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二次根式 单元综合模拟汇编卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D． 与2
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列选项中的计算，正确的是（ ）
A． =±4 B．3 - =3 C． =-5 D．
6．计算 × + × 的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
7．下列计算正确的是（ ）
A．=2 B． C．-= D．=-3
8．估计 （ ）的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．在，，，，中，最简二次根式的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知 =1﹣2a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． -1的最小值是 .
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为4、5、6，则的面积是 ．
13．计算：1+（﹣）+|﹣|＝ ．
14．计算( － )× ＋2 的结果是 .
15．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
16． 若 则
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
18．如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
19．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ， ，
② ， ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ，②化简： ．
20．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
（1）求从高空抛物到落地的时间；
（2）已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
21．下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；
②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ；
③该运算正确结果应是 ．
22．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，．
（1）如图1，若，求点的坐标．
（2）如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：．
（3）在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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二次根式 单元综合模拟汇编卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
2． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】
A：，原选项错误，不合题意；
B：正确，符合题意；
C：不能合并，原选项错误，不合题意；
D：不能合并，原选项错误，不合题意；
故答案为B
【分析】本题考查二次根式的加减乘除法则，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键。
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D． 与2
【答案】A
【解析】【解答】解：A、化简结果是-2与2，互为相反数，符合题意；
B、化简结果是-2与-2，不互为相反数，不符合题意；
C、-2的相反数应该是2，不互为相反数，不符合题意；
D、化简结果2与2，不互为相反数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，再对每个选项一一计算判断求解即可。
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据二次根式的混合运算结合题意对选项逐一分析即可求解。
5．下列选项中的计算，正确的是（ ）
A． =±4 B．3 - =3 C． =-5 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 3 - =2 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】运用二次根式的性质对选项逐一化简即可.
6．计算 × + × 的结果估计在（ ）
A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间
【答案】A
【解析】【解答】解：原式= + = +4，
∵4＜8＜9，
∴2＜ ＜3，
∴6＜ +4＜7．
故选A．
【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式= +4，由于4＜8＜9，则2＜ ＜3，于是有6＜ +4＜7．
7．下列计算正确的是（ ）
A．=2 B． C．-= D．=-3
【答案】B
【解析】【解答】解：A、=2，故A错误；
B、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故B正确；
C、﹣=2﹣，故C错误；
D、=|﹣3|=3，故D错误．
故选：B．
【分析】根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算．
二次根式的加减，实质是合并同类二次根式；二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除．
8．估计 （ ）的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解析】【解答】解：原式＝2 ﹣5
∵9＜15＜16
∴3.5＜ ＜4
∴7＜2 ＜8
∴2＜2 ﹣5＜3
故答案为：B.
【分析】原式化简后，估算即可得到结果.
9．在，，，，中，最简二次根式的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】，不是最简二次根式；
的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；
、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式；
它不是最简二次根式；
综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个，
故选：B.
【分析】根据二次根式的定义“二被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”解答即可．
10．已知 =1﹣2a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ =1﹣2a，
∴2a﹣1≤0，解得a≤ ．
故选D．
【分析】根据二次函数的性质列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． -1的最小值是 .
【答案】0
【解析】【解答】解： -1
= -1
∵ 最小值为：1，
∴ -1的最小值是0.
故答案为：0.
【分析】先将 化简为 就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
12．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则该三角形的面积为．已知的三边长a、b、c分别为4、5、6，则的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】直接代入 a、b、c 的值，化简即可.
13．计算：1+（﹣）+|﹣|＝ ．
【答案】1
【解析】【解答】解： 1+（﹣）+|﹣| = 1+（﹣）-（﹣）=1.
故答案为：1.
【分析】根据一个负数的绝度值等于其相反数化简绝对值，然后进行加减计算即可.
14．计算( － )× ＋2 的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：( － )× ＋2 = ＋2 =
【分析】先根据单项式乘以多项式的法则去括号，再按照二次根式的乘法法则花间，最后合并同类二次根式即可.
