中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
3.3离差平方和与方差 课时分层练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．在三次安全知识测试中，八年级的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩的平均分是，方差是，，，，则成绩最理想的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（ ）人，最低分为（ ）分．
A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80
3．已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
4．从甲、乙两队中各随机挑选8人对同一目标射击，甲队8人射中靶数的方差为0.3，乙队8人射中靶数的方差为0.28，则可作出估计（ ）
A．乙队的射击水平高于甲队 B．甲队的射击水平高于乙队
C．乙队的射击水平比甲队稳定 D．甲队的射击水平比乙队稳定
5．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．某校2025年迎新活动中，九年级（1）班5名同学参加投壶游戏体验传统民俗，每人有10支箭进行投壶，投进去的箭数分别为：6，8，5，9，7（单位：支），某同学求得这组数据的平均数为7支，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图是A，B两位同学9次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．甲，乙，丙三名同学参加立定跳远比赛，他们的平均成绩相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______．
8．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________．
9．如果已知一组数据的方差，那么的值为___________．
10．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技员从两块试验田中分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成如下图所示的统计图．
请你根据统计图所提供的数据，计算样本平均数和样本方差，并比较这两种水稻的长势．
11．张先生几年前种植了甲、乙两块樱桃园，各栽种了200棵樱桃树，成活率为，现已挂果．为分析收成情况，他分别从两块樱桃园随机抽取5棵树作为样本，并采摘完样本树上的樱桃，每棵树的产量如图所示．
(1)分别计算甲、乙两块樱桃园样本数据的中位数与平均数；
(2)请根据样本中的平均数分别估算甲、乙两块樱桃园樱桃的产量；
(3)根据样本，通过计算估计哪块樱桃园的樱桃产量比较稳定．
12．某地3月1日至7日每天的最高气温（单位：）依次为：10，8，9，9，10，10，11关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．中位数是9 B．众数是10 C．平均数是9 D．方差是1
13．某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（ ）
A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同
C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩
14．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（ ）
A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12
15．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（ ）
A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6
16．两年前，某校七（1）班学生的平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班学生的年龄的平均数和方差分别为（ ）
A．13岁，改变 B．15岁，不变 C．15岁，改变 D．不变，不变
17．在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ）
A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等
C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为
D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定
18．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________．
19．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是_______，方差_____2027（填“、或”）．
20．为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____．
21．为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级名参赛选手的得分如下（单位：分）：，求这组数据的离差平方和．
22．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表：
靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7
乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10
将成绩绘制成如下折线统计图：
根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题：
(1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）；
(2)求甲运动员成绩的方差；
(3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”）
23．近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
甲公司 6 6
乙公司 4
(1)填空：_____，______；
(2)求出乙公司的平均月收入以及方差；（）
(3)小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
《3.3离差平方和与方差 课时分层练》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 12 13 14 15
答案 B B D C A A B B C D
题号 16 17
答案 B D
1．B
【分析】本题主要考查了数据分析中平均数、方差的意义，平均数是用来描述数据集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越小，波动越小，也越稳定，反之则越不稳定．
由于四位同学的平均分相同，因此成绩的稳定性由方差决定，方差越小表示成绩越稳定，越理想．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵ 平均分相同，方差越小越稳定，
∴乙成绩最理想．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查方差的计算公式，根据题中给的公式可得参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均分为89，据此即可得到答案．
【详解】由题可知参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，
平均分为：89
故这次成绩低于平均分的有3人，最低分为80分．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法．
先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可．
【详解】解：一组数据为2，3，4，5，6，
平均数为，
∴这组数据的离差平方和为，
故选：．
4．C
【分析】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
根据方差的意义即可得正确选项.
【详解】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，
∵
方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙.
