是 2026 .
15. (教材变式)计算:
(1) - +3 ;
解:原式=4-3+3× =4-3+1=2
(2) (2- )× +2 .
解:原式=2 -5+2×(3- )=2 -5+6-2 =1
2026
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16. 已知a,b,c为△ABC的三边长,请化简: + + .
解:因为a,b,c为△ABC的三边长,所以a-b1
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17. 先阅读材料,再回答问题:
化简: + .
因为题中没有给出x的取值范围,所以要进行分类讨论. + = + =|x-3|+|x+2|.令x-3=0,得x=3;令x+2=0,得x=-2[3,-2分别被称为 , 的零点值].然后在数轴上标出3和-2.如图,数轴被分成三段,即x<-2,-2≤x<3,x≥3.当x<-2时,原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1;当-2≤x<3时,原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5;当x≥3时,原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1.
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(1) 分别求出 和 的零点值;
解:(1) =|x+1|, =|x-2|.令x+1=0,得x=-1;令x-2=0,得x=2.所以 的零点值为-1, 的零点值为2
(2) 化简: + - .
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解:(2) 原式= + - =|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0,得x=-3;令x-1=0,得x=1;令x-2=0,得x=2[-3,1,2分别被称为 , , 的零点值].然后在数轴上标出-3,1,2.如答案图,数轴被分成四段,即x<-3,-3≤x<1,1≤x<2,x≥2.当x<-3时,原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;当-3≤x<1时,原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;当1≤x<2时,原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;当x≥2时,原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4
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17(共24张PPT)
第1章 二次根式
第1章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 二次根式有意义的条件
1. (2024·绥化)若式子 有意义,则m的取值范围是( C )
A. m≤ B. m≥-
C. m≥ D. m≤-
2. (2025·金华东阳期末)若y= 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥1且x≠3 .
3. 若整数x满足|x|≤3,则使 为整数的x的值是 -2或3 .
C
x≥1且
x≠3
-2或3
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考点二 二次根式的性质与化简
4. (2024·杭州拱墅期末)在- ,(- )2,-()2,0中,最大的是( B )
A. - B. (- )2
C. -()2 D. 0
5. (2024·内蒙古)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简 -(b-a-2)的结果是( A )
A. 2 B. 2a-2
C. 2-2b D. -2
B
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6. (2025·温州期中)下列式子中,属于最简二次根式的为( D )
A. B.
C. D.
7. 下列化简正确的是( D )
A. =4 B. =
C. = D. =
D
D
8. 如果实数m,n满足|m-n-5|+ =0,那么3m+n= 7 .
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考点三 二次根式的运算
9. (2024·杭州拱墅期末)下列计算正确的是( D )
A. =-2 B. 4 -2 =2
C. - =1 D. ÷ =
10. 下列计算正确的是( D )
A. ()0=
B. 2 +3 =5
C. =4
D. (2 -2)=6-2
D
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11. (2025·台州一模)若a+b=5 ,ab=12,则a-b的值为( D )
A. B. ± C. 3 D. ±3
12. 计算:
(1) × = 3 ;
(2) +3 = 2 ;
(3) - ÷ = .
13. 计算 的结果是 3 .
D
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14. (2024·宁波余姚期中)计算:
(1) + -2 ;
解:原式=2 + -2 = -2
(2) 2 × ÷ .
解:原式=2 =2 =
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15. 计算:
(1) 2 - +3 ;
解:原式=4 - +3× =4 - + =4
(2) (+2)2-(2- )(+2).
解:原式=3+4 +4-(4-5)=3+4+4 +1=8+4
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考点四 二次根式的实际应用
16. 在一个长方体玻璃容器中装满水,该容器的底面是边长为30cm的正方形.现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20cm.铁桶的底面边长是 30 cm(结果保留根号).
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解:由题意,得△ABE为等腰直角三角形.设AE=BE=xm.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,所以x2+x2=(6 )2,解得x=6(负值舍去).所以DF=AE=6m.因为背水坡CD的坡比为1∶ ,所以DF∶CF=1∶ .所以CF= DF=6 m.在Rt△CDF中,由勾股定理,得CD= = =12(m),即背水坡CD的坡长为12m
17. 如图,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE,DF为梯形的高,α=45°,迎水坡AB的坡长为6 m,背水坡CD的坡比为1∶ ,求背水坡CD的坡长.