15．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解： 、 为实数，且满足 ，
， ，
则 .
故答案为： .
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a、b的值，进而得出答案.
16． 若 则
【答案】15
【解析】【解答】解：，
所以，两边平方，得，
则，即，
∴，
∴，
，
∴：
，
故答案为：15．
【分析】先化简a得到，即可得到得 ，整理得．然后将多项式化简代入降次解答即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解： .原式
；
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据二次根式的性质及平方差公式进行计算即可．
（1）解： .
；
（2）解：
18．如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）种植青菜部分的面积为：
答：种植青菜部分的面积为．
【解析】【分析】（1）长方形的周长=2 × （长+宽），二次根式的加法就是先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）长方形的面积=长 × 宽，二次根式的乘法，就是把被开方数相乘。注意：能用乘法公式的要用乘法公式。
19．阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ， ，
② ， ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ，②化简： ．
【答案】（1）；；；
（2）；
【解析】【解答】解：；②×25
故答案为：8；8；15；15；
(2)①②
故答案为：
【分析】(1)利用算术平方根的计算方法解答即可；
(2)利用(1)的结果化简计算.
20．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
（1）求从高空抛物到落地的时间；
（2）已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【答案】（1）解：由题意得：当时，
答：从45m高空抛物到落地时间为3s.
（2）解：正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.
【解析】【分析】
本题考查二次根式再实际物理问题中的应用，正确理解题意代入求值是解题关键.（1）根据高空坠物下落的时间t和高度h近似满足公式（） 将代入计算即可得到答案；
（2）将代入可先求出玩具被抛出时的高度h，又已知高空拋物动能=10×物体质量×高度，代入数据求出该玩具产生的动能，与伤害无防护人体所需的动能比较大小，由此即可得出答案．
（1）解：依题意，当时，
，
（2）解：正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
21．下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；
②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ；
③该运算正确结果应是 ．
【答案】商的算术平方根，等于算术平方根的商或（，）；二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
【解析】【解答】解：①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；或者用符号语言表示为（，）
故答案为：商的算术平方根，等于算术平方根的商或（，）；
②第二步开始出现不符合题意，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
③
．
该运算正确结果应是．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可。
22．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分是5，小数部分，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的整数部分，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
【分析】（1）先根据无理数的大小估值得到：进而即可求解；
（2）根据无理数的大小估值及不等式性质计算得到：，，进而将其代入计算即可.
23．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足：，点在轴的负半轴上，连接，．
（1）如图1，若，求点的坐标．
（2）如图2，点在上，点在上，连接，过点作轴于点，若，求证：．
（3）在（1）的条件下，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度在间往返移动，即先沿方向移动，到达点点后反向移动．设移动的时间为，四边形与的面积分别记为，，是否存在时间，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
。
（2）证明：轴，
轴，
，
，
，
，
。
（3）解：存在．
理由：由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，
故当，，，由，
解得；
当，，，由，
解得，舍弃；
当，，，由，
解得，符合题意；
当，，，
解得，舍弃；
当，的最大值为17.5，的最小值为35，不存在．
综上，或时，使．
【解析】【分析】（1）根据绝对值和平方根的性质，分别令2a-b-6=0和a+2b-13=0，求出a和b的值，进而求出A和B的坐标，然后再根据 ，即可求出OC的长，进而即可确定C的坐标
（2）先根据轴 ，根据同位角相等，可得；再根据，再根据 ，即可证明，最后再根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，即可证明
（3）根据题意，可得，秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，然后再分五种情形：当，当，当，当，当，分别求解即可．
（1）解：，
，
解得，
，，
，
，
，
；
（2）证明：轴，
轴，
，
，
，
，
；
（3）解：存在．
理由：由题意秒点到达点，当时点达点，秒点到达点秒点再次到达点，
故当，，，由，
解得；
当，，，由，
解得，舍弃；
当，，，由，
解得，符合题意；
当，，，
解得，舍弃；
当，的最大值为17.5，的最小值为35，不存在．
综上，或时，使．
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