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第3章 投影与三视图 单元综合能力突破卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列哪个图形经过折叠能围成一个符合条件的正方体（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，则从上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各图不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
8．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，线段AB和CD是正方体表面两正方形的对角线，将此正方体沿部分棱剪开，展成一个平面图形后，AB和CD可能出现下列关系中的哪几种？ 、B、C、D四点在同一直线上 正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是 ．
12． 如图，正方形ABCD 的边长为1，以直线 AB 为轴将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的周长是 .
13．如图，圆锥的底面半径r为6，高h为8，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
14．若圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是 。
15．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为 ．
16．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，是一个食品包装盒的表面展开图．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称： ；
（2）根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积．
18．如图是一个几何体的三视图．
判断这个几何体的形状；
根据图中数据单位：，求它的表面积和体积．
19．小王的身高是，在太阳光线下，他的影长是.
（1）小明的身高是，求同一时刻小明的影长(精确到).
（2）同一时刻旗杆的影长是，求旗杆的高.
20．用大小相同的小正方体搭一个几何 体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题(x，y，z均为非零整数).
（1）x，z各表示多少
（2）y可能是多少 这个几何体最少由几个小正方体搭成 最多呢
21．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积．
22．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
23．如图，已知扇形 的圆心角为120 ，半径为6cm.
（1）请用尺规作出扇形的对称轴；(不写做法，保留作图痕迹)
（2）求扇形 的面积；
（3）若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝)，求圆锥的底面圆面积.
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第3章 投影与三视图 单元综合能力突破卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某物体如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵该物体是由正方体和圆柱体构成，
∴从上往下看是圆形里面有个正方形.
故答案为：C.
【分析】根据几何体的俯视图（从上往下看）定义即可求出答案.
2．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形
∴只有A符合题意
故答案为：A
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，即可得到正确答案。
3．下列哪个图形经过折叠能围成一个符合条件的正方体（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、折叠后有圆的图形与有阴影的图形不能紧挨，故A错误；
B、折叠后符合图形，故B正确；
C、折叠后有带直线的图形应该露出来，故C错误；
D、折叠后有带直线的图形应该露出来，故D错误．
故选：B．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长=2π×2=4πcm，
设圆锥的母线长为R，则： =4π，
解得R=6．
故选A．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
5．如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A不符合题意 ，且两条相邻成直角，故B不符合题意，正视图的斜线方向相反，故C不符合题意，只有D选项符合题意，
故答案为：D
【分析】展开图中三条粗黑线中只有两条同在一列，互相垂直，第三个与其中一个仍垂直.
6．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，则从上面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：从上面看，共分3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
7．下列各图不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、是正方体的展开图，
B、是正方体的展开图，
C、折叠有两个正方形重合，不是正方体的展开图，
D、是正方体的展开图，
故选C．
【分析】根据正方体展开图的常见形式选择．
8．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有2个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为：3+2=5.
故答案为：A.
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有2层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数.
9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．
故选B．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
10．如图，线段AB和CD是正方体表面两正方形的对角线，将此正方体沿部分棱剪开，展成一个平面图形后，AB和CD可能出现下列关系中的哪几种？ 、B、C、D四点在同一直线上 正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由已知可知，AB与CD为相邻面所在，如展开图简要示意，
如图1，若展开图中，不剪AC，如图1，此时两直线所在平面展开图的直线关系为AB∥CD，
如图2，若展开图中，剪开AC，且相邻直线所在平面完全分离，此时所在直线展开图的直线关系为AB∥CD，
如图3、4，若展开图中，剪开AC，但相邻直线所在平面依靠点A或点C连接，此时所在直线展开图的直线关系为AB⊥CD，
故①②成立，③不成立，选A.
故答案为：A.
【分析】利用相邻面情况展开分析，选择适当的角度将所有相邻面的情况分析即可得出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是 ．
【答案】4cm
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=6π，解得r=3，
所以圆锥的高= =4（cm）．
故答案为4cm．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=6π，解得r=3，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
12． 如图，正方形ABCD 的边长为1，以直线 AB 为轴将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的周长是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：正方形绕边AB旋转一周，形成圆柱，其中：底面半径r=AB=1（正方形边长）；圆柱的高h=AD=1（正方形边长）．圆柱的主视图是矩形，其长为底面直径2r=2，宽为圆柱的高h=1．所以矩形周长公式为C=2×(长+宽)，代入得：C=2×(2+1)=6.
故答案为：6 .
【分析】先通过“正方形绕边旋转”确定几何体为圆柱；再明确圆柱主视图是矩形，提取矩形的长（底面直径）和宽（圆柱的高）；最后用矩形周长公式计算即可得到结果．
13．如图，圆锥的底面半径r为6，高h为8，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
【答案】216°
【解析】【解答】解：∵ r=6，h=8，
∴母线R==10，
∴弧长=2r=，
即2×6=，
∴n=216°.
故答案为：216°.
【分析】根据题意求得圆锥的母线长，再由圆锥侧面展开图特点和扇形的弧长公式即可求得答案.
14．若圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是 。
【答案】
【解析】【解答】圆锥的底面周长为6π，圆锥的母线长为4，圆锥的侧面展开图是一个扇形，
所以这个扇形的弧长为6π，半径为4，
由弧长的公式l=，将l=6π，r=4代入弧长的公式可求得n=270°，
再由扇形的面积公式S=，将n=270°，r=4代入求得S=12π.
