浙教版数学八年级下册 4.1 多边形 三阶训练
一、选择题
1．（2023八下·嵊州期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023八下·裕华期末）如图，将四边形纸片剪掉一角得五边形，则所得新图形的外角和与原图形的外角和之间的关系是（ ）
A．增加了 B．增加了 C．没有变化 D．不能判断
3． 如图， 已知 是四边形 内一点， ， 则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·叶集期末）如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·印江期中）如图为长方形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
7．（2024八下·石家庄期末）如图，直线不经过点，，与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映与函数关系的部分图象是( )
A． B．
C． D．
8．（2024八下·沧县期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
9． 如图， 在七边形 中， 的延长线相交于点 ． 若图中 的补角的和为 ， 则 的度数是 .
10．（2024八下·杭州期中）如图，在五边形中，，是五边形内部一点，连结，，若，则的度数为 °．
11．（2024八下·拱墅期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则 ．
12．（2024八下·杭州月考）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有 条对角线.
13．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P= 。
三、解答题
14．（2024八下·新晃期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，
易证明：；
应用上面模型解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求？
分析：图中是“A”型图，于是，所以 ；
（2）如图（3），“七角星”形，求；
（3）如图（4），“八角星”形，可以求得： ；
15．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作 条对角线，它把四边形分为 个三角形；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为 个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为 个三角形；
（3）探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为 个三角形．（用含的式子表示）
（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为 个三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意得n-3=3，
解得n=6.
故答案为：A.
【分析】根据n边形，过其中一个顶点可引（n-3）条对角线，并结合题意列出方程，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的外角和都等于360°，则新图形与原图形的外角和相等；
故答案为：C.
【分析】根据“多边形的外角和都等于360°”进行解答即可.
3．【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°
∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＋∠BOC＝360°-2（∠ABO＋∠OBC）＝220°
∴∠AOC＝360°-220°＝140°，
∵∠OAD＋∠ADC＋∠OCD＋∠AOC＝360°，
∴∠DAO＋∠DCO＝150°．
故答案为：D．
【分析】在四边形ADCO中，求出∠AOC即可解决问题，根据圆心角与圆周角的关系可以求出∠AOC．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出正五边形的内角，然后根据两直线平行，同旁内角互补得到∠ABG的度数，再利用三角形内角和定理解答即可．
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个答案，只有630°不能被180°整除，
∴a+b不可能是630°，
故答案为：C.
【分析】利用多边形内角和定理可得（n-2）×180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180°整除，再逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠1，∠2和∠B，∠C，∠D，∠E所在的六边形的内角和为720°
∵直线不经过点，，与五边形的边，相交，
∴∠B，∠C，∠D，∠E的和不变，∠1+∠2的度数和不变，
∵∠A的度数不变，
∴∠1+∠2=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴y°=180°+x°，
∴x的值增大，y的值不变，
∴符合题意的选项为A
故答案为：A
【分析】根据六边形的内角和为720°，利用已知条件：直线不经过点，，与五边形的边，相交，可得到∠B，∠C，∠D，∠E的和不变，∠1+∠2的度数和不变，根据∠A的度数不变，可得到y°=180°+x°，可知x的值增大，y的值不变，据此可得答案.
8．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，EF+EG＞FG，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是360°，
∴③的说法错误；
∵多边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形ABCDGF的内角和为（6-2）×180°=720°．
∴④的说法正确；
综上可知，说法正确的是②④.
故答案为：D．
【分析】根据两点之间线段最短判断周长的大小，从而判断①错误，②正确，再根据多边形外角性质：多边形的外角和与边数无关都为360°，从而判断③错误，最后根据多边形的内角和公式(n-2)×180°进行计算判断④正确，即可得出答案．
9．【答案】40°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5 2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540° 500°＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，再利用五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，最后求出∠BOD的度数即可．
10．【答案】107
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
可设，，，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：107．
【分析】设，，，，然后利用多边形内角和定理得到，即可求出，再利用三角形的内角和定理解题即可．
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】由多边形的外角与其相邻的内角互补可得∠A=180°- α ，进而根据多边形的内角和为各个内角的度数之和可得该多边形的内角度数为180°- α+β，再根据多边形内角和公式可得该多边形的内角和为(n-2)×180°，根据用两个不同式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程，求解即可.
