(共17张PPT)
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩 形
第1课时 矩形的概念及性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 有一个角是直角的 平行四边形 叫作矩形.
2. 矩形不但具有一般平行四边形的性质,而且还具有一些特殊的性质:(1) 矩形的四个角都是 直角 ;(2) 矩形的对角线 相等 .
平行四边形
直角
相等
1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法不一定成立的是( D )
A. ∠ABC=90° B. AC=BD
C. OA=OB D. OA=AD
D
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2. (2025·杭州段考)将两张矩形纸条按如图所示的方式叠放.若∠1=125°,则∠2的度数为( B )
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
B
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3. 如图,线段BC为等腰三角形ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O. 若OD=2,则AC的长为 4 .
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4. (2025·杭州期中)如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是边CD的中点,连结OM,OB. 若AB=8,OM=3,则OB的长为 5 .
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5. (教材变式)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,DE上,DF=CE,BC=DE,连结AF. 求证:AF⊥DE.
第5题
解:因为四边形ABCD是矩形,所以∠C=90°,AD=BC,AD∥BC. 所以∠ADF=∠DEC. 因为BC=DE,所以DE=AD. 在△ADF和△DEC中,
,所以△ADF≌△DEC. 所以∠AFD=∠C=90°.所以AF⊥DE
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6. 如图,在矩形ABCD中,连结对角线AC,BD,将△ABC沿BC方向平移,使点B平移到点C的位置,得到△DCE.
(1) 求证:△ACD≌△EDC;
解:(1) 因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,AD=BC,∠ADC=∠ABC=90°.由平移的性质,得DE=AC,EC=BC=AD,∠ECD=∠ABC=∠ADC. 在△ACD和△EDC中, 所以△ACD≌△EDC
第6题
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(2) 试探究△BDE的形状,并说明理由.
解:(2) △BDE是等腰三角形 理由:由(1),得AC=BD,DE=AC,所以BD=DE. 所以△BDE是等腰三角形.
第6题
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7. (2025·兰州)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连结EF交对角线BD于点P. 若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE的度数为( C )
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
C
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8. 如图,在矩形纸片ABCD中,点E在边BC上,将△CDE沿DE翻折得到△FDE,点F落在AE上.若CE=3cm,AF=2EF,则AB= 3 cm.
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9. (2024·温州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是边BC上一点,∠DAE的平分线交BC的延长线于点F,交CD于点G,连结EG.
(1) 求证:EF=AE;
解:(1) 在矩形ABCD中,AD∥BC,所以∠DAF=∠F. 因为AF平分∠DAE,所以∠DAF=∠EAF. 所以∠EAF=∠F. 所以EF=AE
第9题
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(2) 当EG⊥AE时,求CF的长.
解:(2) 因为EG⊥AE,所以∠AEG=90°.在矩形ABCD中,∠D=90°,所以∠AEG=∠D. 因为∠DAG=∠EAG,AG=AG,所以△AEG≌△ADG. 所以AE=AD=10.在Rt△ABE中,AB=8,所以BE= = =6.因为EF=AE=AD=BC,所以EC+CF=EC+BE. 所以CF=BE=6
第9题
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10. (新考法·探究题)在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=4,BC=3.
(1) 如图①,当P是CD上任意一点时,分别过点P作PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F,则PE和PF之间有怎样的数量关系 请说明理由.
解:(1) PE+PF= 理由:连结OP,设点C到BD的距离为h.因为四边形ABCD是矩形,所以CD=AB=4,OC=OD,∠BCD=90°.在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD= = =5.由S△BCD= BD·h= BC·CD,得h= .由S△COD=S△DOP+S△COP,得 OD·h= OD·PE+ OC·PF. 所以PE+PF=h= .
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(2) 如图②,当P是AD上任意一点时,分别过点P作PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F. 猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,直接写出结果.
解:(2) PE+PF=
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(3) 如图③,当P是DC的延长线上任意一点时,分别过点P作PF⊥AC,交AC的延长线于点F,PE⊥DB,交DB的延长线于点E. 猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,并说明理由.
解:(3) PE-PF= 理由:连结OP,BP,设点C到BD的距离为h.因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OD=OC= BD. 由S△BPD=S△COD+S△COP+S△BOP,得 BD·PE= OD·h+ OC·PF+ OB·PE. 整理,得2PE=h+PF+PE. 由(1),得h= ,所以PE-PF=h= .
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第5章 特殊平行四边形
小专题（十一） 利用特殊四边形的性质解动点问题
类型一 矩形与动点
1. （2024·台州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°.点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连结PQ. 当运动时间是1秒时，PQ的长是（ C ）
A. B. 6 C. D. 4
C
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类型二 菱形与动点
2. （2025·杭州模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝6，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，则EF长的最小值是（ D ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
D
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3. （2025·绍兴新昌期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，其中AC＝2，BD＝2 ，过点A作AE⊥BC于点E.
（1） 若AC⊥BD，求边AB的长.
解：（1） 在 ABCD中，AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.所以AO＝CO＝ AC＝1，BO＝DO＝ BD＝ .在Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝2
（2） 在（1）的条件下，若F为线段BD上的动点，连结AF，EF，则当△AFE的面积为 时，求线段OF的长.
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解：（2） 在菱形ABCD中，由（1），得AB＝AC＝BC＝2，所以△ABC是等边三角形.所以易得AE＝ .因为S△AEF＝ ，所以△AEF的边AE上的高为1.分两种情况讨论：① 当点F在AE的左侧时，易得点F与点B重合，即OF＝OB＝ .② 当点F在AE的右侧时，如图①，过点C作AE的平行线，交BD于点F'，易得F'为满足要求的点.所以易得∠F'CD＝∠F'DC＝30°.所以F'C＝F'D. 设OF'＝a，则CF'＝F'D＝ －a.在Rt△OF'C中，OC2＋OF'2＝CF'2，即1＋a2＝（ －a）2，解得a＝ .综上所述，OF＝ 或
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（3） 设BE＝x，BC＝y.当x，y的值变化时，xy的值是否发生变化？请判断并说明理由.
解：（3） 不发生变化 理由：如图②，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H. 在 ABCD中，AB＝CD，因为AE⊥BC，所以易得AE＝DH，∠AEB＝∠DHC＝90°.所以Rt△AEB≌Rt△DHC. 所以BE＝CH＝x.在Rt△AEC中，AE2＝AC2－CE2＝4－（y－x）2；在Rt△DBH中，DH2＝DB2－BH2＝12－（x＋y）2.因为AE2＝DH2，所以4－（y－x）2＝12－（x＋y）2.整理，得xy＝2.所以xy的值不发生变化.