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18. (易错题)若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( D )
A. x>-1 B. x≥-1且x≠0
C. x≠0 D. x>-1且x≠0
19. 已知2,5,m是某三角形的三边长,则化简 + 的结果是( D )
A. 2m-10 B. 10-2m
C. 10 D. 4
D
D
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20. 计算 ÷ 的结果是( A )
A. 3 -6 B. 3 +6
C. -3 +6 D. -3 -6
21. 方程- x=6 -2 的解是( A )
A. x=5 B. x=-5
C. x=7 D. x=-7
A
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22. 若6- 的整数部分为x,小数部分为y,则(2x+ )y的值是( B )
A. 5-3 B. 3
C. 3 -5 D. -3
23. (易错题)把-x 根号外的因式移到根号内,结果为( A )
A. B. -
C. D. -
B
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24. 在一个大正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个正方形,其中较大的正方形的面积为12,重叠部分的面积为3,两个空白长方形的面积之和为2 -6,则较小的正方形的面积为( B )
A. 11 B. 10
C. 9 D. 8
B
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25. 计算: (- )- -| -3|= -6 .
26. 已知x= + ,则x2-2 x的值是 4 .
27. (归纳思想)观察下列等式:① 3-2 =(-1)2;② 5-2 =(- )2;③ 7-2 =(- )2;….根据以上等式的规律,第6个等式为 13-2 =(- )2 .
28. (新情境·现实生活)如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A出发,沿北偏东60°方向走了50 m到达B地,然后沿北偏西30°方向走了20 m到达目的地C,则A,C两地之间的距离为 10 m.
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13-2 =(- )2
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29. 小明准备完成题目“计算: ■ - - - ”时,发现“■”处的数印刷不清楚.
(1) 他把“■”处的数猜成6,请计算 - 的结果.
解:(1) - =6× - ×3 - +2 = -2 - +2 =0
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(2) 他妈妈说:“你猜错了,我看到该题的答案是- .”请通过计算说明原题中“■”处的数是多少.
解:(2) 由题意可知,■× - ×3 - +2 =- ,所以■× - =- .所以■× =- .所以■=-3
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30. (2025·绍兴柯桥期中)如图所示为长方形绿地ABCD,长BC为 m,宽AB为 m,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中涂色部分),长方形花坛的长为(+1)m,宽为(-1)m.
(1) 长方形绿地ABCD的周长是多少(结果化为最简二次根式)
解:(1) 长方形绿地ABCD的周长=2(+ )=2(9 +8 )=34 (m)
第30题
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(2) 除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为每平方米50元的地砖.若铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元
解:(2) 购买地砖需要花费50×[× -(+1)(-1)]=50×(144-12)=50×132=6600(元)
第30题
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31. (新考法·新定义题)(2025·杭州期中)定义:若两个二次根式a,b满足a·b=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的“最美二次根式”.
(1) 若3 与 是关于c的“最美二次根式”,则c= 6 ;
(2) 若a与 - 是关于4的“最美二次根式”,求a的值;
解:(2) 因为a与 - 是关于4的“最美二次根式”,所以a(- )=4.所以a= = =2 +2
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(3) 若3+ 与6+ m是关于12的“最美二次根式”,求m的值.
解:(3) 因为3+ 与6+ m是关于12的“最美二次根式”,所以(3+ )(6+ m)=12.所以18+3 m+6 +3m=12.所以3 m+3m=-6 -6,即(3 +3)m=-2(3 +3).所以m=-2
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31(共14张PPT)
第1章 二次根式
1.3 二次根式的运算
第2课时 二次根式的加减及混合运算
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
在二次根式的加减运算时，类似于 合并同类项 ，我们可以把含有相同被开方数的二次根式的项进行 合并 .
