(共53张PPT)
课题名称：小结与反思
第三章
初中数学
学习目标
通过自主梳理、合作探究、典型应用，掌握知识整合与实际问题分析的方法，提升数据分析与问题解决能力。
02
系统梳理本章核心统计量，明确其分类、定义、公式与核心作用，能准确计算各类统计量并绘制箱线图。
01
04
通过知识体系构建与实际应用，深化数据分析、数学抽象和数学建模的核心素养。
03
感受统计知识的系统性与应用性，增强用统计知识解决实际问题的意识，激发对数据分析的兴趣。
情境导入
本章思维导图
探究新知
探究一：回顾与反思
数据的平均数、中位数、众数各有什么特点？
平均数：反映数据的平均水平，利用了所有数据的信息，计算简便；但容易受极端值的影响，当数据中存在极大或极小值时，平均数无法准确代表数据的总体集中趋势。
中位数：反映数据的中间水平，将数据从小到大排列后，处于中间位置的数值（或中间两数的平均值）；不受极端值的影响，在数据分布偏斜或存在极端值时，能更稳健地刻画数据的集中趋势。
探究新知
探究一：回顾与反思
数据的平均数、中位数、众数各有什么特点？
众数：反映数据的多数水平，是一组数据中出现次数最多的数值；不受极端值影响，适用于分类数据或重复值较多的数据，能体现数据中最“普遍”的情况。
探究新知
探究一：
2.加权平均数的“权”对于平均数有怎样的影响？
“权”代表数据的重要程度（或占比、权重），它直接决定了各数据对加权平均数的影响力大小：
某数据的权重越大，该数据在平均数计算中所占的比重越大，对最终加权平均数的影响就越大；
算术平均数是加权平均数的特例（当所有数据的权重相等时，加权平均数即为算术平均数）；
“权”的变化会改变平均数的结果，实际问题中（如考试成绩、综合评分）需根据各指标的重要程度合理设定权重。
探究新知
探究一：
3.离差平方和与方差之间有什么关系？方差的作用是什么？
（1）二者关系
离差平方和：，反映一组数据中各数据与平均数的总波动程度，其大小受样本容量 影响（数据越多，总波动易越大）；
方差：，是离差平方和除以样本容量得到的平均数，消除了样本容量对波动程度的影响，使不同样本容量的数据的波动大小可直接比较。
探究新知
探究一：
（2）方差的作用
方差是刻画数据离散程度（波动大小） 的核心统计量：
方差越大，说明数据与平均数的偏离程度越大，数据波动越大、越不稳定；
方差越小，说明数据越集中在平均数附近，数据波动越小、越稳定；
常用于比较两组或多组数据的稳定性（如比赛成绩、产品质量），辅助作出合理决策。
探究新知
探究一：
4.根据哪些数值绘制的统计图叫作箱线图？箱线图能直观反映数据的哪些特征？
（1）箱线图的绘制依据
箱线图是根据数据的五个关键数值绘制的，从下至上依次为：
最小值；
下四分位数（，第25百分位数）；
中位数（，第50百分位数）；
上四分位数（，第75百分位数）；
最大值（若存在异常值，需剔除异常值后标注实际最值，并单独标注异常值）。
探究新知
探究一：
（2）箱线图反映的数据特征
集中趋势：通过中位数的位置，反映数据的中间水平；
离散程度：箱体高度（上四分位数与下四分位数的差）反映中间50%数据的波动范围，箱体越扁，中间数据越集中；整体“须”的长度（最值之差）反映数据的整体取值范围；
分布形态：通过四分位数的位置，判断数据的分布是否对称、偏斜；
异常值：可直观识别偏离整体数据的极端值，发现数据中的特殊情况；
多组数据对比：可快速对比多组数据的集中趋势、离散程度及分布特征，是数据对比分析的高效工具。
探究新知
探究二：典型例题
例题1. 在某次招聘考试中，主办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，且对人才的要求是具有强的“听”力，较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力。根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重应设计为( )
A.3:3:2:2 B.5:2:1:2
C.1:2:2:5 D.2:3:3:2
B
探究新知
探究二：
例题2. 某校举行心理剧大赛，将剧情编排、表演技巧、思想意义三个方面分别按30%，50%，20%的比例计入总分。八年级1班的各项得分如表所示，则该班的最终得分为( )
A.90分 B.89.5分 C.89分 D.88.5分
评分内容 剧情编排 表演技巧 思想意义
得分 90分 85 分 95分
D
探究新知
探究二：
例题3.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分为5 分)，则所打分数的中位数是( )
A.5分 B.4分 C.3分 D.45%
B
探究新知
探究二：
例题4.某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数为：10，10，x，8。如果这组数据的唯一众数和平均数相等，那么 x= ___________。
B
12
例题5.已知 A，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则 A，B 两个班级平均分较高的是______班。
探究新知
探究二：
例题6.某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）：
(1)甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分．
(2)计算乙队的平均成绩和方差．
(3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队．
甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10
乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9
探究新知
探究二：
解析：
(1) 甲队中位数、乙队众数：
甲队成绩排序：7,7,8,9,9,9,10,10,10,10；
中位数=第5、6个数据的平均：（分）；
乙队成绩排序：7,8,8,9,9,9,10,10,10,10；
众数=出现次数最多的数：10（分）。
探究新知
探究二：
(2) 乙队平均成绩和方差：
平均成绩：
方差：
探究新知
探究二：
(3) 成绩整齐程度判断：
方差越小，数据波动越小、越整齐；甲队方差1.4＞乙队方差1，因此成绩较整齐的是乙队。
探究新知
探究三：课堂练习
1.为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ）
A．83分 B．86分 C．88分 D．91分
C
探究新知
探究三：
2.为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差等于乙班视力值的方差
D
课堂练习
3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相等；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大．
上述结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 1.91 135