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类型三 正方形与动点
4. （新考法·探究题）在正方形ABCD中，AB＝6，E，F分别是边BC，AB上的动点，以DF，EF为邻边作 EFDG.
（1） 如图①，连结AE. 若AF＝BE，试写出AE与EG之间的关系，并说明理由.
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解：（1） AE＝EG且AE⊥EG 理由：因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°.在△ADF和△BAE中， 所以△ADF≌△BAE. 所以DF＝AE，∠ADF＝∠BAE. 因为∠ADF＋∠AFD＝90°，所以∠BAE＋∠AFD＝90°.所以AE⊥DF. 因为四边形EFDG是平行四边形，所以DF＝EG，DF∥EG. 所以AE＝EG，AE⊥EG.
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（2） 如图②，若E为BC的中点，点F在边AB上，则是否存在某个位置，使得四边形EFDG为菱形？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由.
解：（2） 存在 因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝6.因为E为BC的中点，所以BE＝ BC＝3.若四
边形EFDG为菱形，则EF＝DF. 所以EF2＝DF2.在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF2＝BE2＋BF2；在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF2＝AF2＋AD2.所以BE2＋BF2＝AF2＋AD2，即32＋（6－AF）2＝AF2＋62.所以AF＝ .所以当AF＝ 时，四边形EFDG为菱形
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4(共14张PPT)
第5章 特殊平行四边形
小专题(十) 利用特殊四边形的性质解折叠问题
类型一 矩形的折叠问题
1. 如图,将矩形纸片沿AB折叠.若∠ABC=36°,则∠D1AD的度数为 ( C )
A. 48° B. 66°
C. 72° D. 78°
C
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2. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是AB上一点,沿DE折叠该矩形,使边BC的对应边B'C'恰好经过点A,则BE的长为( B )
A. B. C. D. 2
B
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3. (2024·牡丹江)小明手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12cm,CD=10cm,他进行了如下操作:第一步,如图①,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平;第二步,如图②,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E. 线段EN的长为( B )
A. 8cm B. cm
C. cm D. cm
B
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4. 如图所示为矩形纸片ABCD,点E在边BC上,把△DCE沿直线DE折叠,使点C落在对角线BD上的点F处;点G在边AB上,把△DAG沿直线DG折叠,使点A落在线段DF上的点H处.若HF=1cm,BF=8cm,则BD= 29 cm,矩形ABCD的面积为 420 cm2.
29
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5. (2025·舟山段考)如图,在矩形FCBG中,点A在CF上,BC=8,FC=6,将△ACB沿直线AB翻折至△AEB的位置,使得点E在边FG上,过点E作ED⊥AB于点D,H为EG的中点,连结DH,则DH的长为 5 .
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6. 如图,将矩形ABCD沿对角线BD向上折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,过点D作DG∥BF,交BC于点G,连结FG,交BD于点O.
(1) 求证:BF=DF;
解:(1) 因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC. 所以∠ADB=∠DBC. 由折叠的性质,得∠DBC=∠FBD. 所以∠FBD=∠ADB. 所以BF=DF
第6题
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(2) 若AB=6,AD=8,求FG的长.
解:(2) 因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=90°.设AF=x,则BF=DF=AD-AF=8-x.在Rt△ABF中,由勾股定理,得AF2+AB2=BF2,即x2+62=(8-x)2,解得x= .所以BF=8- = .因为AD∥BC,DG∥BF,所以四边形BFDG是平行四边形.又因为BF=DF,所以四边形BFDG是菱形.所以FG⊥BD,OF=OG,OB=OD. 在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD= =10.所以OB= BD=5.在Rt△BOF中,由勾股定理,得OF= = .所以FG=2OF=
第6题
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类型二 菱形的折叠问题
7. 如图,将菱形ABCD的边AD沿直线AN翻折至AM,使AM经过点C. 若此时CM=CN,则∠D的度数为( D )
A. 30° B. 54° C. 45° D. 36°
D
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8. (2025·浙江模拟)如图,将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD,AB上),使点A和点C在折叠后均落在边BC上的点M处.若∠C=45°,DE=CE,EF⊥BC于点F,则△BHM的周长为( C )
A. a B. a
C. a D. a
C
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9. 如图,菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别为6和8,O为对角线AC,BD的交点,过点O折叠菱形,点B的对应点为B',点C的对应点为C',MN是折痕,B'M=1,求CN的长.
第9题
解:因为O为菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,所以OC= AC=3,OD= BD=4,AC⊥BD. 在Rt△COD中,∠COD=90°,所以CD= = =5.易知AB∥CD,所以∠MBO=∠NDO. 在△OBM和△ODN中, 所以△OBM≌△ODN. 所以BM=DN. 因为过点O折叠菱形,B的对应点为B',MN是折痕,所以BM=B'M=1.所以DN=1.所以CN=CD-DN=5-1=4
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类型三 正方形的折叠问题
10. 如图,正方形ABCD的边长为6,E为边BC的中点,沿直线DE折叠,点C落在点F处,延长EF,交AB于点G,连结BF,则△BEF的面积为 .
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11. 如图,现有一边长为4的正方形ABCD,P为边AD上一动点(不与点A,D重合),将正方形折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连结BP,BH.
(1) 求证:∠APB=∠BPH.
解:(1) 因为四边形ABCD是正方形,所以∠C=∠A=∠ABC=90°,AD∥BC,BA=BC. 由折叠的性质,得PE=BE,∠EPH=∠EBC. 所以∠EPB=∠EBP. 所以∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠BPH=∠PBC. 因为AD∥BC,所以∠APB=∠PBC. 所以∠APB=∠BPH
第11题
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(2) △PDH的周长是否发生变化 请写出结论并证明.
