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第4章 平行四边形
4.3 图形的旋转
第2课时 中心对称
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如果一个图形绕着一个点旋转 180° 后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫 对称中心 .
2. 如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O 成中心对称 .
3. 对称中心 平分 连结两个对称点的线段.
4. 在直角坐标系中，点A（x，y）与点B（ －x，－y ）关于原点成中心对称.
180°
对称中心
成中心对称
平分
－x，－y
1. （新情境·航天科技）（2025·烟台）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的为（ D ）
D
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2. （2025·杭州萧山期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线的交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（ C ）
A. 点G B. 点H
C. 点I D. 点J
第2题
C
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3. （教材变式）（2024·扬州）在直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点对称的点P'的坐标为（ A ）
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （1，－2） D. （1，2）
A
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4. 如图，图甲和图乙中所有的小正方形都全等，将图甲中的小正方形放在图乙中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ③ （填序号）.
③
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5. 如图，△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称，点A的对称点是A1.若AO＝4cm，则AA1＝ 8 cm；若∠CBO＝20°，则∠C1B1O的度数为 20° .
8
20°
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6. （教材变式）如图，在边长均为1的正方形网格图中有三个点A，B，C，要求作一个四边形，使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在网格图的格点上.
（1） 在图①中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
解：答案不唯一，如（1） 如图①所示
（2） 在图②中作出的四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
解：答案不唯一，如（2） 如图②所示
（3） 在图③中作出的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
解：答案不唯一，如（3） 如图③所示
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7. 下列结论中，错误的是（ A ）
A. 形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称
B. 关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等
C. 关于成中心对称的两个图形，对称中心在两对称点的连线上
D. 关于成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等
A
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8. （易错题）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P. 若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为（ A ）
A. （－4，－5） B. （－5，－4）
C. （－3，－4） D. （－4，－3）
A
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9. （2025·温州龙湾期中）若关于x的一元二次方程x2＋4x＋m＝0有两个相等的实数根，则点P（m，m＋1）关于原点对称的点的坐标为 （－4，－5） .
10. 如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，曲线OA 与曲线OC 关于点O成中心对称，则AB，BC，曲线CO，曲线OA 所围成的图形的面积是 2 cm2.
（－4，－5）
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11. 如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－4，－1），C（－4，－4）.
（1） 作出与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对称点分别为A1，B1，C1）.
解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求作
（2） 在（1）的条件下，作出点A关于x轴对称的点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），直接写出a的取值范围.
解：（2） 如图，点A'即为所求作 a的取值范围是4＜a＜6
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12. 如图，△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，△ABE与△DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，连结CF，BM的延长线交CF于点P.
（1） 求证：AC＝DC；
解：（1） 因为△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，所以AB＝AC. 因为△ABE 与△DCE关于点E成中心对称，所以AB＝DC. 所以AC＝DC
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（2） 若∠BAC＝2∠MPC，请判断∠F与∠MCD之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠F＝∠MCD 理由：由题意，易得∠CAE＝∠BAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA. 所以∠BAC＝2∠BAE. 因为∠BAC＝2∠MPC，所以∠MPC＝∠BAE. 设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α.设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠BMA＝∠CMA＝β.所以∠F＝∠MPC－∠PMF＝α－β，∠MCD＝∠CDE－∠CMA＝α－β.所以∠F＝∠MCD.
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第4章 平行四边形
4.1 多 边 形
第1课时 多边形的概念及四边形的内角和
01
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02
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03
思维拓展
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1. 在平面内,由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(不少于 3 条)首尾顺次相接形成的图形叫作多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的 边 .
2. 多边形 相邻 两边组成的角叫作多边形的内角,多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫作多边形的 外角 .多边形每一个内角的顶点叫作多边形的 顶点 .连结多边形 不相邻 两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
3. 四边形的内角和等于 360° .
3
边
相邻
外角
顶点
不相邻
360°
1. 下列图形中,是六边形的为( D )
D
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2. 如图,E,F分别是四边形ABCD的边CD,BC延长线上的点,连结AC,则下列说法错误的是( D )
A. ∠BAD是四边形ABCD的一个内角
B. ∠ADE是四边形ABCD的一个外角
C. AC是四边形ABCD的一条对角线
D. ∠ACF是四边形ABCD的一个外角
D
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3. (教材变式)如图,x的值是( C )
A. 80 B. 90
C. 100 D. 110
4. (2025·金华兰溪期末)在四边形ABCD中,若AB⊥BC,∠A=∠C=100°,则∠D的度数是 70° .
C
70°
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(1) 求四边形ABCD四个内角的度数.
解:(1) 设∠A=2x,则∠B=4x,∠C=x,∠D=5x.因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以2x+4x+x+5x=360°,解得x=30°.所以∠A=60°,∠B=120°,∠C=30°,∠D=150°
(2) 四边形ABCD中是否有互相平行的边 若有,请写出来;若没有,请说明理由.
解:(2) 有 因为∠A+∠B=180°,所以AD∥BC
5. (教材变式)已知在四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶4∶1∶5.
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6. 如图,在四边形ABCD中,∠B=50°,∠C=110°,∠D=90°,AE⊥BC于点E,AF是∠BAD的平分线,与边BC交于点F. 求∠EAF的度数.
第6题
解:因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°.因为∠B=50°,所以∠BAE=90°-∠B=40°.因为∠C=110°,∠D=90°,所以∠BAD=360°-∠B-∠C-∠D=110°.又因为AF平分∠BAD,所以∠FAB= ∠BAD=55°.所以∠EAF=∠FAB-∠BAE=55°-40°=15°
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7. 如图,在四边形ABCD中,∠A=150°,∠C=60°,∠ABC与∠ADC的平分线交于点O,则∠BOD的度数为( D )
A. 120° B. 125° C. 130° D. 135°
D
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8. 如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,连结AB,BC,CD,DE,EA. 若∠C=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E的度数为( D )
A. 220° B. 240° C. 260° D. 280°
D
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9. 如图,四边形ABCD各内角的平分线分别交于点E,F,G,H,则∠E+∠G的度数是 180° .
180°
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10. (教材变式)如图,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠ABC=70°,∠C=90°,DF平分∠ADC,交BC于点F,点E在AD上,连结BE,且∠ABE∶∠EBC=4∶3.求证:BE∥DF.
第10题
解:因为∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=80°,∠ABC=70°,∠C=90°,所以∠ADC=120°.因为DF平分∠ADC,所以∠FDC= ∠ADC=60°.因为∠C=90°,所以∠DFC=30°.又因为∠ABE∶∠EBC=4∶3,所以∠EBC= ∠ABC=30°.所以∠DFC=∠EBC. 所以BE∥DF
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11. (新考法·探究题)在四边形ABCD中,∠BAD的平分线与边BC交于点E,∠ADC的平分线交直线AE于点O.
(1) 点O在四边形ABCD的内部.
① 如图①,若AD∥BC,∠B=40°,∠C=70°,则∠DOE的度数为 125° ;
② 如图②,试探索∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系.
125°
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解:(1) ② 因为AE,DO分别平分∠BAD,∠ADC,所以∠OAD= ∠BAD,∠ADO= ∠ADC. 因为∠DOE=∠OAD+∠ADO,所以∠DOE= ∠BAD+ ∠ADC,即2∠DOE=∠BAD+∠ADC. 又因为∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°,所以∠B+∠C+2∠DOE=360°
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(2) 如图③,若点O在四边形ABCD的外部,请写出∠B,∠C,∠DOE之间的数量关系,并说明理由.
解:(2) ∠B+∠C=2∠DOE 理由:因为AE,DO分别平分∠BAD,∠ADC,所以∠BAD=2∠OAD,∠ADC=2∠ADO. 所以∠BAD+∠ADC=2(∠OAD+∠ADO)=2(180°-∠DOE).又因为∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C,所以360°-∠B-∠C=2(180°-∠DOE).所以∠B+∠C=2∠DOE.
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第4章 平行四边形
4.1 多 边 形
第2课时 多边形的内角和与外角和
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
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n边形的内角和为 （n－2）×180° （n≥3）.任何多边形的外角和为 360° .
（n－2）×180°
360°
1. 若一个多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形是（ D ）
A. 六边形 B. 七边形
C. 八边形 D. 九边形
2. （2025·云南）一个六边形的内角和等于（ C ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
3. （2024·资阳）已知一个多边形的每个外角都为60°，则该多边形的边数是（ C ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
C
C
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4. 如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ B ）
A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米
B
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5. （教材变式）如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点可以引 6 条对角线，可以把这个多边形分成 7 个三角形.
6. 如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角.若∠A＋∠B＝240°，则∠1＋∠2＋∠3的度数为 240° .
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240°
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7. （方程思想）一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，求这个多边形的边数与内角和.