故选：C ．
5．A
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差公式是解题关键，根据方差的公式计算即可．
【详解】解：这组数据的方差为：．
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查折线统计图及方差，根据折线统计图可知A同学的成绩比较稳定，然后问题可求解．
【详解】解：由折线图可知：A同学的波动比B同学小，即A同学的成绩比B同学的更为稳定，所以．
故选：A．
7．甲
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，数据越稳定，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
8．
8
【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系．
方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可．
【详解】解：数据个数，离差平方和，
∴方差．
故答案为：8．
9．
【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式．
先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出．
【详解】解：∵一组数据的方差，
∴，
解得：，
故答案为：．
10．，，，甲、乙两种水稻的平均高度相同，但乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些
【分析】本题主要考查平均数和方差，解决问题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义及意义．
先根据平均数和方差的定义求出甲和乙的平均数和方差，再依据方差的意义进行分析．
【详解】解：5.2．
∴甲、乙两种水稻的平均高度相同，但乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些．
11．(1)甲样本的中位数为45，平均数为45；乙样本的中位数为43，平均数为44
(2)甲樱桃园樱桃的产量为，乙樱桃园樱桃的产量为
(3)乙樱桃园的樱桃产量比较稳定
【分析】本题考查了折线统计图、中位数、平均数、方差、用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据中位数和平均数的定义计算即可；
（2）用样本估计总体计算即可；
（3）根据方差的定义计算．
【详解】（1）解：由折线统计图知，甲的数据从小到大排列为40，40，45，46，54；乙的数据从小到大排列为38，42，43，48，49，
∴甲样本的中位数为45，平均数为；
乙样本的中位数为43，平均数为；
（2）解：甲樱桃园樱桃的产量为，
乙樱桃园樱桃的产量为；
（3）解：甲样本的方差为，
乙样本的方差为，
，
∴乙樱桃园的樱桃产量比较稳定．
12．B
【分析】本题主要考查众数，平均数，中位数，方差的概念，属于基础题．
由众数，平均数，中位数，方差的概念求解可得结论．
【详解】解：整理：8，9，9，10，10，10，11，
中位数：10；
众数：10；
平均数：，
方差：；
故选：B．
13．B
【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联．
【详解】解：∵组间离差平方和为，
∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意，
A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误，
C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意，
D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意．
14．C
【分析】此题考查了平均数和方差的求法．
根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为．
【详解】解：∵原数据的平均数，
方差
∴新数据的平均数
新数据的方差
∴新数据的平均数和方差分别为9和9，
故选：C．
15．D
【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可．
【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6，
∴平均数，
将代入方差公式得：
．
故选D．
16．B
【分析】先设出两年前学生的年龄，根据平均数公式计算出今年的平均年龄，再代入方差公式推导计算，对比得出方差的变化情况，进而确定答案．
【详解】解：设两年前名学生的年龄分别为
∵两年前平均年龄，方差.
∴今年学生的平均年龄为(岁
今年学生年龄的方差为.
∴平均年龄为岁，方差不变，故选B.
17．D
【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键．
先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断．
【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误；
选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误；
选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误；
选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确．
故选：．
18．15
【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和．
【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即．
故答案为：15．
19． 2026
【分析】本题主要考查了平均数与方差的计算，根据平均数和方差的定义，先表示出原数据的总和与方差的分子部分，再代入新数据的平均数和方差公式计算，比较大小即可．
【详解】解：∵的平均数是2026，方差是2027，
∴，
，
由此可得
，
则新数据的平均数为：
，
新数据的方差为：
，
∵，
∴，即．
故答案为：2026；．
20．4
【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可．
【详解】解：数据的平均数为 ．
离差平方和为．
故答案为：4．
21．
【分析】本题考查了离差平方和，先求出数据的平均数，再根据离差平方和的定义计算即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵平均数为，
∴离差平方和为．
22．(1)<
(2)1
(3)变小
【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．
（1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论；
（2）根据方差的公式计算即可；
（3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，
又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，
∴，
故答案为：<；
（2）解： ，
∴甲运动员成绩的方差为1；
（3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差 ，
如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为，
∴乙射击成绩的方差将变小．
故答案为：变小．
23．(1)，6
(2)，
(3)选择甲，理由见解析
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．旨在考查学生的数据处理能力．
（1）众数是一组数据中出现次数最多的数值．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．据此即可求解；
（2）根据平均数和方差的求解公式即可求解；
（3）因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．
【详解】（1）解：由扇形统计图和条形统计图可知：
；
（2）解：乙公司平均数：（千元）；
乙公司方差：；
（3）解：建议选择甲．
理由：因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