解:(2) △PDH的周长不发生变化 过点B作BQ⊥PH,垂足为Q. 所以∠BQP=∠A=90°.在△ABP和△QBP中, 所以△ABP≌△QBP. 所以AP=QP,BA=BQ. 又因为BA=BC,所以BC=BQ. 在Rt△BCH和Rt△BQH中, 所以Rt△BCH≌Rt△BQH. 所以CH=QH. 所以△PDH的周长为PD+PH+DH=PD+QP+QH+DH=PD+AP+CH+DH=AD+CD=8,即△PDH的周长不发生变化
第11题
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第5章 特殊平行四边形
阶段训练(5.1~5.2)
一、 选择题
1. (2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( A )
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
A
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2. (2024·辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上.当△EBC是等边三角形时,∠AEB的度数为( C )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
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3. (2024·台州黄岩模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直平分OB,交OB于点E,则BC的长为( B )
A. 2 B. 2
C. 4 D. 2
B
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4. 如图,有下列条件:① AC⊥BD,OC=OA;② ∠1=∠2=∠3=∠4;③ OA=OC,OB=OD,AC⊥BD;④ AB=BC=CD,AC⊥BD. 其中,一定能判定四边形ABCD为菱形的共有( C )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
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5. (2025·湖州吴兴期末)如图,E,F分别是 ABCD的边AB,CD上的点,连结CE,AF,B'是点B关于CE的对称点,D'是点D关于AF的对称点.已知点B',D'都在对角线AC上,且EF⊥AC. 记∠ADC的度数是α,∠DAF的度数是β,则α与β满足( D )
A. α=5β B. α-β=90°
C. α+β=135° D. α+3β=180°
D
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二、 填空题
6. (2024·温州苍南期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,∠ADB=35°,则∠OAE的度数为 20° .
20°
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7. 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,E为BC上的一点,EA平分∠BED,则BE的长为 1 .
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8. 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节点A,E之间的距离.若点A,E之间的距离调节到60cm,菱形的边长AB=20cm,则∠DAB的度数是 120° .
120°
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9. (2025·兰州)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE. 若AB=4 ,则AF= 4 .
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10. (2025·杭州三模)如图,在矩形ABCD中,P是边AD上的动点,连结点P与边AB的中点E,将△APE沿PE翻折得到△OPE,延长PO,交边BC于点F,作∠PFC的平分线FG,交边AD于点G. 若AB=4,且E,O,G三点共线,则AP= .
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三、 解答题
11. 如图,在矩形ABCD中,E,F为边BC上的两点,且BE=CF,连结AF,DE,交于点O. 求证:
(1) △ABF≌△DCE;
解:(1) 因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,AB=DC. 因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在△ABF和△DCE中, 所以△ABF≌△DCE
第11题
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(2) △AOD是等腰三角形.
解:(2) 因为△ABF≌△DCE,所以∠BAF=∠CDE. 因为∠DAF=90°-∠BAF,∠EDA=90°-∠EDC,所以∠DAF=∠EDA. 所以AO=DO. 所以△AOD是等腰三角形
第11题
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12. 如图,四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD为锐角,连结BF.
(1) 求证:AD⊥BF;
解:(1) 因为四边形ABCD和四边形ADEF都是菱形,所以AB=AD,AD=AF. 所以AB=AF. 因为∠BAD=∠FAD,所以AD⊥BF
第12题
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(2) 若BF=BC,求∠ADC的度数.
解:(2) 因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC,AB∥CD. 所以∠BAD+∠ADC=180°.因为BF=BC,所以BF=AB. 因为AB=AF,所以BF=AB=AF. 所以△ABF是等边三角形.所以∠BAF=60°.因为∠BAD=∠FAD,所以∠BAD= ∠BAF= ×60°=30°.所以∠ADC=180°-∠BAD=150°
第12题
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13. (2025·浙江模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在AB上,以点A为圆心,AE长为半径画弧,交AC于点F,再分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,两弧相交于点P,连结AP并延长,交BC于点D,连结DE,DF.
(1) 求证:DE=DF;
解:(1) 由题意,得AE=AF,AD平分∠BAC. 所以∠EAD=∠FAD. 在△AED和△AFD中, 所以△AED≌△AFD. 所以DE=DF
第13题
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(2) 当EB=ED时,判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
解:(2) 四边形AEDF是菱形 理由:因为AB=AC,所以∠B=∠C. 因为EB=ED,所以∠B=∠EDB. 所以∠C=∠EDB. 所以DE∥AC. 所以∠CAD=∠ADE. 因为∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=∠ADE. 所以AE=DE. 因为AE=AF,DE=DF,所以AE=AF=DE=DF. 所以四边形AEDF是菱形.
第13题
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14. (2025·杭州拱墅段考)如图,在 ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连结AE,交CD于点F,连结BF.
(1) 求证:四边形ACED是矩形;
解:(1) 因为DE⊥BC,所以∠DEC=∠ACB=90°.所以AC∥DE. 因为四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,所以AD∥CE. 所以四边形ACED是平行四边形.因为∠DEC=90°,所以四边形ACED是矩形
第14题
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(2) 若∠ABC=60°,CF=2,求BF的长.
解:(2) 因为四边形ACED是矩形,四边形ABCD是平行四边形,所以AE=CD=AB,AF=EF=CF=DF=2.因为∠ABC=60°,所以△ABE是等边三角形.所以AB=AE=AF+EF=4,BF⊥AE. 所以在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF= = =2
第14题
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14(共15张PPT)
第5章 特殊平行四边形
5.3 正 方 形
第1课时 正方形的概念及判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 我们把有一组邻边 相等 ，并且有一个角是 直角 的平行四边形叫作正方形.正方形既是 矩形 ，又是 菱形 .
2. 有一组邻边相等的 矩形 是正方形，对角线互相 垂直 的矩形是正方形；有一个角是 直角 的菱形是正方形，对角线 相等 的菱形是正方形.
相等
直角
矩形
菱形
矩形
垂直
直角
相等
1. （2025·金华段考）下列说法错误的是（ B ）
A. 对角线互相垂直的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
B
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2. 如图，四边形ABCD是菱形，有下列条件：① AC⊥BD；② ∠BAD＝∠ABC；③ AB＝BC；④ 2AO＝BD. 添加其中一个条件，能使菱形ABCD是正方形的为（ C ）
A. ①③ B. ②③
C. ②④ D. ①②③
C
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3. （2025·乐山）在 ABCD中，小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：① AC⊥BD；② AC＝BD；③ ∠ADC＝90°.正确的组合是 ①②或①③ .
4. （教材变式）将如图所示的矩形纸片ABCD折叠出一个正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与边AD上的AF重合，则四边形ABEF是一个正方形.他判定的依据是 有一组邻边相等的矩形是正方形 .
①②或①③
有一组邻边相等的矩形是正方形
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5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA，连结AE，EC，CF，FA. 求证：四边形AECF是正方形.