解：设这个多边形每个内角的度数为n°.由题意，得n－（180－n）＝100，解得n＝140.所以这个多边形每个外角的度数为180°－140°＝40°.因为多边形的外角和为360°，所以这个多边形的边数为360°÷40°＝9.所以内角和为（9－2）×180°＝1260°
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8. 如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到六边形ABGDEF，且∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°.求：
（1） 六边形ABCDEF的内角和；
解：（1） 六边形ABCDEF的内角和为180°×（6－2）＝720°
第8题
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（2） ∠BGD的度数.
解：（2） 因为六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°，所以∠GBC＋∠C＋∠CDG＝720°－460°＝260°.所以∠BGD＝360°－（∠GBC＋∠C＋∠CDG）＝100°
第8题
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9. （教材变式）（2025·遂宁）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ A ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
10. 一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数不可能是（ A ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
11. 六边形的对角线的总条数是 9 .
12. 如图，五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P. 若∠P＝112°，则∠A＋∠B＋∠E的度数为 316° .
A
A
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316°
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第12题
12. 如图，五边形ABCDE的两个外角的平分线交于点P. 若∠P＝112°，则∠A＋∠B＋∠E的度数为 316° .
316°
13. 如图，一个多边形按图示的剪法剪去一个角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数.
第13题
解：设新多边形是n边形.由多边形内角和公式，得180°×（n－2）＝2520°，解得n＝16，则原多边形的边数是16－1＝15
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14. （教材变式）如图，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°.求∠F的度数.
第14题
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解：连结AD. 在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.因为AB⊥BC，所以∠B＝90°.又因为∠C＝120°，所以∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C＝150°.因为CD∥AF，所以∠ADC＝∠DAF. 又因为∠CDE＝∠BAF，所以∠CDE－∠ADC＝∠BAF－∠DAF，即∠ADE＝∠BAD. 所以∠CDE＝∠ADC＋∠ADE＝∠ADC＋∠BAD＝150°.所以∠BAF＝150°.因为多边形ABCDEF的内角和为（6－2）×180°＝720°，所以∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝130°
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15. （转化思想）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化成具体的问题.
（1） 请你根据已经学过的知识求出图①中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；
解：（1） 如图①，因为∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D，∠1＋∠A＋∠C＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
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（2） 若将图①截去一个角，如图②，请你求出∠A＋∠B＋∠F＋∠G＋∠D＋∠E的度数；
解：（2） 如图②，因为∠1＝∠2＋∠E＝∠B＋∠D＋∠E，∠1＋∠A＋∠F＋∠G＝360°，所以∠A＋∠B＋∠F＋∠G＋∠D＋∠E＝360°
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（3） 若再将图②中的角进一步截去，你能由（2）中所得的方法或规律，猜想图③中的∠I＋∠H＋∠J＋∠K＋∠F＋∠G＋∠L＋∠M＋∠N＋∠P的度数吗（只要写出结论，不需要写出过程）？
解：（3） 由（1）（2）知，每截去一个角会增加180°.当截去5个角时，增加了180°×5＝900°，则∠I＋∠H＋∠J＋∠K＋∠F＋∠G＋∠L＋∠M＋∠N＋∠P＝900°＋180°＝1080°
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第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形的概念及边、角的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
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1. 两组对边分别 平行 的四边形叫作平行四边形.平行四边形用符号“ ”表示.
2. (1) 平行四边形的对角 相等 ;(2) 平行四边形的对边 相等 .
3. 四边形具有 不稳定 性(填“不稳定”或“稳定”).
平行
相等
相等
不稳定
1. 桥梁上的拉杆、电视塔的底座都是三角形结构,而活动挂架是四边形结构,这是分别利用了三角形和四边形的( B )
A. 稳定性、稳定性
B. 稳定性、不稳定性
C. 不稳定性、稳定性
D. 不稳定性、不稳定性
B
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2. (整体思想)如图,在 ABCD中,AC=4cm.若△ACD的周长为13cm,则 ABCD的周长为( D )
A. 26cm B. 24cm C. 20cm D. 18cm
D
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3. 如图,在△ABC中,∠A=42°,AB=AC,点D在边AC上,以CB,CD为邻边作 BCDE,则∠E的度数为( B )
A. 42° B. 69° C. 59° D. 72°
B
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4. 如图,在 ABCD中,∠A∶∠B=7∶2,则∠C的度数为 140° .
5. (2025·绍兴嵊州期末)如图,在 ABCD中,AB=5,AD=7,∠DAB的平分线交BC于点E,则CE的长为 2 .
140°
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6. (教材变式)如图,在 ABCD中,点E在AB上,点F在CD上,且AE=CF. 求证:DE=BF.
第6题
解:因为四边形ABCD为平行四边形,所以AD=BC,∠A=∠C. 又因为AE=CF,所以△ADE≌△CBF. 所以DE=BF
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7. (教材变式)如图,在 ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,连结DE,BF,且DE∥BF. 求证:AE=CF.
第7题
解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC. 所以∠DAE=∠BCF. 因为DE∥BF,所以∠DEF=∠BFE. 所以∠AED=∠CFB. 在△ADE和△CBF中, 所以△ADE≌△CBF. 所以AE=CF
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8. 如图,在△MBN中,BM=6,点A,C,D分别在MB,NB,MN上,连结DA,DC. 若四边形ABCD为平行四边形,且∠NDC=∠MDA,则 ABCD的周长是( D )
A. 24 B. 18 C. 16 D. 12
第8题
D
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9. 如图,E为 ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD于点D. 若∠E=50°,则∠A的度数为 130° .
130°
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10. 如图,在 ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连结BF. 若∠ACB=45°,AE=1,BE=4,则BF= 5 .
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11. (2025·杭州滨江期末)如图,E是 ABCD的边CD的中点,连结AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1) 求证:AD=FC;
解:(1) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC. 所以∠D=∠DCF. 因为E是CD的中点,所以DE=CE. 在△AED和△FEC中, 所以△AED≌△FEC. 所以AD=FC
第11题
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(2) 若∠BAF=90°,BC=5,AB=8,求EF的长.
解:(2) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AB∥DC,CD=AB=8.所以∠BAF=∠CEF. 因为∠BAF=90°,所以∠CEF=90°.所以△CEF是直角三角形.因为AD=BC,AD=CF,BC=5,所以CF=5.因为CD=8,E为CD的中点,所以CE=4.在Rt△CEF中,由勾股定理,得EF= = =3
第11题
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12. 如图,点E在 ABCD的内部,点F在 ABCD的外部,连结AE,BE,CE,DE,AF∥BE,DF∥CE.
(1) 求证:△BCE≌△ADF;
解:(1) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC. 所以∠ABC+∠BAD=180°,即∠CBE+∠EBA+∠BAD=180°.因为AF∥BE,所以∠EBA+∠BAF=180°,即∠EBA+∠BAD+∠DAF=180°.所以∠CBE=∠DAF. 同理,可得∠BCE=∠ADF. 在△BCE
第12题
和△ADF中, 所以△BCE≌△ADF
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(2) 设 ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.
解:(2) 因为△BCE≌△ADF,所以S△BCE=S△ADF. 所以S四边形AEDF=S△ADF+S△AED=S△BCE+S△AED= S ABCD. 因为 ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,所以 = =2
第12题
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第4章 平行四边形
4.4 平行四边形的判定定理
第2课时 利用对角线判定平行四边形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
对角线 互相平分 的四边形是平行四边形.
互相平分
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的为（ C ）
A. OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝1.5
B. OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2.5
C. OA＝2，OB＝1.5，OC＝2，OD＝1.5
D. OA＝1.5，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2
C
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2. （2024·杭州萧山期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ D ）
A. AB∥CD，AD∥BC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. OA＝OC，OB＝OD
D. AB∥DC，AD＝BC
D
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3. 如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB，则四边形ABDC的形状一定是 平行四边形 .
平行四边形
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4. 如图，在直角坐标系中，△ABO与△DEO关于原点O成中心对称，并且点A与点D是对称点，连结BD，AE，则四边形ABDE的形状是 平行四边形 ，AB与DE之间的关系是 AB∥DE，AB＝DE .
平行四边形
AB∥DE，AB＝DE
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5. 如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点，连结AF，AE，BF，BE. 求证：四边形AFBE是平行四边形.
第5题
解：因为AC∥DB，所以∠C＝∠D，∠CAO＝∠DBO. 又因为AO＝BO，所以△AOC≌△BOD. 所以OC＝OD. 因为E，F分别是OC，OD的中点，所以OE＝ OC，OF＝ OD. 所以OE＝OF. 又因为AO＝BO，所以四边形AFBE是平行四边形
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6. （2025·杭州西湖一模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AO，CO的中点，连结EB，BF，FD，DE.
（1） 求证：四边形BFDE是平行四边形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD. 因为E，F分别是AO，CO的中点，所以易得OE＝OF. 所以四边形BFDE是平行四边形
第6题
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（2） 若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长.