合并同类项
合并
1. （2024·金华义乌期末）下列计算正确的是（ A ）
A. 2 ＋ ＝3 B. 5＋ ＝5
C. 2 － ＝2 D. ＋ ＝
2. （2024·杭州滨江二模）计算3 － 的结果为（ B ）
A. －3 B. －2
C. － D.
A
B
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3. 计算 × － 的结果是（ B ）
A. 7 B. 6
C. 7 D. 2
4. 下列计算正确的是（ C ）
A. （2 ＋3 ）× ＝25
B. （ ＋ ）÷ ＝1
C. （5＋2 ）（5－2 ）＝13
D. （ － ）2＝7－3＝4
B
C
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3
4
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5. 计算：
（1） － ＝ － ；
（2） ÷ － ＋ ＝ 3 ；
（3） （ ＋ ）（ － ）＝ 3 .
－
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6. （新情境·游戏活动）老师设计了解题接力活动，用合作的方式完成二次根式的化简，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步化简，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示.接力中，开始出错的是 乙 同学（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）.
乙
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7. （教材变式）计算：
（1） 2 － ＋3 ；
解：原式＝4 － ＋ ＝
（2） ＋ ；
解：原式＝ －1＋ ＝ －1
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（3） （ × －3 × ）÷ ；
解：原式＝（ －3 ）÷ ＝ × －3 × ＝ －3
（4） （2 － ）2×（2 ＋ ）2.
解：原式＝[（2 － ）×（2 ＋ ）]2＝[（2 ）2－（ ）2]2＝（12－6）2＝36
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8. 若x为实数，在“（ ＋1）□x”中的“□”里填上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果为有理数，则x的值不可能是（ C ）
A. ＋1 B. －1
C. 2 D. 1－
9. 计算（ ＋3）2025（ －3）2024的结果是（ B ）
A. －3 B. ＋3
C. －3 D. 3
C
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10. （教材变式）已知m＝1＋ ，n＝1－ ，则代数式 的值为（ C ）
A. 9 B. ±3 C. 3 D. 5
11. （教材变式）已知梯形的上底为 cm，下底是上底的2倍，高为 cm，则这个梯形的面积为 cm2.
12. （新考法·新定义题）定义新运算“△”：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b.例如：当a＝2，b＝1时，a△b＝2＋3＝1；当a＝3，b＝4时，a△b＝3－4＝－1.计算（ △ ）－（2 △3 ）的结果为 － ＋4 .
C
－ ＋4
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（1） （ －3 ）＋4 × ；
解：原式＝ －3 ＋2 ＝6－3 ＋2 ＝6－
（2） （ ＋1）2－（1－ ）（ ＋1）；
解：原式＝3＋2 ＋1－（1－5）＝3＋1＋2 ＋4＝8＋2
（3） （2 ＋ ）（2 － ）＋（4 －3 ）÷2 .
解：原式＝12－6＋2－ ＝8－
13. 计算：
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14. （新考法·阅读理解）阅读材料，解决问题：
已知（2＋ ）（2－ ）＝1，（ ＋ ）（ － ）＝3，两个式子的积不含根号，则称这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，含二次根式的除法可以这样理解，例如： ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝7＋4 .像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
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（1） 将 分母有理化的结果为 .
（2） ① 已知x＝ ，y＝ ，求x2＋y2的值；
② 计算： ＋ ＋ ＋ ＋…＋ .
解：① 因为x＝ ＝ ＝ ＝2＋ ，y＝ ＝ ＝ ＝2－ ，所以x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝（2＋ ＋2－ ）2－2×（2＋ ）×（2－ ）＝16－2×1＝14
② 原式＝ －1＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ －1＝45－1＝44
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第1章 二次根式
1.3 二次根式的运算
第3课时 二次根式的应用
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
如图,斜坡上A,B两点之间的高度差 BC 与水平距离 AC 的比叫作AB的坡比.
BC
AC
1. 如图所示为某水库大坝横断面的示意图,CD,AB分别表示水库上、下底面的水平线,∠ABC=120°,则斜坡BC的坡比为( C )
A. 1∶2 B. 1∶
C. ∶1 D. ∶2
C
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2. 如图,某河堤迎水坡AB的坡比为1∶2,堤高BC=5m,则坡面AB的长是( C )
A. 5m B. 10m
C. 5 m D. 8m
3. (2025·台州天台期末)若△ABC的三边长分别为 ,2 , ,则△ABC的面积为( A )
A. 2 B. 4 C. D. 2
C
A
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4. (2025·杭州钱塘期末)如图,从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形,则剩下的涂色部分的面积为 24 .