第5题
解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. 因为BE＝DF，所以OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. 又因为OA＝OC，所以四边形AECF是平行四边形.又因为AC⊥BD，所以四边形AECF是菱形.因为OE＝OA，所以OE＝OF＝OA＝OC. 所以AC＝EF. 所以四边形AECF是正方形
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第6题答案
6. 如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，EA，FA为△CEF的外角∠BEF，∠EFD的平分线，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.求证：四边形ABCD是正方形.
解：如图，过点A作AG⊥EF于点G. 因为AB⊥CE，AD⊥CF，所以∠B＝∠D＝90°＝∠C. 所以四边形ABCD是矩形.因为EA，FA平分∠BEF，∠EFD，所以AB＝AG，AD＝AG. 所以AB＝AD. 所以四边形ABCD是正方形
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7. 如图，在矩形ABCD内有一点F，BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD，E为矩形ABCD外一点，连结BE，CE. 有下列条件：① EB∥CF，CE∥BF；② BE＝CE，BE＝BF；③ BE∥CF，CE⊥BE；④ BE＝CE，CE∥BF. 添加其中一个条件，能判定四边形BECF是正方形的共有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
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8. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点.当AB∶AD＝ 1∶2 时，四边形MENF是正方形.
1∶2
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9. （2025·舟山段考）如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，CE＝CD，D为边AB上一点，连结AE. 若D是AB的中点，求证：四边形AECD是正方形.
第9题
解：因为∠ACB＝∠ECD＝90°，所以∠ECA＝∠DCB. 在△ACE和△BCD中， 所以△ACE≌△BCD. 所以AE＝BD. 因为D是AB的中点，∠ACB＝90°，所以AD＝CD＝BD. 因为AC＝BC，所以CD⊥AB. 因为AE＝BD，所以CD＝AD＝BD＝AE＝EC. 所以四边形AECD是菱形.因为CD⊥AB，所以四边形AECD是正方形
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10. （新考法·探究题）（1） 如图①，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ABC沿AD剪开，并分别以AB，AC为轴翻折，E，F分别是点D的对应点，得到△ABE和△ACF （与△ABC在同一平面内）.延长EB，FC相交于点G. 求证：四边形AEGF是正方形.
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解：（1） 因为AB＝AC，AD⊥BC，所以DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°.又因为AD＝AD，所以△ADB≌△ADC. 所以∠DAB＝∠DAC＝ ∠BAC＝22.5°.由题意，可知△AEB≌△ADB. 所以AE＝AD，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB. 所以∠EAD＝2∠DAB＝45°.同理，可得AF＝AD，∠AFC＝90°，∠DAF＝45°.所以AE＝AF，∠EAF＝∠EAD＋∠DAF＝90°.所以∠AEB＝∠EAF＝∠AFC＝90°.所以四边形AEGF是矩形.又因为AE＝AF，所以四边形AEGF是正方形
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（2） 如果（1）中AB≠AC，其他条件不变（如图②），那么四边形AEGF是否为正方形？请说明理由.
解：（2） 四边形AEGF是正方形 理由：由（1），可知∠EAB＋∠FAC＝∠BAC＝45°，所以∠EAF＝90°.因为∠AEB＝∠ADB＝∠ADC＝∠AFC＝90°，所以∠AEB＝∠EAF＝∠AFC＝90°.所以四边形AEGF是矩形.又因为AD＝AE＝AF，所以四边形AEGF是正方形.
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（3） 在（2）的条件下，若BD＝2，DC＝3，求AD的长.
解：（3） 设AD＝x.因为四边形AEGF是正方形，所以AE＝EG＝GF. 又因为AD＝AE，所以AE＝EG＝GF＝x.因为易得EB＝BD＝2，CF＝DC＝3，所以BG＝x－2，CG＝x－3.因为四边形AEGF是正方形，所以∠G＝90°.因为BD＝2，DC＝3，所以BC＝5.在Rt△BGC中，由勾股定理，得BG2＋CG2＝BC2，即 （x－2）2＋（x－3）2＝52，解得x1＝6，x2＝－1（不合题意，舍去）.所以AD的长为6
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10(共23张PPT)
第5章 特殊平行四边形
第5章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 矩形的性质与判定
1. (2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( C )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
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2. (2024·杭州萧山二模)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BC上一点,将△DCE沿DE折叠,使点C恰好落在点O处,则∠DBC的度数为( C )
A. 15° B. 22.5°
C. 30° D. 45°
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3. 如图,在矩形ABCD中,E为BA的延长线上一点,F为CE的中点,以点B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连结BG. 若AB=4,CE=10,则AG的长为( C )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
C
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4. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC,交CE的延长线于点F,连结BF.
(1) 求证:AF=BD;
解:(1) 因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE. 又因为E为AD的中点,所以AE=DE. 所以△AEF≌△DEC. 所以AF=DC. 因为D为BC的中点,所以BD=CD. 所以AF=BD
第4题
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(2) 若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
解:(2) 因为AF=BD,AF∥BD,所以四边形ADBF是平行四边形.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC. 所以∠ADB=90°.所以四边形ADBF是矩形
第4题
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考点二 菱形的性质与判定
5. (2025·台州路桥期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连结OE. 若OE=3,BD=10,则菱形ABCD的面积为( A )
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
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6. 小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD. 求证:四边形ABCD是菱形.”并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠的证明如下:因为AC⊥BD,OB=OD,所以AC垂直平分BD. 所以AB=AD,CB=CD. 所以四边形ABCD是菱形.
小洁说:“这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.”
你赞成小洁的说法吗 若赞成,请你补充一个条件,并证明;若不赞成,请说明理由.
第6题
解:赞成小洁的说法 补充的条件不唯一,如OA=OC 因为OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形
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考点三 正方形的性质与判定
7. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点.若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
第7题
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8. 如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心, AC, BD的长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP.
(1) 判断四边形BPCO的形状,并说明理由.
解:(1) 四边形BPCO为平行四边形 理由:因为四边形ABCD为平行四边形,所以OC=OA= AC,OB=OD= BD. 由作图,可知OB=CP,BP=OC. 所以四边形BPCO为平行四边形.
第8题
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(2) 当 ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形 请说明理由.
解:(2) 当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形 理由:因为AC⊥BD,所以∠BOC=90°.由(1),得四边形BPCO为平行四边形.又因为AC=BD,OB= BD,OC= AC,所以OB=OC. 所以四边形BPCO为正方形.