解：（2） 因为AB＝2BO＝4，所以BO＝2.因为∠ABD＝90°，所以AO＝ ＝ ＝ 2 .因为E为AO的中点，所以BE＝ AO＝
第6题
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7. （2024·杭州临平期末）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要在对角线BD上找点E，F，分别连结AE，CE，CF，AF，使四边形AECF为平行四边形.现有甲、乙两种方案：甲方案：只需要满足BF＝DE；乙方案：只需要满足AE∥CF. 下列说法正确的是（ C ）
A. 只有甲方案正确
B. 只有乙方案正确
C. 甲、乙两种方案都正确
D. 甲、乙两种方案都不正确
C
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8. （易错题）如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AF，BE相交于点M，EC，DF相交于点N，AF与BE互相平分，EC与DF互相平分，连结EF，则图中共有 6 个平行四边形.
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解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD. 所以∠BAE＝∠DCF. 因为BE⊥AC，DF⊥AC，所以∠AEB＝∠CFD
第9题
9. （教材变式）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连结ED，FB.
（1） 求证：四边形BEDF是平行四边形；
＝90°.在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF. 所以AE＝CF. 所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. 又因为OB＝OD，所以四边形BEDF是平行四边形
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（2） 若BE＝3，EF＝2，求BD的长.
解：（2） 由（1），知OE＝OF＝ EF＝1.因为BE⊥AC，所以∠BEO＝90°.在Rt△BOE中，由勾股定理，得OB＝ ＝ ＝ .因为OB＝OD，所以BD＝OB＋OD＝2OB＝2
第9题
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10. 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（－3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO以每秒2个单位长度的速度运动.连结CP，以CP，CO为邻边构造 PCOD. 在线段OP的延长线上有一动点E，且满足PE＝AO，连结AC，AD，DE，CE.
第10题
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解：（1） 连结CD，交AE于点F. 因为四边形PCOD是平行四边形，所以CF＝DF，OF＝PF. 因为PE＝AO，所以AO＋OF＝PE＋PF，即AF＝EF. 又因为CF＝DF，所以四边形ADEC是平行四边形
第10题
（1） 当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC是平行四边形；
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（2） 当点P运动的时间为 秒时，求四边形ADEC的周长.
解：（2） 因为A（－3，0），B（0，6），所以AO＝3，OB＝6.所以PE＝AO＝3.当点P运动的时间为 秒时，OP＝ ，BC＝2× ＝3.所以OC＝OB－BC＝6－3＝3，OE＝OP＋PE＝ ＋3＝ .在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝ ＝3 .在Rt△COE中，由勾股定理，得CE＝ ＝ .由（1）知，四边形ADEC是平行四边形，所以四边形ADEC的周长为（3 ＋ ）×2＝6 ＋3
第10题
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第4章 平行四边形
4.4 平行四边形的判定定理
第1课时 利用对边关系判定平行四边形
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一组对边平行并且 相等 的四边形是平行四边形.
2. 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形.
相等
相等
1. (2025·杭州期中)如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=180°,添加下列条件后,能使四边形ABCD为平行四边形的是( C )
A. AB=CD B. AD∥BC
C. AD=BC D. ∠C+∠D=180°
C
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2. (新情境·现实生活)小红不慎把家里的一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块.为了能从玻璃店配到一块与原来相同的玻璃,她应该带去玻璃店的两块是( B )
A. ①② B. ②④
C. ②③ D. ①③
B
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3. 如图,以△ABC的顶点A为圆心、BC长为半径画弧,再以顶点C为圆心、AB长为半径画弧,两弧交于点D,连结AD,CD. 若∠B=65°,则∠ADC的度数为 65° .
65°
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4. 如图,在四边形ABFD中,E,C为边BF上的两点.如果∠BAE=∠CDF,AE=DF,∠AEB=∠F,那么图中的平行四边形是 四边形ABCD、四边形AEFD .
四边形ABCD、
四边形AEFD
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5. 如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,连结AD. 求证:四边形ABED是平行四边形.
第5题
解:因为AB∥DE,所以∠B=∠DEF. 因为AC∥DF,所以∠ACB=∠F. 因为BE=CF,所以BE+CE=CF+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, 所以△ABC≌△DEF. 所以AB=DE. 又因为AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形
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6. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,∠ADB=∠CBD=90°,四边形ABCD是平行四边形吗 请说明理由.
第6题
解:四边形ABCD是平行四边形 理由:因为∠ADB=∠CBD=90°,AB=CD,DB=BD,所以△ABD≌△CDB. 所以AD=CB. 又因为AB=CD,所以四边形ABCD是平行四边形.
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7. 如图,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连结DE,EF,BF,则图中的平行四边形共有 ( B )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
B
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8. (易错题)已知四边形ABCD,给出四个条件:① AB∥CD;② AD=BC;③ ∠A=∠C;④ AB=CD. 任选其中的两个条件,能判定四边形ABCD为平行四边形的共有 3 种不同的选择.
9. (易错题)如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动.若点E,F同时出发,设运动时间为ts,则当t的值为 2或6 时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
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10. (教材变式)如图,在 ABCD中,分别以AD,BC为边向 ABCD内作等边三角形ADE和等边三角形BCF,连结BE,DF. 求证:四边形BEDF是平行四边形.
第10题
解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD=AB,AD=CB,∠DAB=∠BCD. 又因为△ADE和△BCF都是等边三角形,所以AD=DE=AE=BF=CF=BC,∠DAE=∠BCF=60°.所以∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE,即∠DCF=∠BAE. 在△DCF和△BAE中, 所以△DCF≌△BAE. 所以DF=BE. 又因为DE=BF,所以四边形BEDF是平行四边形
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11. (2025·杭州期中)如图,在 ABCD中,E是边BC的中点,连结AE并延长,与DC的延长线交于点F,连结BF.
(1) 求证:四边形ABFC是平行四边形;
解:(1) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD. 所以∠ABE=∠FCE. 因为E是边BC的中点,所以BE=CE. 在△ABE和△FCE中, 所以△ABE≌△FCE. 所以AB=FC. 又因为AB∥CF,所以四边形ABFC是平行四边形
第11题
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(2) 若AF平分∠BAD,∠D=60°,AD=12,求 ABCD的面积.
解:(2) 因为AB∥CD,所以∠D+∠BAD=180°.因为∠D=60°,所以∠BAD=120°.因为AF平分∠BAD,所以∠FAD=60°.所以易得△ADF是等边三角形.所以DF=AD=12.因为AB=CF,CD=AB,所以CF=CD. 因为DF=12,所以CD= DF=6.所以AC= =6 .所以 ABCD的面积=CD·AC=6×6 =36
第11题
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12. 如图,BD垂直平分AC,∠BCD=∠ADE,AE⊥AC,连结AB.
(1) 求证:四边形ABDE是平行四边形;
解:(1) 因为BD垂直平分AC,所以AD=CD,AB=BC. 在△ADB和△CDB中, 所以△ADB≌△CDB. 所以∠DAB=∠DCB. 因为∠BCD=∠ADE,所以∠ADE=∠DAB. 所以DE∥AB. 因为AE⊥AC,BD⊥AC,所以AE∥BD. 所以四边形ABDE是平行四边形
第12题
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(2) 若AE=DE=3,AD=4,求AC的长.
解:(2) 因为AE=DE=3,四边形ABDE是平行四边形,所以AB=BD=3.因为BD⊥AC,所以易得AD2-DF2=AB2-BF2.所以42-DF2=32-(3-DF)2,解得DF= .在Rt△ADF中,由勾股定理,得AF= = = .所以AC=2AF=
第12题
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第4章 平行四边形
4.6 反 证 法
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、 基本事实 、 定理 等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫作反证法.
2. 在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相 平行 .
基本事实
定理
平
行
1. (2025·宁波江北期末)用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠C<60°”时,应先假设( D )
A. ∠C=60° B. ∠C>60°
C. ∠C≠60° D. ∠C≥60°
D
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2. 用反证法证明“在直角三角形中,至少有一个锐角不小于45°”时,应先假设( D )
A. 有一个锐角大于45°
B. 每一个锐角都大于45°
C. 有一个锐角小于45°
D. 每一个锐角都小于45°
D
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3. 下列对反证法的理解错误的是( D )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
D
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4. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为下列步骤:① ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与“三角形内角和为180°”矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;② 故一个三角形中不能有两个直角;③ 假设三角形的三个内角(∠A,∠B,∠C)中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.下列步骤顺序正确的是( D )
A. ③②① B. ①③② C. ②③① D. ③①②
D
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5. 命题:多边形中最多有3个锐角.若用反证法证明这个命题,则应先假设 多边形中最少有4个锐角 .
6. (教材变式)用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补.
如图,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求证:∠1+∠2=180°.
多边形
中最少有4个锐角
证明:假设∠1+∠2 ≠ 180°.