24
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5. 如图,在一次课外活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两座凉亭之间的距离.已知CD⊥BA,交BA的延长线于点D,测得AC=20 m,BC=60m,CD=30m,则A,B两座凉亭之间的距离为 20 m.
20
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第6题答案
6. (教材变式)如图,在10m高的天桥CD两端分别修建两条斜道AD和BC,其中AD的坡比为1∶0.6,BC的坡比为1∶2,天桥CD的长为10m.求横截面ABCD的面积和周长(周长保留根号).
解:如图,过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F. 由题意,得CF=DE=10m,EF=CD=10m, = = , = .所以AE=6m,BF=20m.所以
AB=AE+EF+BF=6+10+20=36(m).由题意,易得四边形ABCD是梯形.在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD= = =2 (m).在Rt△BCF中,由勾股定理,得BC= = =10 (m).所以横截面ABCD的面积为 ×(10+36)×10=230(m2),周长为10+2 +36+10 =(46+2 +10 )m
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7. 如图,在长方形ABCD中无重叠地放入面积分别为8cm2和12cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为( C )
A. 4 cm2 B. (8 -12)cm2
C. (4 -8)cm2 D. (4 +12)cm2
C
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8. (教材变式)如图,一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40 海里的点C处沿正东方向航行,一段时间后这艘轮船到达距离小岛A 80海里的点B处,则这艘轮船航行的路程为 (40+40 ) 海里.
(40+40 )
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9. 如图所示为一座人行天桥的示意图,天桥的高度是10m,CB⊥DB,坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面DC的坡比为1∶ .若新坡面的底部(点D处)前需留3m宽的人行道,则距离原坡面底部(点A处)10m的建筑物是否需要拆除(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
解:因为CB⊥AB,∠CAB=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.所以AB=BC=10m.在Rt△BCD中,因为新坡面DC的坡比为1∶ ,所以 = .所以BD=10 m.所以AD=BD-AB=10 -10≈7.32(m).因为3+7.32=10.32(m),10.32>10,所以距离原坡面底部(点A处)10m的建筑物需要拆除
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10. (2025·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= + ,BC= - .求:
(1) Rt△ABC的面积;
解:(1) 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= + ,BC= - ,所以Rt△ABC的面积= = = =4
第10题
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(2) 斜边AB的长;
解:(2) 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= + ,BC= - ,所以AB= = =2
第10题
(3) 边AB上的高.
解:(3) 因为Rt△ABC的面积是4,AB=2 ,所以边AB上的高是 =
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11. 如图①所示为一张等腰直角三角形纸片ABC,AC=BC,先将斜边上的高CD五等分,然后裁出4张宽度相等的长方形纸片(涂色部分).如图②,若用这4张纸片刚好可以为一幅正方形美术作品镶边(纸片可以剪拼,且不重叠),求原正方形美术作品与镶边后的作品的面积之比.
解:如图①,设AC=BC=a,CD与EF相交于点M. 因为△ABC是等腰直角三角形,所以在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= = a.因为CD是斜边上的高,所以∠CDB=90°,易得
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CD= = a.因为将斜边上的高CD五等分,所以长方形纸片的宽度为 a÷5= a.因为△ABC是等腰直角三角形,所以∠DBC=45°.由题意,得EF∥AB,所以∠CMF=∠CDB=90°,∠CFM=∠DBC=45°.所以△CMF为等腰直角三角形.所以MF=CM= a.同理,可得ME=CM= a.所以EF=MF+ME= a.同理,可得GH= a,IJ= a,KL= a.所以长方形纸片的总长度为 a+ a+ a+ a=2 a.所以镶边后的作品的边长为 + a= a.所以镶边后的作品的面积为 = a2.因为原正方形美术作品的边长为 - a= a,所以原正方形美术作品的面积为 = a2.所以原正方形美术作品与镶边后的作品的面积之比为 a2∶ a2=4∶9
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