第8题
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9. (2025·浙江模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E. 若∠BOE=30°,BO=2,则AO的长为( B )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
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10. (2025·宁波期末)如图,在矩形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE与CD相交于点G,F是DG的中点.若要知道△AEF的面积,则需要知道( B )
A. CE的长
B. 矩形ABCD的面积
C. 梯形ABCG的面积
D. ∠EAF的度数
B
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11. 如图,在正方形ABCD中,BD与AC相交于点O. 嘉嘉分别过点D,C作DP∥OC,CP∥OD,在正方形ABCD外交于点P;淇淇分别过点D,C作DP=OC,CP=OD,在正方形ABCD外交于点P. 两人的作法中,能使四边形DOCP是正方形的为 ( C )
A. 只有嘉嘉的作法
B. 只有淇淇的作法
C. 两人的作法均可以
D. 两人的作法均不可以
C
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12. (2025·杭州期末)如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OC上一点,连结BE并延长,交CD于点F. 若BA=BE,BF=4 ,DF=2 ,则BC= .
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13. 如图,将矩形纸片A'B'C'D'沿EF折叠,使点B'落在边A'D'上的点B处;沿BG折叠,使点D'落在点D处,且BD过点F,A',C'的对应点分别为A,C.
(1) 试判断四边形BEFG的形状,并证明你的结论.
解:(1) 四边形BEFG为平行四边形 由折叠的性质,得∠EFB'=∠EFB,∠D'BG=∠DBG. 因为四边形A'B'C'D'为矩形,所以A'D'∥B'C'.所以∠EFB'=∠BEF,∠D'BG=∠FGB. 所以∠BEF=∠EFB,∠DBG=∠FGB. 所以BE=BF,BF=FG. 所以BE=FG. 又因为BE∥FG,所以四边形BEFG是平行四边形
第13题
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(2) 当∠BFE的度数为多少时,四边形BEFG是菱形 请说明理由.
解:(2) 当∠BFE=60°时,四边形BEFG是菱形 理由:因为∠BFE=60°,BE=BF,所以△BEF为等边三角形.所以BE=EF. 又因为四边形BEFG是平行四边形,所以四边形BEFG是菱形.
第13题
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14. 如图①,四边形ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,连结PA,PC,点E在AD的延长线上,PA=PE,PE交CD于点F.
(1) 求证:PC=PE.
解:(1) 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=CB,易得∠ABP=∠CBP=45°.在△ABP和△CBP中, 所以△ABP≌△CBP. 所以PA=PC. 因为PA=PE,所以PC=PE
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(2) 求∠CPE的度数.
解:(2) 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°.由(1)知,△ABP≌△CBP,所以∠BAP=∠BCP. 所以∠BAD-∠BAP=∠BCD-∠BCP,即∠DAP=∠DCP. 因为PA=PE,所以∠DAP=∠E. 所以∠DCP=∠E. 因为∠PFC=∠DFE,所以180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=180°-∠ADC=90°
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(3) 如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连结CE. 试探究线段PA与线段CE之间的数量关系,并说明理由.
解:(3) PA=CE 理由:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB=AD=CD,∠ADC=∠ABC=120°,易得∠ABP=∠CBP= ∠ABC=60°.所以
∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP. 同(1),证得△ABP≌△CBP. 所以PA=PC. 因为PA=PE,所以∠DAP=∠PED. 所以∠DCP=∠PED.因为∠PFC=∠DFE,所以180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠PED. 所以∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°.因为PA=PE,PA=PC,所以PC=PE. 所以△EPC是等边三角形.所以PC=CE. 所以PA=CE.
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14(共12张PPT)
第5章 特殊平行四边形
小专题（九） 中点四边形
类型一 判断中点四边形的形状
1. 如图，在 ABCD中，AB≠AD，∠A＝α（0°＜α＜180°），E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE. 在α从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形EFGH的形状变化依次为（ A ）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C. 平行四边形→矩形→平行四边形
D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
A
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2. 若E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的形状是 平行四边形 .当AC⊥BD时，四边形EFGH的形状是 矩形 .
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
平行四边形
矩
形
第3题
解：因为E，F分别为OA，OB的中点，所以EF为△OAB的中位线.所以EF＝ AB. 同理，可得FG＝ BC，GH＝ CD，HE＝ AD. 又因为四边形ABCD为菱形，所以AB＝BC＝CD＝AD. 所以EF＝FG＝GH＝HE. 所以四边形EFGH是菱形
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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC内一点，连结AD，BD，CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，连结EF，FG，GH，EH，且EH⊥AD，垂足为O. 求证：四边形EFGH是矩形.
第4题
解：因为E，H分别是AB，AC的中点，所以EH是△ABC的中位线.所以EH∥BC，EH＝ BC. 同理，可得EF∥AD，EF＝ AD，HG∥AD，HG＝ AD. 所以EF∥HG，EF＝HG. 所以四边形EFGH是平行四边形.因为EH⊥AD，所以EH⊥EF. 所以∠FEH＝90°.所以四边形EFGH是矩形
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第5题答案
5. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连结FG，GH，HI，IF，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由.
解：四边形FGHI是菱形 理由：如图，连结AE，BD. 因为△ABC和△CDE均为等边三角形，所以AC＝BC，EC＝DC. 在△AEC和△BDC中， 所以△AEC≌△BDC. 所以AE＝BD. 因为F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，所以FG＝ AE＝IH，FI＝ BD＝GH. 所以FG＝GH＝IH＝FI. 所以四边形FGHI是菱形.
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6. 定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
（1） 如图，P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；
解：（1） 中点四边形EFGH是菱形
理由：如图，连结AC，BD. 因为∠APB＝∠CPD，所以∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC. 在△APC和△BPD中， ，所以△APC≌△BPD. 所以AC＝BD. 因为E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，所以EF＝ AC，FG＝ BD，GH＝ AC，EH＝ BD. 所以EF＝FG＝GH＝EH. 所以中点四边形EFGH是菱形.
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（2） 若改变（1）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由.
第6题答案
解：（2） 中点四边形EFGH是正方形 理由：如图，设AC，BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N. 因为△APC≌△BPD，所以∠ACP＝∠BDP. 因为∠CPD＝90°，所以∠PDC＋∠PCD＝90°.所以∠ODC＋∠OCD＝90°.所以∠COD＝90°.所以AC⊥BD. 因为EH∥BD，AC∥HG，所以∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝180°－∠COD＝90°.因为中点四边形EFGH是菱形，所以中点四边形EFGH是正方形.