因为l1∥l2( 已知 ),
所以∠1 = ∠3( 两直线平行,同位角相等 ).
因为∠1+∠2 ≠ 180°,
所以∠3+∠2≠180°,这与 平角等于180° 矛盾.
所以假设∠1+∠2 ≠ 180°不成立,即∠1+∠2=180°.
≠
已知
=
两直线平行,同位角相等
≠
平角等于180°
≠
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7. (教材变式)用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.
第7题答案
解:如图,假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B. 所以∠PAB=90°,∠PBA=90°.所以 ∠PAB+∠PBA+∠APB>180°.这与“三角形内角和为180°”矛盾,所以假设不成立,即所求证的结论成立
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8. 已知五个正数的和等于1,用反证法证明“这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时,先要假设这五个正数( B )
A. 都大于 B. 都小于
C. 没有一个小于 D. 没有一个大于
B
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9. 用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时,应先假设 四边形的四个内角都是锐角 ,通过推理会得出与 四边形的内角和为360° 矛盾.
10. 用反证法证明:当a<|a|时,a必为负数.
证明:假设a不是负数,那么a是正数或a是 0 .如果a是正数,那么a = |a|,这与 a<|a| 矛盾,所以a不可能是 正数 .如果a是 0 ,那么a = |a|,这与 a<|a| 矛盾,所以a不可能是 0 .综上所述,a不可能是 正数 ,也不可能是 0 .所以a必为负数.
四边形的四个
内角都是锐角
四边形的内角和为360°
0
=
a<|a|
正数
0
=
a<|a|
0
正数
0
1
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11. 阅读下面的材料,并回答问题.
题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A≠45°.求证:AC≠BC.
证明:假设AC=BC. 因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B. 所以AC≠BC. 这与假设矛盾.所以AC≠BC.
上面的证明过程中有没有错误 若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请写出正确的证明过程.
解:有错误 假设AC=BC,则∠A=∠B. 因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°.所以∠A=∠B=45°.这与∠A≠45°矛盾,所以AC=BC不成立.所以AC≠BC
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第12题答案
12. (2025·绍兴嵊州段考)如图,在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,BD,CE相交于点O. 用反证法证明:BD和CE不可能互相平分.
解:如图,连结DE,假设BD和CE互相平分,则四边形BCDE是平行四边形,所以BE∥CD. 因为在△ABC中,点D,E分别在AC,AB上,所以AB不可能平行于AC. 故假设不成立.所以BD和CE不可能互相平分
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第13题答案
13. 如图,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内的一点,且∠APB>∠APC. 求证:PB
解:假设PB≥PC. 如图,把△ABP绕点A按逆时针方向旋转,使点B与点C重合,连结PD,则PB=CD,AP=AD,∠APB=∠ADC. 因为PB≥PC,所以CD≥PC. 所以∠CPD≥∠CDP. 又因为AP=AD,所以∠APD=∠ADP. 所以∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP,即∠APC≥∠ADC. 又因为∠APB=∠ADC,所以∠APC≥∠APB. 这与∠APB>∠APC矛盾.所以PB≥PC不成立.所以PB1
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13(共12张PPT)
第4章 平行四边形
小专题(七) 与平行四边形相关的面积问题
类型一 借助平行四边形的中心对称性计算面积
1. 如图,在 ABCD中,AC,BD为对角线,BC=3,边BC上的高为2,则涂色部分的面积为( A )
A. 3 B. 6 C. 2 D. 4
A
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2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将四边形ABCD分成涂色部分和空白部分.若涂色部分的面积为8cm2,则四边形ABCD的面积为 16 cm2.
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类型二 利用“等底等高的两个三角形面积相等”计算面积
3. 如图,直线a∥b,点A,B,C在直线a上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2.如果△CEF的面积为5,那么△ABD的面积为( C )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
C
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4. 如图,在 ABCD中,P是AB上一点,E,F分别是BC,AD的中点,连结PE,PC,PD,PF. 设 ABCD的面积为m,则S△PCE+S△PDF的值为( A )
A. m B. m C. m D. m
A
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5. 如图,在 ABCD中,E,F分别是边AB,DC上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q. 若 =8, =21,求图中涂色部分的面积.
第5题
解:连结EF. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD. 所以△EFC的边FC上的高与△BCF的边FC上的高相等.所以S△EFC=S△BCF. 所以S△EFC-S△QCF=S△BCF-S△QCF,即S△EQF=S△BQC. 同理,可得S△EPF=S△APD. 因为S△APD=8,S△BQC=21,所以S涂色=S△EPF+S△EQF=S△APD+S△BQC=8+21=29
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类型三 利用“平行四边形的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形,这两个三角形的面积都等于平行四边形面积的一半”和“与平行四边形等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半”计算面积
6. (2025·温州期中)如图,在 ABCD中,E,F分别是边BC,AD上的点,且EF∥AB,连结AC交EF于点G,连结DG,AE. 若 = ,S△DGC=4,则△ABE的面积为( C )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
C
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7. 如图,将 ABCD和 EFGH上下叠放,AD∥EH,AD=EH,连结CE,EG,CE交GH于点O. 若S ABCD=a,S EFGH=b(aA. b-a B. (b-a)
C. a D. b
D
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8. 如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=4,BC=5,P是对角线AC上任意一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC,交AB于点E,PF∥CD,交AD于点F,连结EF交AC于点O,则涂色部分的面积是 5 .
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9. 如图,过 ABCD内任意一点P作EG∥AD,HF∥AB,分别交AB,BC,CD,DA于点E,F,G,H,连结AF,AG,FG. 求证:S ABCD-S四边形AEPH=2S△AFG.
第9题
解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AD∥BC. 又因为EG∥AD,HF∥AB,所以AD∥EG∥BC,AB∥HF∥CD. 所以四边形AEGD,四边形FPGC,四边形ABFH都是平行四边形.所以S△AFG=S ABCD-(S△AGD+S△GFC+S△ABF)=S ABCD- (S AEGD+S FPGC+S ABFH)=S ABCD- (S ABCD+S四边形AEPH)= (S ABCD-S四边形AEPH).所以S ABCD-S四边形AEPH=2S△AFG
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类型四 巧设参数,借助面积公式及面积关系建立方程
10. 如图,四边形ABCD是平行四边形,面积是1,F为DC上一点,E为AB上一点,连结AF,BF,DE,CE,AF交DE于点G,EC交FB于点H. 已知EB=4AE,△BHC的面积是 ,求△ADG的面积.
第10题
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解:设AB的长为a,边AB上的高为h.因为四边形ABCD是平行四边形,所以ah=1,CD=AB=a.因为EB=4AE,所以AE= ,BE= ,h= .设△BEH的边BE上的高为h1,则S△BEH= BE·h1=S△BCE-S△BCH= × × - = .所以h1=2× ÷ = .所以S△CFH= CF·(h-h1)=S△BCF-S△BHC= CF·h- ,即 CF· = CF· - .所以CF= .所以DF=DC-CF= .设△AEG的边AE上的高为h2,则S△ADG=S△ADE-S△AEG= AE·h- AE·h2= × × - × ×h2= - ·h2.又因为S△ADG=S△ADF-S△DFG= DF·h- DF·(h-h2)= DF·h2= × ·h2= ·h2,所以 ·h2= - ·h2,解得h2= .所以S△ADG= ·h2= × = ,即△ADG的面积是
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10(共31张PPT)
第4章 平行四边形
第4章总结提升
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一 多边形的内角和与外角和
1. （2025·嘉兴期中）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列说法正确的是（ D ）
A. 边数一定不变
B. 内角和度数一定不变
C. 对角线条数一定不变
D. 外角和度数一定不变
2. （2024·金华东阳期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 7 .
D
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3. 如图，∠1，∠2是五边形ABCDE的两个外角，则∠A＋∠C＋∠D－∠1－∠2的度数为 180° .
第3题
180°
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考点二 图形的旋转
4. （2025·辽宁）数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ B ）
B
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5. 如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△EDC，则∠B＝∠ EDC ，CE＝ 4 cm，AD＝ 1 cm，DE与AB的位置关系是 垂直 .
EDC
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垂直
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考点三 平行四边形的性质
6. （2024·宁波慈溪期末）如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，交边BC于点E，∠D＝110°，则∠AEC的度数是（ D ）
A. 110° B. 125°
C. 135° D. 145°
D
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7. （2025·杭州期中）如图，将 ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠，使点A落在线段BF上的点A'处，点C落在点E处.若恰有EF⊥EA'，则∠A的度数是 126° .
126°
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8. （2025·杭州期末）如图，在 ABCD中，BC＞AB，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE，AE.
（1） 求证：∠ADE＝∠CDE；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC. 所以∠ADE＝∠CED. 由作法可知，CD＝CE，所以∠CDE＝∠CED. 所以∠ADE＝∠CDE
第8题
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（2） 若AE⊥BC，CE＝5，BE＝3，求ED的长.