故答案为：12πcm2
【分析】此题主要考查圆锥的计算，由圆锥的侧面展开图为一个扇形可知，圆锥的底面周长即为扇形的弧长，圆锥的母线长即为扇形的半径，通过弧长的公式求出扇形的圆心角度数，再通过扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面展开图的面积。
15．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的侧面积为 ．
【答案】108
【解析】【解答】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为3，高为6，
所以其侧面积为3×6×6=108，
故答案为：108．
【分析】先用三视图得出实物图，然后再根据实物图的形状求出该几何体的侧面积即可。
16．如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要 个小立方块．
【答案】54
【解析】【解答】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，
共有10个正方体，
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，
∴至少还需要64-10=54个小正方体．
【分析】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，即可得出答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，是一个食品包装盒的表面展开图．
（1）请写出这个包装盒的几何体的名称： ；
（2）根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积．
【答案】（1）直三棱柱
（2）解：．
【解析】【解答】（1）解：这个包装盒为直三棱柱；
故答案为：直三棱柱；
【分析】（1）根据常见几何体的三视图即可求出答案.
（2）侧面积为3个长方形的面积之和即可求出答案.
（1）解：这个包装盒为直三棱柱；
故答案为：直三棱柱；
（2）解：．
18．如图是一个几何体的三视图．
判断这个几何体的形状；
根据图中数据单位：，求它的表面积和体积．
【答案】解：（1）由三视图可知：该几何体是圆柱；
（2）圆柱表面积=2×底面积+侧面积=，
圆柱体积=底面积×高
故答案为：该几何体是圆柱；表面积 ；体积
【解析】【分析】（1）根据题中的三视图即可判断求解；
（2）根据圆柱表面积=2×底面积+侧面积计算可求得圆柱体的表面积；根据圆柱体积=底面积×高计算可求得圆柱体的体积．
19．小王的身高是，在太阳光线下，他的影长是.
（1）小明的身高是，求同一时刻小明的影长(精确到).
（2）同一时刻旗杆的影长是，求旗杆的高.
【答案】（1）解：设同一时刻小明的影长为xm，则
．
解得．
答：同一时刻小明的影长约为1.45m；
（2）解：设旗杆高为hm，则
．
解得．
答：旗杆的高为18.64m．
【解析】【分析】（1）设同一时刻小明的影长为xm，同时同地物高与影长成正比，据此列式计算即可得解；
（2）设同一时刻旗杆高为hm，同时同地物高与影长成正比，据此列式计算即可得解．
20．用大小相同的小正方体搭一个几何 体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题(x，y，z均为非零整数).
（1）x，z各表示多少
（2）y可能是多少 这个几何体最少由几个小正方体搭成 最多呢
【答案】（1）解：由题图，可知.x=3，z=1
（2）解：y=1或2.
这个几何体最少由3+2+2+1+1+1+1=11(个)小正方体搭成；最多由3+2+2+2+1+1+1=12(个)小正方体搭成
【解析】【分析】（1）先根据主视图和左视图确定层数，再确定每层可能有多少个小正方体。由视图推测小正方体的个数时，先根据已知视图判断能确定的层数和每层中小正方体的个数；
（2）不能确定小正方体的个数的层，要进行分类讨论，然后计算小正方体的块数即可.
21．如图是一个几何体的三视图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积．
【答案】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
（2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
则展开图扇形的弧长为，
又弧长为，
，
解得
展开图扇形的圆心角度数为；
（3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
展开图扇形的面积为，
底面面积为，
圆锥的全面积为．
【解析】【分析】（1）根据简单几何体的三视图即可求出答案.
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数；
（3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，再根据面积公式可得答案．
22．如图1，一个边长为2cm的立方体按某种方式展开后，恰好能放在一个长方形内．
（1）计算图1长方形的面积；
（2）小明认为把该立方体按某种方式展开后可以放在如图2的长方形内，请你在图2中划出这个立方体的表面展开图；(图2每个小正方形边长为2cm)；
（3）如图3，在长12cm、宽8cm的长方形内已经画出该立方体的一种表面展开图(各个面都用数字“1”表示)，请你在剩下部分再画出2个该立方体的表面展开图，把一个立方体的每一个面标记为“2”，另一个立方体的每一个面标记为“3”．
【答案】（1）立方体的棱长为2cm，图1长方形的面积为4×2×3×2=48平方厘米。
（2）展开图：
（3）
【解析】【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽，利用面积公式可求出结果。
（2）利用正方体和展开图特点进行画图。
（3）利用正方体和展开图的特点进行计算。
23．如图，已知扇形 的圆心角为120 ，半径为6cm.
（1）请用尺规作出扇形的对称轴；(不写做法，保留作图痕迹)
（2）求扇形 的面积；
（3）若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝)，求圆锥的底面圆面积.
【答案】（1）解：如图：
（2）解： ；
（3）解：设圆锥的底面半径为r，
∴6πr=12π，
解得r=2.
∴圆锥的底面圆面积为：4π.
【解析】【分析】（1）根据圆的轴对称性作图；
（2）用扇形面积公式直接求解即可；
（3）先根据圆锥侧面展开图的面积公式S= πRr =12 πr求出圆锥底面圆的半径，再用圆的面积公式求解。
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