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类型二 与中点四边形有关的计算
7. 已知四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点.若四边形EFGH的面积为12，则菱形ABCD的面积为（ B ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
B
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8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，2），对角线OB与AC交于点P，D，E，F，G分别是线段OP，AP，BP，CP的中点，则四边形DEFG的周长为（ D ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
D
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9. 如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连结正方形各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH的面积为 8 cm2.
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第10题答案
10. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝7，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EG，FH. 求EG2＋FH2的值.
解：如图，连结EF，EH，GF，GH. 因为E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，所以在△ABD中，EH＝ BD＝ ×7＝ ，EH∥BD. 同理，可得在△BCD中，FG＝ BD
＝ ×7＝ ，FG∥BD；在△ABC中，EF＝ AC＝ ×7＝ ，EF∥AC；在△ACD中，HG＝ AC＝ ×7＝ ，HG∥AC. 所以EF＝FG＝GH＝EH＝ .所以四边形EFGH是菱形.所以EG⊥FH，OE＝OG＝ EG，OH＝OF＝ FH. 在Rt△OEH中，OE2＋OH2＝EH2.所以4OE2＋4OH2＝4EH2＝
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4× ＝49.所以（2OE）2＋（2OH）2＝49.所以EG2＋FH2＝49
第10题答案
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10(共17张PPT)
第5章 特殊平行四边形
5.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
一般地，判定菱形有以下的定理：（1） 四边 相等 的四边形是菱形；（2） 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形.
相等
互相垂直
1. （2025·舟山期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（ C ）
A. AD＝AB B. ∠ADB＝∠CDB
C. OA＝OB D. AC⊥BD
C
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2. 下列说法中，不正确的是（ C ）
A. 四边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 菱形的邻边相等
C
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3. 如图，在由小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上.若每个小正方形的边长均为1，则四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，AD的长都是 ，从而可知四边形ABCD 的形状是 菱形 .
菱形
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4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，连结BE，CE，BF，CF. 给出下列条件：① BE⊥EC；② BF∥CE；③ AB＝AC. 添加其中一个，能判定四边形BECF为菱形的是 ③ （填序号）.
第4题
③
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5. （2025·扬州改编）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F，连结AF，CE. 求证：四边形AFCE是菱形.
第5题
解：因为EF是AC的垂直平分线，所以EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD. 所以∠OAE＝∠OCF. 在△OAE和△OCF中， 所以△OAE≌△OCF. 所以EA＝FC. 所以EA＝EC＝FA＝FC. 所以四边形AFCE是菱形
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6. （2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中点，连结AE，AC，且AC平分∠DAE.
（1） 求证：四边形ADCE是菱形；
解：（1） 因为AD∥BC，E是BC的中点，所以AD∥CE，∠DAC＝∠ECA，CE＝BE＝ BC. 因为BC＝2AD，所以AD＝ BC. 所以AD＝CE. 所以四边形ADCE是平行四边形.因为AC平分∠DAE，所以∠DAC＝∠EAC. 所以∠EAC＝∠ECA. 所以AE＝CE. 所以四边形ADCE是菱形
第6题
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（2） 已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长.
解：（2） 因为AE＝CE＝BE＝2，所以∠EAB＝∠B，BC＝2BE＝4.因为∠EAC＝∠ECA，所以∠BAC＝∠EAB＋∠EAC＝∠B＋∠ECA. 因为∠BAC＋∠B＋∠ECA＝2∠BAC＝180°，所以∠BAC＝90°.因为AB＝3，所以AC＝ ＝ ＝
第6题
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7. （2025·杭州段考）如图，在 ABCD中，按照如下步骤进行操作：① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F；② 分别以点E，F为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，与边AD交于点H；③ 以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点M. 若AB＝5，BH＝8，则点A，M之间的距离为（ C ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
C
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8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为邻边作 CDEB. 当AD的长为 时， CDEB为菱形.
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9. （教材变式）如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H，交BD于点O，连结BE，DF，DG.
（1） 求证：△ABE≌△CDF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF
第9题
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（2） 当DG＝BG时，判断四边形BEDF是哪种特殊的四边形，并说明理由.
解：（2） 四边形BEDF是菱形 理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC. 因为AE＝CF，所以AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF. 又因为DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形.所以OB＝OD. 因为DG＝BG，所以EF⊥BD. 所以四边形BEDF是菱形.
第9题
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10. 如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB，交PQ于点F，连结BF.
（1） 求证：四边形BFEP是菱形.
解：（1） 由折叠的性质，可知BP＝EP，∠BPF＝∠EPF. 所以易得△PBF≌△PEF. 所以BF＝EF. 因为EF∥AB，所以∠BPF＝∠EFP. 所以∠EPF＝∠EFP. 所以EP＝EF. 所以BP＝EP＝EF＝BF. 所以四边形BFEP是菱形
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（2） 当点E在边AD上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.如图②，当点Q与点C重合时，求菱形BFEP的面积.
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解：（2） 因为四边形ABCD是矩形，所以BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.由折叠的性质，知CE＝BC＝5cm，PE＝PB. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝ ＝ ＝4（cm）.所以AE＝AD－DE＝5－4＝1（cm）.设PE＝PB＝xcm.在Rt△APE中，AE＝1cm，AP＝AB－PB＝（3－x）cm，由勾股定理，得AE2＋AP2＝PE2，即12＋（3－x）2＝x2，解得x＝ .所以PE＝PB＝ cm.所以S菱形BFEP＝PB·AE＝ ×1＝ （cm2）
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第5章 特殊平行四边形
5.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
要判定一个四边形是矩形，除了利用定义之外，还有以下的定理：（1） 三个角是 直角 的四边形是矩形；（2） 对角线 相等 的平行四边形是矩形.
直角
相等
1. （2025·德阳）如图，要使 ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ D ）
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
D
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2. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是（ A ）
A. 测量是否有三个角是直角
B. 测量对角线是否相等
C. 测量两组对边是否分别相等
D. 测量对角线是否互相垂直
A
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3. （新考法·条件开放题）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF. 请添加一个条件： 答案不唯一，如AB⊥BC ，使四边形BEFD为矩形（写出一个即可）.
4. 如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形 一定是 （填“一定是”或“不一定是”）矩形.
答案不唯一，如AB⊥BC
一定是
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5. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，将该四边形沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上，且∠BFA＝∠CEF. 求证：四边形ABCD是矩形.