解：（2） 因为CE＝5，BE＝3，所以BC＝CE＋BE＝8，CD＝CE＝5.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC＝8，AB＝CD＝5，AD∥BC. 因为AE⊥BC，所以∠AEB＝∠DAE＝90°.所以在Rt△ABE中，AE＝ ＝ ＝4.所以在Rt△AED中，DE＝ ＝ ＝4 ，即ED的长为4
第8题
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考点四 平行四边形的判定
9. （2025·杭州期中）下列四边形中，一定是平行四边形的为（ D ）
D
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10. （2024·金华东阳期末）如图，在 ABCD中，E是边AB的中点，F是边CD上一点，则下列条件中，不能判定四边形AEFD是平行四边形的为（ B ）
A. F为CD的中点 B. AD＝EF
C. ∠D＝∠AEF D. AE＋CF＝AB
B
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11. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
第11题
解：因为AF＝CE，所以AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF. 因为BE⊥AC，DF⊥AC，所以∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中， 所以△ABE≌△CDF. 所以AB＝CD. 因为∠BAC＝∠DCA，所以AB∥CD. 所以四边形ABCD是平行四边形
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考点五 三角形的中位线与反证法
12. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（ B ）
A. 28 B. 14 C. 10 D. 7
B
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13. （2024·浙江）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结BE，DE. 若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 4 .
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14. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”.当用反证法证明这个命题时，第一步应假设 四边形ABCD是平行四边形 .
第14题
四边形ABCD是平行四边
形
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15. 如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是平行四边形，点B在边EF上.若 ABCD和 AEFC的面积分别是S1，S2，则S1与S2的大小关系是（ D ）
A. S1＞S2 B. 2S1＜S2
C. S1＜S2 D. S1＝S2
D
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16. （2024·陕西改编）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝∠B，将△AOB绕点O顺时针旋转45°，得到△A'OB'，图中互相垂直的两条线段所在的直线有（ D ）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
D
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17. 如图，在直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于点D（－1，0）成中心对称.已知点A的坐标为（－3，－2），则点A'的坐标为（ B ）
A. （1，3） B. （1，2）
C. （3，2） D. （2，3）
B
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18. 如图，在四边形纸片ABCD中，∠A＝80°，∠B＝70°，将纸片折叠，使点C，D分别落在边AB上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1＋∠2的度数为（ D ）
A. 40° B. 50° C. 70° D. 60°
D
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19. 将△ABC与 DEFG按如图所示的方式放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上.若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数为 90° .
90°
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20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠DCB＝90°，E，F分别是AD，BC的中点，分别以AB，CD为直径作半圆，这两个半圆的面积和为8π，则EF的长为 4 .
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第21题答案
21. （2025·宁波余姚模拟）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E.
（1） 尺规作图：作CF平分∠BCD，交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1） 如图所示
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（2） 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（2） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD. 因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，所以∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD. 所以∠BAE＝∠DCF. 所以△ABE≌△CDF. 所以AE＝CF，BE＝DF. 又因为AD＝BC，所以AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE. 所以四边形AECF是平行四边形
第21题答案
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22. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA，DC的延长线上，且AG＝CH，连结GE，EH，HF，FG，GH. 求证：GH与EF互相平分.
第22题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AB∥CD. 所以∠GBE＝∠HDF. 因为AG＝CH，所以AB＋AG＝CD＋CH，即BG＝DH. 又因为BE＝DF，所以△GBE≌△HDF. 所以GE＝HF，∠GEB＝∠HFD. 所以180°－∠GEB＝180°－∠HFD，即∠GEF＝∠HFE. 所以GE∥HF. 又因为GE＝HF，所以四边形GEHF是平行四边形.所以GH与EF互相平分
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23. 如图①，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（1） 因为∠BCA＝∠CAD，所以AD∥BC. 在△AOD和△COB中， 所以△AOD≌△COB. 所以AD＝CB. 又因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形
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（2） 如图②，E，F，G分别是OB，OC，AD的中点，连结EF，GE，GF. 若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长.
解：（2） 连结DF. 由（1），得四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝ AC＝8.因为BD＝2AB，所以AB＝OD. 所以OD＝CD. 又因为F是OC的中点，所以OF＝ OC＝4，DF⊥OC. 所以AF＝OA＋OF＝12.因为DF⊥AC，所以∠AFD＝90°.
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在Rt△AFD中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝9.因为在Rt△AFD中，G是AD的中点，所以DG＝GF＝ AD＝7.5.因为E，F分别是OB，OC的中点，所以EF是△OBC的中位线.所以EF＝ BC＝7.5，EF∥BC. 所以EF＝DG，EF∥AD. 所以四边形GEFD是平行四边形.所以GE＝DF＝9.所以△EFG的周长为 GE＋GF＋EF＝9＋7.5＋7.5＝24
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第4章 平行四边形
4.3 图形的旋转
第1课时 旋 转
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基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一般地,在平面内,一个图形变为另一个图形的运动过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按 同一个方向 ,转动 同一个角度 ,这样的图形运动叫作图形的旋转.这个固定的点叫作 旋转中心 .
2. 一般地,图形的旋转有下面的性质:图形经过旋转所得的图形和原图形 全等 .对应点到旋转中心的距离 相等 .任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于 旋转的角度 .
同一个方向
同一个角度
旋转中心
全等
相等
旋转的角度
1. 下列现象中,不属于图形的旋转的是( C )
A. 时针的运动
B. 汽车行驶时车轮的转动
C. 电梯升降运动
D. 电风扇工作时扇叶的转动
C
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2. 如图,△ABC和△DEC都是直角三角形,其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的,则下列说法错误的是( D )
A. 旋转中心是点C
B. 旋转的角度是90°或270°
C. 既可以按逆时针方向旋转,也可以按顺时针方向旋转
D. 旋转中心是点B,旋转角是∠ABC
D
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3. 如图,将三角尺ABC绕顶点A按顺时针方向旋转得到△AB'C',点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'的度数为( B )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
4. (易错题)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O按逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标为 (-5,4) .
B
(-5,4)
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5. 如图所示为△ABC与其外部一点O,画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转120°后得到的△A'B'C'.
解:如图所示
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6. 如图,把一块三角尺ABC绕着30°角的顶点B按顺时针方向旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合.
(1) 三角尺旋转了多少度
解:(1) 三角尺旋转了150°
第6题
(2) 连结CD,判断△CBD的形状(按边分).
解:(2) △CBD是等腰三角形
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(3) 直接写出∠BDC的度数.
解:(3) ∠BDC=15°
第6题
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7. 如图,在△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α(0°<α<55°)得到△ADE,DE交AC于点F. 当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE的度数为( B )
A. 80° B. 85° C. 90° D. 95°
B
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8. (易错题)如图,由两个正方形组合成一个长方形,若将正方形ABCD绕某一点旋转一定的角度与正方形DCFE重合,则这样的旋转中心共有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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9. (易错题)如图,点A的坐标为(3,0),点B在y轴的正半轴上,将线段AB绕点A按顺时针方向旋转120°,得到线段AC. 若点C的坐标为(7,h),则h= .
第9题
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10. (2024·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均在格点上.
(1) 以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求
(2) 求出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
解:(2) 如图,连结BC1,CB1,则以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积为10×8-2× ×2×4-2× ×4×8=40
(3) 在BC上确定一个格点E,使得BC=2BE.
解:(3) 如图,点E即为所求
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11. 如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=4,E是BC的中点,连结AE,将△ABE绕点B旋转(其中点A,E分别与点A1,E1对应),使得点A1落在直线BC上,得△A1BE1,连结AA1,求△AA1E1的面积.
第11题
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解:因为E是BC的中点,所以BE= BC=2.由旋转的性质,可得BE1=BE=2,A1B=AB=6,∠A1BE1=∠ABE=90°.如图①,当△A1BE1为△ABE绕点B顺时针旋转90°所得时,AE1=AB+BE1=8,所以 = AE1·A1B= ×8×6=24.如图②,当△A1BE1为△ABE绕点B逆时针旋转90°所得时,AE1=AB-BE1=4,所以 = AE1·A1B= ×4×6=12.综上所述,△AA1E1的面积为24或12
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第4章 平行四边形
阶段训练（4.1～4.2）
一、 选择题
1. （2025·温州龙港期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛.要求这个花坛的内角和为900°，则这个花坛应设计成（ A ）
A. 七边形 B. 八边形
C. 九边形 D. 十边形
2. 在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B的度数为（ D ）
A. 70° B. 80° C. 120° D. 130°
A
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3. （2024·宁波鄞州期末）在 ABCD中，已知∠A＝5∠D，则∠B的度数是（ B ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 150°
B
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4. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不可以是（ C ）
A. BE＝DF B. BF＝DE
C. AE＝CF D. ∠1＝∠2
C
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5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E. 若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（ B ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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6. （2025·台州路桥期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD，交DC的延长线于点E，连结BE. 若 ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（ C ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
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7. 如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）共有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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二、 填空题
8. （2025·长沙）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E的度数为 205° .
9. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1440°，那么这个多边形的一个外角的度数为 36° .
205°
36°
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10. 如图，在 ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 47° .
47°
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11. 如图，在 ABCD中，AB＝ ，AD＝4，将 ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 3 .
12. （2025·绍兴期中）已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BCD的平分线交边AD于点F，EF＝ AD，则 ABCD的边AB与BC的长的比值为 或 .
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或
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三、 解答题
13. 若一个多边形的内角和的 比一个五边形的外角和多90°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n.根据题意，得 ×180°×（n－2）－360°＝90°，解得n＝12.所以这个多边形的边数是12
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14. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E.
（1） 若∠B＝∠BCD，求∠B的度数；
解：（1） 因为∠A＝100°，∠D＝140°，所以∠B＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝120°.因为∠B＝∠BCD，所以∠B＝60°
第14题
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（2） 若CE∥AD，求∠B的度数.
解：（2） 因为CE∥AD，所以∠DCE＋∠D＝180°.因为∠D＝140°，所以∠DCE＝180°－∠D＝40°.因为CE平分∠BCD，所以∠BCD＝2∠DCE＝80°.所以∠B＝360°－∠A－∠D－∠BCD＝40°
第14题
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15. 如图，在 ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E. 若点E恰好在边AD上，求BE2＋CE2的值.
第15题
解：因为BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，所以∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD＝3，BC＝AD. 所以∠ABC＋∠BCD＝180°.所以∠EBC＋∠ECB＝90°.所以∠BEC＝90°.所以BE2＋CE2＝BC2.因为AD∥BC，所以∠EBC＝∠AEB. 因为BE平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABE. 所以∠AEB＝∠ABE. 所以AB＝AE＝3.同理，可得DE＝DC＝3.所以AD＝DE＋AE＝6.所以BC＝AD＝6.所以BE2＋CE2＝BC2＝36
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16. （2024·浙江模拟）如图，在 ABCD中，DA＝DB，点E，F分别在BA，CB的延长线上，连结DF，EF，∠DFE＝∠C.
（1） 求证：∠BDF＝∠BEF；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠BAD＝∠C. 因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠ABD. 因为∠DFE＝∠C，所以∠DFE＝∠ABD. 又因为∠DFE＋∠BEF＝∠ABD＋∠BDF，所以∠BDF＝∠BEF
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（2） 若∠DFE＝60°，CF＝5，求BE的长.
第16题答案
解：（2） 如图，在DB的延长线上截取BG＝BF，连结FG. 由（1）可知，∠BAD＝∠ABD＝∠C＝∠DFE＝60°.因为四边形ABCD是平行四边形，DA＝DB，所以BC＝DA＝DB. 所以△BCD是等边三角形.所以∠FBG＝∠DBC＝60°.所以△FBG是等边三角形.所以BG＝BF＝FG，∠BFG＝60°＝∠DFE. 所以∠GFD＝∠BFE. 又因为∠BDF＝∠BEF，所以△GFD≌△BFE. 所以DG＝EB. 因为BG＝BF，DB＝BC，所以DG＝CF. 因为CF＝5，所以BE＝DG＝CF＝5
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17. 如图，在 ABCD中，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O.
（1） 若BD＝10，AC＝26，求 ；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝26，所以OD＝ BD＝5，OA＝ AC＝13.因为AD＝12，所以AD2＋OD2＝OA2.所以△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°.所以S ABCD＝AD·BD＝120
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第17题答案
（2） 若∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，求 ABCD的周长.
解：（2） 因为∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，所以∠DAO＝180°－∠ADC－∠ACD＝45°.如图，过点D作DH⊥AC于点H. 所以∠AHD＝∠CHD＝90°.因为∠DAH＝45°，所以DH＝AH. 在Rt△DHA中，由勾股定理，得DH2＋AH2＝AD2.所以DH＝AH＝6 .因为∠HCD＝30°，所以易得CD＝2DH＝12 .所以C ABCD＝2×（12＋12 ）＝24＋24
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17(共15张PPT)
第4章 平行四边形
4.5 三角形的中位线
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能力进阶
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思维拓展
目
录
1. 连结三角形两边 中点 的线段叫作三角形的中位线.
2. 三角形的中位线 平行于 第三边,并且等于第三边的 一半 .
中点
平行于
一半
1. (2025·无锡)在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若DE=4,则BC的长为( D )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
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2. (2025·广东)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,且∠A=70°,则∠EDF的度数为( C )
A. 20° B. 40°
C. 70° D. 110°
C
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3. (2025·台州黄岩二模)如图, ABCD的对角线相交于点O,E是AB的中点,连结OE. 若∠AOE=88°,则∠ACB的度数为 88° .
88°
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4. (易错题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB的长为 4 .
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5. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点.若∠PEF=20°,求∠PFE的度数.
第5题
解:因为在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,所以FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线.所以PF= BC,PE= AD. 因为AD=BC,所以PF=PE. 所以∠PFE=∠PEF=20°
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6. (教材变式)如图,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连结CD,DE,EF.
(1) 求证:四边形CDEF是平行四边形;
解:(1) 因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE是△ABC的中位线.所以DE∥BC,DE= BC. 因为CF= BC,所以DE=CF. 又因为DE∥CF,所以四边形CDEF是平行四边形
第6题
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(2) 求四边形BDEF的周长.
解:(2) 因为四边形CDEF是平行四边形,所以DC=EF. 因为D为AB的中点,△ABC为等边三角形,且边长是2,所以BD= AB=1,CD⊥AB,BC=2.所以DE=CF= BC=1.在Rt△BCD中,由勾股定理,得DC= = = .所以EF=DC= .所以四边形BDEF的周长为DE+BD+BC+CF+EF=1+1+2+1+ =5+
第6题
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7. (2025·宿迁)如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是( C )
A. DE∥BC B. ∠B=∠EFC
C. ∠BAF=∠CAF D. OD=OE
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8. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,D,E分别为AC,BC的中点,DE=2,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于点F,则四边形ABFD的面积为 8 .
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9. 如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结GH,GF,EH,EF. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
第9题
解:连结AC. 因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以HG,EF分别是△ACD,△ABC的中位线.所以HG∥AC,HG= AC,EF∥AC,EF= AC. 所以HG∥EF,HG=EF. 所以四边形EFGH是平行四边形
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10. (新考法·探究题)我们知道“连结三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线”“三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半”.类似地,我们把连结梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD的中点,那么EF是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC之间的位置关系和数量关系,并证明你的结论.
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第10题答案
解:EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC) 如图,连结AF并延长,交BC的延长线于点G. 因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=BE,DF=CF. 因为AD∥BC,所以∠DAF=∠G. 在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G,∠DFA=∠CFG,DF=CF,所以△ADF≌△GCF. 所以AF=GF,AD=GC. 又因为AE=BE,所以EF是△ABG的中位线.所以EF∥BG,EF= BG= (GC+BC)= (AD+BC).所以EF∥AD∥BC,EF= (AD+BC)
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第4章 平行四边形
小专题（八） 平行四边形的性质与判定的综合应用
类型一 先判定平行四边形，后运用平行四边形的性质计算
1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，E，F是对角线DB上的两点，且AE∥CF. 若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF的度数为 80° .
80°
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2. （2024·温州三模）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两条弧在∠AOB内交于一点P，连结OP，过点P分别作直线PE∥OA，交OB于点E，直线PF∥OB，交OA于点F. 若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是 6 cm2.
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3. （2024·宁波鄞州期中）如图，△ABC≌△EAD，点E在BC上，连结CD.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形；
解：（1） 因为△ABC≌△EAD，所以BC＝AD，AB＝EA，∠B＝∠DAE. 所以∠B＝∠AEB. 所以∠DAE＝∠AEB. 所以AD∥BC. 所以四边形ABCD是平行四边形
第3题
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（2） 若∠B∶∠CAD＝5∶4，AE⊥ED，求∠EDC的度数.
解：（2） 由（1），知AD∥BC，所以∠CAD＝∠ACB. 因为∠B与∠CAD的度数之比为5∶4，所以∠B与∠ACB的度数之比为5∶4.所以设∠B＝5x，则∠ACB＝4x.因为AE⊥ED，所以∠AED＝90°.因为△ABC≌△EAD，所以∠BAC＝∠AED＝90°.所以∠B＋∠ACB＝90°.所以5x＋4x＝90°.所以x＝10°.所以∠B＝∠DAE＝50°.所以∠ADE＝90°－50°＝40°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ADC＝∠B＝50°.所以∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°
第3题
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4. （2025·温州期中）如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是BO的中点，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF∥AC，连结AF，OF.