12．【答案】5
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n-2）×180=360×3，
解得n=8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8-3=5，
故答案为：5．
【分析】设这个多边形有n条边，根据题意结合多边形内角与外角可列方程（n-2）×180=360×3，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
13．【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°
∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD
∴∠PDC+∠PCD=∠EDC+∠BCD=（∠EDC+∠BCD）=120°
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°
故答案为：60°
【分析】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。
14．【答案】（1）180°
（2）解：如图，
由三角形外角的性质可得，
，，，，
∵∠8+∠9+∠11=180°，
∴；
（3）360°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
由三角形外角的性质可得，，，
∵，
∴，
故答案为：180°；
（3）如图，
由三角形外角的性质可得，
，，，，
∵，
∴，
故答案为：360°.
【分析】（1）根据三角形外角的性质，把5个角转化到一个三角形中，根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形外角的性质，把7个角转化到一个三角形中，根据三角形内角和定理求解即可．
（3）根据三角形外角的性质，把8个角转化到一个四边形中，根据多边形内角和定理求解即可。
15．【答案】（1）1；2
（2）3；4
（3）
（4）8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】(1) 解： 如下图：
经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形，
故答案为： 1， 2；
(2)解：拓展延伸：
运用 (1)的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为： 3， 4；
(3) 解： 对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n-2)个三角形，
故答案为：(n-2)；
(4)解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10-2=8个三角形，
故答案为：8.
【分析】(1)根据对角线的定义，可得答案；
(2)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(3)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(4)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答.
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.1 多边形 三阶训练
一、选择题
1．（2023八下·嵊州期中）一个n边形从一个顶点可引3条对角线，则n为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：由题意得n-3=3，
解得n=6.
故答案为：A.
【分析】根据n边形，过其中一个顶点可引（n-3）条对角线，并结合题意列出方程，求解即可.
2．（2023八下·裕华期末）如图，将四边形纸片剪掉一角得五边形，则所得新图形的外角和与原图形的外角和之间的关系是（ ）
A．增加了 B．增加了 C．没有变化 D．不能判断
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：多边形的外角和都等于360°，则新图形与原图形的外角和相等；
故答案为：C.
【分析】根据“多边形的外角和都等于360°”进行解答即可.
3． 如图， 已知 是四边形 内一点， ， 则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，∵OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°
∴∠ABO＝∠BAO，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＋∠BOC＝360°-2（∠ABO＋∠OBC）＝220°
∴∠AOC＝360°-220°＝140°，
∵∠OAD＋∠ADC＋∠OCD＋∠AOC＝360°，
∴∠DAO＋∠DCO＝150°．
故答案为：D．
【分析】在四边形ADCO中，求出∠AOC即可解决问题，根据圆心角与圆周角的关系可以求出∠AOC．
4．（2024八下·叶集期末）如图，直线和分别经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】如图所示，
∵是正五边形，
∴内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出正五边形的内角，然后根据两直线平行，同旁内角互补得到∠ABG的度数，再利用三角形内角和定理解答即可．
5．（2024八下·印江期中）如图为长方形，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】∵一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，分析四个答案，只有630°不能被180°整除，
∴a+b不可能是630°，
故答案为：C.
【分析】利用多边形内角和定理可得（n-2）×180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180°整除，再逐项分析判断即可.
6．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
7．（2024八下·石家庄期末）如图，直线不经过点，，与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映与函数关系的部分图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
∠1，∠2和∠B，∠C，∠D，∠E所在的六边形的内角和为720°
∵直线不经过点，，与五边形的边，相交，
∴∠B，∠C，∠D，∠E的和不变，∠1+∠2的度数和不变，
∵∠A的度数不变，
∴∠1+∠2=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴y°=180°+x°，
∴x的值增大，y的值不变，
∴符合题意的选项为A
故答案为：A
【分析】根据六边形的内角和为720°，利用已知条件：直线不经过点，，与五边形的边，相交，可得到∠B，∠C，∠D，∠E的和不变，∠1+∠2的度数和不变，根据∠A的度数不变，可得到y°=180°+x°，可知x的值增大，y的值不变，据此可得答案.