第5题
解：因为∠C＝90°，所以∠CFE＋∠CEF＝90°.又因为∠BFA＝∠CEF，所以∠BFA＋∠CFE＝90°.所以∠AFE＝180°－90°＝90°.由折叠的性质，得∠D＝∠AFE＝90°.所以∠B＝∠C＝∠D＝90°.所以四边形ABCD是矩形
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6. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm.
（1） 求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD. 所以AC＝BD. 所以四边形ABCD是矩形
第6题
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（2） 求矩形ABCD的面积.
解：（2） 因为△AOB是等边三角形，所以OA＝AB＝4cm.因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝2OA＝8cm，∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝4 cm.所以S矩形ABCD＝BC·AB＝4 ×4＝16 （cm2）
第6题
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7. （教材变式）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线.若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足的条件是（ C ）
A. AD⊥CD B. AD＝CD
C. AC⊥BD D. AC＝BD
C
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8. （易错题）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则线段PQ长的最小值为 .
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9. （2025·北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线.所以DE∥BC. 因为DG＝FC，所以四边形DFCG是平行四边形.因为DF⊥BC，所以∠DFC＝90°.所以四边形DFCG是矩形
第9题
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（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2） 因为DF⊥BC，所以∠DFB＝90°.因为∠B＝45°，所以△BDF是等腰直角三角形.所以BF＝DF＝3.因为DG＝FC＝5，所以BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，所以DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.所以EG＝DG－DE＝5－4＝1.所以CE＝ ＝ ＝ .因为E为AC的中点，所以AC＝2CE＝2
第9题
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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在边AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结CE，AP，BE，DP，AP交BE于点H，CE交DP于点F.
（1） 判断△BEC的形状，并说明理由；
解：（1） △BEC是直角三角形 理由：因为四边形ABCD是矩形，所以∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE＝ ＝ ＝ .因为AD＝5，DE＝
1，所以AE＝AD－DE＝4.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝ ＝2 .因为CE2＋BE2＝25，BC2＝52＝25，所以CE2＋BE2＝BC2.所以∠BEC＝90°.所以△BEC是直角三角形.
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（2） 判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并说明理由；
解：（2） 四边形EFPH是矩形 理由：因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC，AD∥BC. 又因为DE＝BP，所以四边形DEBP是平行四边形.所以BE∥DP. 因为AD＝BC，DE＝BP，所以AD－DE＝BC－BP，即AE＝PC. 又因为AD∥BC，所以四边形AECP是平行四边形.所以AP∥CE. 因为BE∥DP，所以四边形EFPH是平行四边形.由（1），知∠BEC＝90°，所以四边形EFPH是矩形.
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（3） 求四边形EFPH的面积.
解：（3） 因为四边形EFPH是矩形，所以∠EFP＝90°.所以∠CFP＝90°.因为四边形ABCD是矩形，所以∠DCB＝90°.由（2），得PC＝AE＝4.在Rt△PCD中，由勾股定理，得PD＝ ＝2 .因为
S△PCD＝ PD·CF＝ PC·CD，所以CF＝ ＝ .所以EF＝CE－CF＝ － ＝ .在Rt△PCF中，由勾股定理，得PF＝ ＝ .所以S四边形EFPH＝EF·PF＝ × ＝
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10(共18张PPT)
第5章 特殊平行四边形
5.3 正 方 形
第2课时 正方形的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 正方形的四个角都是 直角 ,四条边 相等 .
2. 正方形的对角线 相等 ,并且 互相垂直平分 .
直角
相等
相等
互相垂直平分
1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是( D )
A. 邻边相等 B. 四个角都是直角
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
2. 如图,四边形ABCD是正方形,延长BC到点E,使CE=AC,连结AE,交CD于点F,则∠AFC的度数为( A )
A. 112.5° B. 125°
C. 135° D. 150°
D
A
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3. (教材变式)(2025·衢州一模)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的对角线的交点为坐标原点O,点A,C在x轴上,点B,D在y轴上.若正方形的边长为2,则顶点A的坐标为 (- ,0) .
(- ,0)
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4. 如图,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 135° .
135°
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5. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EOF=90°.求证:CE=DF.
第5题
解:因为四边形ABCD为正方形,所以OD=OC,∠BCD=∠COD=90°.所以∠ODF=∠OCD=45°.所以∠OCE=∠BCD-∠OCD=45°.所以∠ODF=∠OCE=45°.因为∠EOF=90°,所以∠COE+∠COF=90°.又因为∠DOF+∠COF=∠COD=90°,所以∠COE=∠DOF. 所以△COE≌△DOF. 所以CE=DF
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6. (2025·浙江)如图,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(涂色部分),点E在对角线BD上.
(1) 该机翼状纸板是由两个全等的三角形组成的,请写出△ABE≌△CBE的证明过程;
解:(1) 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=90°,AB=AD,AB=CB. 所以∠ABD=45°.同理,得∠CBD=45°.所以∠ABD=∠CBD. 又因为BE=BE,所以△ABE≌△CBE
第6题
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(2) 若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.
解:(2) 因为∠BAD=90°,∠ABD=45°,所以∠ADB=45°.因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA= ×(180°-45°)=67.5°.所以∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°
第6题
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7. (2025·绍兴二模)如图,在面积为20的正方形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,CE,BF相交于点G,则BG的长为( B )
A. 1 B. 2 C. D. 3
B
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8. (分类讨论思想)如图,在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=3,EC=1,连结AE. 若点F在射线AB上,且满足CF=AE,则A,F两点间的距离为 1或7 .
1或7
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9. (2025·广安)如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,BD=10,DE=BF,连结AE,AF,CE,CF.
(1) 求证:△ADE≌△CBF;
解:(1) 因为四边形ABCD为正方形,所以AD=CB,CB∥AD. 所以∠ADE=∠CBF. 在△ADE 和△CBF 中, 所以△ADE≌△CBF
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(2) 若四边形AECF的周长为4 ,求EF的长.
第9题答案
解:(2) 如图,连结AC,交BD于点O. 因为四边形ABCD为正方形,BD=10,所以BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD= BD=5.所以AF=CF,AE=CE. 由(1),可知△ADE≌△CBF,所以AE=CF. 所以AF=CF=AE=CE. 所以四边形AECF是菱形.所以OF=OE. 所以EF=2OF. 因为四边形AECF的周长为4AF=4 ,所以AF= .在Rt△AOF中,由勾股定理,得OF= = =3.所以EF=2OF=6
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10. 在正方形ABCD中,连结对角线AC,在AC上截取AE=BC,连结BE,过点A作AF⊥BE于点F,延长AF,交BC于点M.