（1） 求证：四边形AOBF是平行四边形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO＝OC. 因为E是BO的中点，所以OE＝BE. 因为BF∥AC，所以∠EBF＝∠EOC，∠EFB＝∠OCE. 所以△BEF≌△OEC. 所以BF＝OC. 所以AO＝BF. 又因为BF∥AC，所以四边形AOBF是平行四边形
第4题
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（2） 若AD⊥AC，BC＝2，CD＝2 ，求 AOBF的面积.
解：（2） 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC＝2.又因为AD⊥AC，所以∠ACB＝∠CAD＝90°.因为AD＝2，CD＝2 ，所以AC＝ ＝ ＝6.所以AO＝ AC＝3.所以 AOBF的面积＝OA·BC＝3×2＝6
第4题
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类型二 在平行四边形的基础上判定新的平行四边形
5. 如图，在 ABCD中，M，N分别是边AD，BC上的点，点E，F在对角线BD上，且DM＝BN，DF＝BE，连结ME，EN，NF，FM. 求证：四边形MENF是平行四边形.
第5题
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解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC. 所以∠ADB＝∠CBD. 在△BNE和△DMF中， 所以△BNE≌△DMF. 所以NE＝MF，∠BEN＝∠DFM. 因为∠NEF＝180°－∠BEN，∠MFE＝180°－∠DFM，所以∠NEF＝∠MFE. 所以NE∥MF. 所以四边形MENF是平行四边形
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6. 如图，将 ABCD的边DA，AB，BC，CD分别延长至点E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF，FG，GH，HE. 求证：四边形EFGH为平行四边形.
第6题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，∠BCD＝∠BAD. 因为∠HCG＝180°－∠BCD，∠EAF＝180°－∠BAD，所以∠HCG＝∠EAF. 因为BF＝DH，所以AB＋BF＝CD＋DH，即AF＝CH. 又因为AE＝CG，所以△FAE≌△HCG. 所以EF＝GH. 同理，可得EH＝GF. 所以四边形EFGH为平行四边形
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7. 如图，在 ABCD中，分别延长AB，CD至点E，F，使得BE＝DF，连结EF，分别交AD，BC于点M，N，连结AN，CM.
（1） 求证：△DFM≌△BEN.
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ADC＝∠ABC，AB∥CD. 所以∠MDF＝∠NBE，∠F＝∠E. 在△DFM和△BEN中，
所以△DFM≌△BEN
第7题
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（2） 四边形AMCN是平行四边形吗？请说明理由.
解：（2） 四边形AMCN是平行四边形 理由：因为△DFM≌△BEN，所以DM＝BN. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，AD∥BC. 所以AD－DM＝BC－BN，即AM＝CN. 又因为AM∥CN，所以四边形AMCN是平行四边形.
第7题
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类型三 判定平行四边形后运用性质证明线段之间的关系
8. （2025·嘉兴一模）如图，BD是△ABC的中线，E是线段BD的中点，连结CE并延长至点F，使得EF＝CE，连结FB，FD. 求证：
（1） BF∥CD；
解：（1） 因为E是线段BD的中点，即BE＝DE，EF＝CE，所以四边形BCDF为平行四边形.所以BF∥CD
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（2） AB与FD互相平分.
第8题答案
解：（2） 如图，连结AF. 因为BD是△ABC的中线，所以AD＝CD. 因为四边形BCDF为平行四边形，所以BF∥CD，BF＝CD. 所以BF＝AD，BF∥AD. 所以四边形ADBF为平行四边形.所以AB与FD互相平分
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第9题答案
9. 如图，在 ABCD中，AB＞AD，∠DAB与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC与∠BCD的平分线交于点F，连结EF. 求证：EF＝AB－BC.
解：如图，延长DE交AB于点M，延长BF交CD于点N. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC，AB＝CD，CD∥AB. 所以∠CDM＝∠AME. 又因为DE平分∠ADC，所以∠ADM＝∠CDM. 所以∠ADM＝∠AME.
所以AD＝AM. 同理，可得CB＝CN. 所以AM＝CN. 所以AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN. 又因为BM∥DN，所以四边形DMBN是平行四边形.所以DM∥NB，DM＝NB. 因为AE平分∠DAB，AM＝AD，所以E是DM的中点.所以EM＝ DM. 同理，可得BF＝ BN. 所以EM＝BF. 又因为EM∥BF，所以四边形EFBM是平行四边形.所以EF＝BM. 又因为AD＝BC＝CN＝AM，所以BM＝AB－AM＝AB－BC. 所以EF＝AB－BC
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9(共18张PPT)
第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第2课时 夹在两条平行线间的平行线段及平行线之间的
距离
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 一般地，平行线有下面的性质定理：夹在两条平行线间的平行线段 相等 .根据这个性质定理有以下推论：夹在两条平行线间的垂线段 相等 .
2. 两条平行线中，一条直线上任意一点到 另一条直线 的距离，叫作这两条平行线之间的距离.
相等
相等
另一条直线
1. 如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线AF，BC之间的距离的是（ B ）
A. AB B. AD C. CE D. AC
B
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2. 已知直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b，点P在直线a，b之间.若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离（ D ）
A. 等于7 B. 小于7
C. 不小于7 D. 不大于7
3. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，过点P作PE⊥AB于点E. 若PE＝2，则平行线AD，BC之间的距离为（ A ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
A
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4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，BE＝2，CD＝5，则AD，BC之间的距离为 .
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5. 如图，直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AB∶CD＝1∶2.如果△ABC的面积为6，那么△BCD的面积为 12 .
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6. （教材变式）如图，l1∥l2，AB∥CD，BC＝2CF. 若△CEF的面积是5，求四边形ABCD的面积.
第6题
解：因为l1∥l2，BC＝2CF，所以设CF＝x，l1与l2之间的距离为h，则BC＝2x.因为△CEF的面积为5，所以 CF·h＝5，即 xh＝5.所以xh＝10.因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形.所以S四边形ABCD＝BC·h＝2xh＝2×10＝20
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7. （2024·杭州萧山期中）如图，A，P是直线m上的任意两个点，B，C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，则下列说法正确的是（ D ）
A. AC＝BP
B. △ABC的周长等于△BCP的周长
C. △ABC的面积等于△ABP的面积
D. △ABC的面积等于△PBC的面积
D
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8. 如图，将两张宽度都为3cm的长方形纸片交叉叠放在一起，重叠部分为 ABCD. 若∠ABC＝60°，则 ABCD的面积为（ A ）
A. 6 cm2 B. 3 cm2
C. cm2 D. 9cm2
A
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9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在直线CD上，点E在直线AB上，连结FA，FB，EC，ED，那么图中一定与△ABF面积相等的三角形是 △CDE .
△CDE
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10. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥DC，交DC的延长线于点F. 若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD的长为 6 ；AB与CD间的距离为 5 ；AD与BC间的距离为 3 ；∠D的度数为 30° .
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30°
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11. 小颖对小明说：“你给我任意一个四边形ABCD（如图），我都可以画出一个与你给的四边形面积相等的三角形.方法为连结BD，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连结DE，则S△AED＝S四边形ABCD. ”小颖说的有道理吗？为什么？
第11题
解：有道理 因为CE∥BD，所以S△BDC＝S△BDE. 因为S△AED＝S△ABD＋S△BDE，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC，所以S△AED＝S四边形ABCD
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12. （2025·温州龙港期中）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，∠C＝4∠BAE.
（1） 求∠B的度数；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD. 所以∠B＋∠C＝180°.因为AE⊥BC，所以∠B＝90°－∠BAE. 因为∠C＝4∠BAE，所以∠B＋∠C＝90°－∠BAE＋4∠BAE＝180°.所以∠BAE＝30°.所以∠B＝90°－∠BAE＝60°
第12题
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（2） 若CE＝3BE，AB＝6，求AB，CD之间的距离.
解：（2） 设AB，CD之间的距离为d.因为在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，AB＝6，所以易得BE＝ AB＝3，则AE＝ ＝3 .因为CE＝3BE，所以BC＝CE＋BE＝4BE＝12.因为S ABCD＝AE·BC＝36 ＝AB·d，所以d＝6 ，即AB，CD之间的距离为6
第12题
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13. 如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，连结DE并延长，与AB的延长线交于点F，连结AC，CF. 求证：
（1） △ABE是等边三角形；
解：（1） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC. 所以∠EAD＝∠AEB. 因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠EAD. 所以∠BAE＝∠AEB. 所以AB＝BE. 又因为AB＝AE，所以AB＝BE＝AE. 所以△ABE是等边三角形
第13题
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13
（2） △ABC≌△EAD；
解：（2） 因为△ABE是等边三角形，所以∠ABE＝∠BAE＝∠EAD＝60°.因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC＝AD. 又因为∠ABC＝∠EAD，AB＝EA，所以△ABC≌△EAD
第13题
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13
（3） S△ABE＝S△CEF.