8．（2024八下·沧县期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，EF+EG＞FG，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是360°，
∴③的说法错误；
∵多边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形ABCDGF的内角和为（6-2）×180°=720°．
∴④的说法正确；
综上可知，说法正确的是②④.
故答案为：D．
【分析】根据两点之间线段最短判断周长的大小，从而判断①错误，②正确，再根据多边形外角性质：多边形的外角和与边数无关都为360°，从而判断③错误，最后根据多边形的内角和公式(n-2)×180°进行计算判断④正确，即可得出答案．
二、填空题
9． 如图， 在七边形 中， 的延长线相交于点 ． 若图中 的补角的和为 ， 则 的度数是 .
【答案】40°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5 2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540° 500°＝40°，
故答案为：40°.
【分析】利用外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，再利用五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，最后求出∠BOD的度数即可．
10．（2024八下·杭州期中）如图，在五边形中，，是五边形内部一点，连结，，若，则的度数为 °．
【答案】107
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
可设，，，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：107．
【分析】设，，，，然后利用多边形内角和定理得到，即可求出，再利用三角形的内角和定理解题即可．
11．（2024八下·拱墅期末）在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】由多边形的外角与其相邻的内角互补可得∠A=180°- α ，进而根据多边形的内角和为各个内角的度数之和可得该多边形的内角度数为180°- α+β，再根据多边形内角和公式可得该多边形的内角和为(n-2)×180°，根据用两个不同式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程，求解即可.
12．（2024八下·杭州月考）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有 条对角线.
【答案】5
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n-2）×180=360×3，
解得n=8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8-3=5，
故答案为：5．
【分析】设这个多边形有n条边，根据题意结合多边形内角与外角可列方程（n-2）×180=360×3，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
13．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P= 。
【答案】60°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠E=300°
∴∠EDC+∠BCD=540°-（∠A+∠B+∠E）=240°
∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD
∴∠PDC+∠PCD=∠EDC+∠BCD=（∠EDC+∠BCD）=120°
∴∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=60°
故答案为：60°
【分析】利用五边形内角和为540°，得出∠EDC+∠BCD=240°，利用角平分线的定义，得出∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，得出∠PDC+∠PCD=120°，再利用三角形内角和为180°，得出结果。
三、解答题
14．（2024八下·新晃期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，
易证明：；
应用上面模型解决问题：
（1）如图（2），“五角星”形，求？
分析：图中是“A”型图，于是，所以 ；
（2）如图（3），“七角星”形，求；
（3）如图（4），“八角星”形，可以求得： ；
【答案】（1）180°
（2）解：如图，
由三角形外角的性质可得，
，，，，
∵∠8+∠9+∠11=180°，
∴；
（3）360°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
由三角形外角的性质可得，，，
∵，
∴，
故答案为：180°；
（3）如图，
由三角形外角的性质可得，
，，，，
∵，
∴，
故答案为：360°.
【分析】（1）根据三角形外角的性质，把5个角转化到一个三角形中，根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据三角形外角的性质，把7个角转化到一个三角形中，根据三角形内角和定理求解即可．
（3）根据三角形外角的性质，把8个角转化到一个四边形中，根据多边形内角和定理求解即可。
15．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作 条对角线，它把四边形分为 个三角形；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为 个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为 个三角形；
（3）探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为 个三角形．（用含的式子表示）
（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为 个三角形．
【答案】（1）1；2
（2）3；4
（3）
（4）8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】(1) 解： 如下图：
经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形，
故答案为： 1， 2；
(2)解：拓展延伸：
运用 (1)的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为： 3， 4；
(3) 解： 对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n-2)个三角形，
故答案为：(n-2)；
(4)解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10-2=8个三角形，
故答案为：8.
【分析】(1)根据对角线的定义，可得答案；
(2)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(3)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(4)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答.
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