(1) 如图①,连结ME并延长,交AD的延长线于点Q. 若BC=5,求△AQM的面积.
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解:(1) 因为四边形ABCD是正方形,BC=5,所以AB=BC=5,∠DAB=∠ABC=90°.所以∠CAB=45°.同理,可得∠QAC=45°.因为AE=BC=AB=5,AF⊥BE,所以∠EAM=∠BAM. 在△EAM和△BAM中, 所以△EAM≌△BAM. 所以∠AEM=∠ABM=90°.所以∠AEQ=180°-∠AEM=90°.所以∠Q=180°-∠QAE-∠AEQ=180°-45°-90°=45°.所以△AEQ是等腰直角三角形.所以QE=AE=5.在Rt△AEQ中,由勾股定理,得AQ= = =5 .所以S△AQM= AQ·AB= ×5 ×5=
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(2) 如图②,过点A作AP⊥AM,交CD的延长线于点P. 求证:AP-2FM=BE.
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解:(2) 如图②,在AF上截取FG=FM,连结BG. 所以GM=FG+FM=2FM. 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD=BC,∠DAB=∠ABC=∠ADC=∠ADP=90°,易得∠CAB=∠ACB=45°.因为AP⊥AM,所以∠PAM=∠DAB=90°.所以∠PAM-∠DAM=∠DAB-∠DAM,即
∠PAD=∠MAB. 在△PAD和△MAB中, 所以△PAD≌△MAB. 所以AP=AM. 因为AE=BC,BC=AB,所以AB=AE.
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因为AF⊥BE,所以∠BAG=∠EAG= ∠CAB=22.5°.所以∠BMG=∠EAG+∠ACB=22.5°+45°=67.5°.因为FG=FM,BF⊥GM,所以易得BG=BM,∠EBC= ∠GBM. 所以∠BGM=∠BMG=67.5°.所以∠ABG=∠BGM-∠BAG=67.5°-22.5°=45°.所以∠ABG=∠ACB,∠GBM=90°-∠ABG=45°.所以∠EBC= ∠GBM=22.5°.所以∠GAB=∠EBC. 在△ABG和△BCE中, 所以△ABG≌△BCE. 所以AG=BE. 因为AM-GM=AG,所以AP-2FM=BE
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第5章 特殊平行四边形
5.2 菱 形
第1课时 菱形的概念及性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一组邻边 相等 的平行四边形叫作菱形.
2. 菱形除具有一般平行四边形的性质外,还具有一些特殊的性质:(1) 菱形的四条边 相等 ;(2) 菱形的对角线 互相垂直 .
相等
相等
互相垂直
1. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论不一定正确的是( D )
A. AB∥DC B. ∠DAO=∠DCO
C. ∠AOD=∠AOB D. OA=OD
D
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2. (2024·杭州拱墅模拟)如图,在菱形ABCD中,∠C=80°,则∠ABD的度数为( D )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
D
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3. (2024·舟山定海三模)菱形OACB在直角坐标系中的位置如图所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是( B )
A. (3,1) B. (3,-1) C. (1,-3) D. (1,3)
B
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4. (2025·青海)如图,在菱形ABCD中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点,且EF=2,则菱形ABCD的面积为 12 .
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5. (2024·杭州一模)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠CAB,∠CAE=32°,则∠ABC的度数为 52° .
第5题
52°
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6. (2025·泸州)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE=CF. 求证:AF=CE.
第6题
解:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC. 因为AE=CF,所以AB-AE=BC-CF,即BE=BF. 在△ABF和△CBE中, 所以△ABF≌△CBE. 所以AF=CE
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7. (教材变式)如图,在菱形ABCD中,AB=5,BD=8,过点D作DE⊥BA,交BA的延长线于点E,连结AC. 求线段DE的长.
第7题
解:设AC与BD的交点为O. 因为四边形ABCD是菱形,所以AO=OC,OB=OD= BD=4,AC⊥BD. 在Rt△ABO中,AB=5,由勾股定理,得OA= = =3.所以AC=2OA=6.因为DE⊥BA,所以S菱形ABCD=AB·DE= AC·BD. 所以DE= = =
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8. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E. 下列结论中,不一定正确的是( D )
A. OB= CE B. ∠ACE=90°
C. BC= AE D. BE=CE
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9. (2024·杭州期中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连结AE. 若AB=DE=2BE,EO=2,则线段AE的长为 4 .
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10. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且CE=CF,连结AE,AF.
(1) 求证:△ABE≌△ADF.
解:(1) 因为四边形ABCD是菱形,所以BC=CD=AB=AD,∠B=∠D. 因为CE=CF,所以BC-CE=CD-CF,即BE=DF. 在△ABE和△ADF中, 所以△ABE≌△ADF
第10题
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(2) 过点C作CG∥EA,交AF于点H,交AD于点G. 若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC的度数.
解:(2) 因为△ABE≌△ADF,所以∠BAE=∠DAF=25°.因为四边形ABCD是菱形,所以∠BAD=∠BCD=130°.所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=130°-25°-25°=80°.因为AE∥CG,所以∠EAF+∠AHC=180°.所以∠AHC=180°-∠EAF=180°-80°=100°
第10题
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11. (新考法·探究题)在菱形ABCD中,∠B=60°,把一块含60°角的三角尺与这个菱形重叠放置,使三角尺60°角的顶点与点A重合,将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1) 如图①,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,求证:CE+CF=AB;
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解:(1) 连结AC. 因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC=CD=DA,∠D=∠B=60°.所以△ABC,△ACD都是等边三角形.所以AB=AC,∠BAC=∠ACD=∠B=60°.因为∠EAF=60°,所以∠BAC=∠EAF. 所以∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF. 在△BAE和△CAF中, 所以△BAE≌△CAF. 所以BE=CF. 所以CE+CF=CE+BE=CB=AB
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(2) 如图②,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时,写出此时CE,CF,AB之间的数量关系,并说明理由.
解:(2) CF-CE=AB 理由:连结AC. 由(1)知,AB=AD=CD=AC,∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°.所以∠ACE=∠ADF=120°.因为∠EAF=60°,所以∠CAD=∠EAF. 所以∠CAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠CAE=∠DAF. 在△ACE和△ADF中, 所以△ACE≌△ADF. 所以CE=DF. 所以CF-CE=CF-DF=CD=AB.
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