解：（3） 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD. 所以△ABC与△FCD等底等高.所以S△ABC＝S△FCD. 又因为AD∥BC，所以△AEC与△DEC同底等高.所以S△AEC＝S△DEC. 所以S△ABC－S△AEC＝S△FCD－S△DEC，即S△ABE＝S△CEF
第13题
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13(共16张PPT)
第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第3课时 平行四边形对角线的性质
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
平行四边形有如下性质:平行四边形的对角线 互相平分 .
互相平分
1. (2025·台州临海期中)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=4,BD=6,则AB的长可能是( B )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
B
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2. (2025·杭州余杭期中)如图,在 ABCD中,下列结论一定成立的是( B )
A. AD=BD B. OA=OC
C. AB⊥BD D. ∠BAC=∠DAC
3. (教材变式)(2024·宁波期末)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC. 若AB=8,BD=20,则AC的长是( C )
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
B
C
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4. (整体思想)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD,交AD于点E,连结BE. 若 ABCD的周长为28,则△ABE的周长为( D )
A. 28 B. 24 C. 21 D. 14
D
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5. 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O. 若AC=2AB,∠BAO=94°,则∠AOD的度数为 137° .
137°
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12
6. 如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OC,OA的中点,连结BE,DF. 求证:BE=DF.
第6题
解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD. 因为E,F分别是OC,OA的中点,所以OE= OC,OF= OA. 所以OE=OF. 在△OBE和△ODF中, 所以△OBE≌△ODF. 所以BE=DF
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7. (教材变式)(2025·舟山期中)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AD,BC于点E,F.
(1) 求证:OE=OF;
解:(1) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,AD∥CB. 所以∠FCO=∠EAO,∠CFO=∠AEO. 在△AOE和△COF中, 所以△AOE≌△COF. 所以OE=OF
第7题
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(2) 若AB=5,BC=8,OE=3,求四边形ABFE的周长.
解:(2) 因为△AOE≌△COF,所以OE=OF=3,AE=CF. 所以四边形ABFE的周长=AE+BF+AB+EF=CF+BF+AB+2OE=BC+AB+2OE=8+5+2×3=19
第7题
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12
8. (2025·浙江模拟)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC. 若BD=8,AO=2,则AB的长为( B )
A. B. 2 C. D. 2
B
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9. 如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE⊥AD于点E,AB=2 ,AC=4,BD=8,则CE的长为( C )
A. B. C. D.
C
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12
10. (易错题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D在边AC上,在以AB为对角线的 ADBN中,M是对角线AB,DN的交点,则DN长的最小值为 3 .
第10题
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11. 如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在CA,AC的延长线上,且AF=CE,连结BE,DF. 求证:BE=DF,BE∥DF.
第11题
解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD. 因为AF=CE,所以AF-OA=CE-OC,即OF=OE. 在△BEO和△DFO中, 所以△BEO≌△DFO. 所以BE=DF,∠E=∠F. 所以BE∥DF
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12. 如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连结DE.
(1) 求证:DE⊥BE;
解:(1) 因为四边形ABCD是平行四边形,所以OB=OD. 因为OB=OE,所以OE=OD. 所以∠OED=∠ODE. 因为OB=OE,所以∠OBE=∠OEB. 因为∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,所以∠OEB+∠OED=90°,即∠BED=90°.所以DE⊥BE
第12题
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12
(2) 设CD与OE交于点F,若OF2+FD2=OE2,CE=3,DE=4,求CF的长.
解:(2) 由(1)知,OE=OD. 因为OF2+FD2=OE2,所以OF2+FD2=OD2.所以△OFD为直角三角形,且∠OFD=90°.在Rt△CED中,由勾股定理,得CD= = =5.因为S△CED= CD·EF= CE·DE,所以EF= = = .在Rt△CEF中,由勾股定理,得CF= = =
第12题
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12(共15张PPT)
第4章 平行四边形
阶段训练（4.3～4.5）
一、 选择题
1. （2025·青岛）围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的为（ D ）
D
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14
2. 下列说法中，正确的是（ C ）
A. 旋转改变图形的形状和大小
B. 在旋转过程中，图形的每个点移动的距离相等
C. 经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等
D. 经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等
C
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3. （2025·绍兴诸暨期末）如图，△ABC的面积为20cm2，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，则△DEF的面积是（ B ）
A. 10cm2 B. 5cm2
C. 15cm2 D. 20cm2
第3题
B
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4. 如图，E是 ABCD的边AD的延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE交CD于点F. 添加下列条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ C ）
A. ∠ABD＝∠DCE B. DF＝CF
C. ∠AEB＝∠BCD D. ∠AEC＝∠CBD
C
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14
5. 如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且∠AFD＝∠CEB，连结DE，BF. 有下列结论：① BE＝DF；② BE∥DF；③ AB＝DE；④ 四边形EBFD为平行四边形；⑤ S△ADE＝S△ABE；⑥ AF＝CE. 其中，正确的是（ D ）
A. ①⑥ B. ①②④⑥
C. ①②③④ D. ①②④⑤⑥
D
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二、 填空题
6. 在直角坐标系中， ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（－1，－3），则顶点C的坐标是 （1，3） .
7. 如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α°（0＜α＜180）后得到△COD. 若∠AOD＝120°，则α＝ 30或150 .
（1，3）
30或150
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8. 在直角坐标系中，点A（0，0），B（2，2），C（3，0）.若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （5，2）或（－1，2）或（1，－2） .
9. （2025·温州龙湾期中）如图，在△ABC中，AB＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点，EF＝2，连结AF，BF. 如果∠AFB＝90°，那么线段BC的长为 12 .
（5，2）或（－1，2）或
（1，－2）
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10. 如图，在 ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在边AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以4cm/s的速度从点C出发，在点C，B之间往返运动.点P，Q同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为ts.若5＜t＜10，则当t＝ 或8 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
第10题
或8
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14
三、 解答题
11. 如图，在△ABC中，D是边AB的中点，AC＝4，BC＝6.
第11题答案
（1） 作与△BCD关于点D成中心对称的图形；
解：（1） 如图，△ADE即为所求作
（2） 求线段CD长的取值范围.
解：（2） 由（1），知△ADE≌△BDC. 所以DE＝DC，AE＝BC. 所以AE－AC＜2CD＜AE＋AC，即BC－AC＜2CD＜BC＋AC. 所以2＜2CD＜10，解得1＜CD＜5
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12. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，连结BE，DF，AM⊥BE，CN⊥DF，垂足分别为M，N，且AM＝CN. 求证：四边形BEDF是平行四边形.
第12题
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC. 所以DE∥BF. 因为AM⊥BE，CN⊥DF，所以∠AMB＝∠CND＝90°.在Rt△ABM和Rt△CDN中， 所以Rt△ABM≌Rt△CDN. 所以∠ABM＝∠CDN. 所以∠ABC－∠ABM＝∠ADC－∠CDN，即∠EBF＝∠EDF. 因为AD∥BC，所以∠DEB＋∠EBF＝180°.所以∠DEB＋∠EDF＝180°.所以BE∥DF. 又因为DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形
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13. （2024·温州模拟）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.
（1） 求证：CG＝EG；
解：（1） 如图，连结ED. 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.因为E是AB的中点，所以ED＝AE＝ AB. 因为CD＝AE，所以ED＝DC. 又因为DG⊥CE，所以CG＝GE
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（2） 若AB＝10，AD＝6，求CE的长.
解：（2） 如图，过点E作EF⊥BC于点F. 由（1）可知，AE＝DE＝DC＝ AB. 因为AB＝10，所以DC＝DE＝AE＝5.因为EF⊥BC，AD⊥BC，所以EF∥AD. 又因为E是AB的中点，所以易证EF是△ABD的中位线.所以EF＝ AD＝3.所以FD＝ ＝ ＝4.所以FC＝FD＋DC＝4＋5＝9.在Rt△EFC中，EC＝ ＝ ＝3
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14. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，连结EA，EC，满足∠EAO＝∠DCO.
（1） 求证：四边形AECD是平行四边形；
解：（1） 在△AOE和△COD中， 所以△AOE≌△COD. 所以OE＝OD. 又因为AO＝CO，所以四边形AECD是平行四边形
第14题
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（2） 若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积.
解：（2） 因为AB＝BC，AO＝CO，所以OB⊥AC，即DE⊥AC. 因为四边形AECD是平行四边形，AC＝8，所以CO＝ AC＝4，DE＝2OD. 在Rt△COD中，由勾股定理，得OD＝ ＝ ＝3.所以DE＝2OD＝6.所以S四边形AECD＝S△ACE＋S△ACD＝ AC·OE＋ AC·OD＝ AC·DE＝ ×8×6＝24
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