乙 55 151 1.10 135
A
课堂练习
4.已知一组数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数是2,方差是 ，那么另一组数据 的平均数和方差分别是( )
A.2, B.2,1 C.4, D.4,3
D
课堂练习
5.数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为，那么各数据与之差的平方和为 ．
8
6. 为了解某班学生一周内做家务所用的时间，将其中25名学生的统计结果绘制成如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内做家务时间的中位数是_________．
1h
课堂练习
7. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
，
B. ，
C. ，
D. ，
C
课堂练习
8. 随机调查某市100名普通职工的个人年收入(单位：元)情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c.若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则a一定增大，那么对b与c的判断正确的是 ( )
A. 一定增大，可能增大
B. 可能不变，一定增大
C. 一定不变，一定增大
D. 可能增大，可能不变
B
课堂练习
8. 随机调查某市100名普通职工的个人年收入(单位：元)情况，得到这100人年收入的数据，记这100个数据的平均数为a，中位数为b，方差为c.若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则a一定增大，那么对b与c的判断正确的是 ( )
A. 一定增大，可能增大
B. 可能不变，一定增大
C. 一定不变，一定增大
D. 可能增大，可能不变
B
课堂练习
9. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试， 次跳远的成绩单位：如下：，，，，，，这次成绩的平均数为，方差为如果李刚再跳次，成绩分别为，，则李刚这次跳远成绩的方差 填“变大”“不变”或“变小”
变小
课堂练习
10.在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100 分,90分，80 分，70 分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图．请你根据以下信息，解答下列问题：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班
二班
课堂练习
(1)求表格中a，b的值．
(2)请选择恰当的统计量，评价一班和二班的竞赛成绩哪个班更好．
解答：
（1）计算、的值
一班总人数（人）。
由于两班人数相同，故二班也有25人。
一班总分：
一班平均数：
二班25人，中位数为排序后第13个数据。
课堂练习
二班各等级人数：
A级：（人） B级：（人）
C级：（人） D级：（人）
累计人数：
A级11人 → 累计11
B级1人 → 累计12
C级9人 → 累计21
D级4人 → 累计25
第13个数据落在C级（80分），故 b=80。
结论a=87.6，b=80。
课堂练习
（2）评价两班成绩哪个更好
可从以下三个统计量综合评价：
① 平均数：两班平均数均为87.6分，整体平均水平相同。
② 中位数：一班中位数90分，二班中位数80分。
说明一班成绩的中间水平更高，高分段占比更大。
③ 众数：一班众数90分，二班众数100分。
二班众数更高，说明得100分的人数最多；但一班众数出现次数更多（12人），且中位数领先，综合更优。
综合评价：选择平均数+中位数综合评价：两班平均成绩相同，但一班中位数更高，成绩整体更优。
因此，一班的竞赛成绩更好。
课堂练习
11. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下：
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲组 7 a 6
乙组 b 7 c
课堂练习
(1)以上成绩统计分析表中，a=______，b=______，c=______；
(2)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
课堂练习
解答：（1）计算统计量：
甲组平均数甲，中位数，方差甲；
乙组平均数乙，中位数，方差乙；
课堂练习
（2）小明所属组：甲组中位数为6，7分处于中游偏上；乙组中位数为7，7分为中游，因此小明是甲组学生；
（3）选乙组，理由：甲、乙两组平均数相同，但乙组方差更小，数据波动更小，成绩更稳定。
课堂小结
1.刻画集中趋势的统计量包括算术平均数、加权平均数、中位数、众数，各有适用场景（如无极端值用平均数，有极端值用中位数）。
2.算术平均数公式为，反映数据平均水平，受极端值影响。
3.加权平均数需考虑数据权重，公式为，更贴合实际场景。
知识梳理
课堂小结
4.中位数是数据排序后中间位置的数值（奇偶样本处理不同），众数是出现次数最多的数据，二者均不受极端值影响。
5.刻画离散程度的统计量有离差平方和（总波动）与方差（标准化波动），方差是离差平方和的平均数，公式为。
6.四分位数（下、中、上）将数据等分为四部分，是描述数据分布的关键依据。
知识梳理
课堂小结
7.箱线图基于最小值、四分位数、最大值绘制，可直观呈现数据集中趋势、离散程度、异常值及分布特征。
8.分布式计算通过拆分任务、并行计算、汇总结果，高效处理大数据，兼具降低难度、减少传输、规避风险的优势。
9.数据分组的核心原则是使组内离差平方和最小，统计量选择需结合实际（如比稳定性用方差，多组对比用箱线图）。
知识梳理
课后提升
基础达标：
1.学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的分数分别为96,97,98,96,98,该组数据的标准差为 ( )
A.4 B. C. D
2. 已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk=6xk+5（k=1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）
A．S2=6S1+5 B．S2=6S1 C．S2=S D．S2=S1+5
C
B
课后提升
3. 如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（ ）
A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩
B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩
C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数
D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数
成绩（分） 70 80 90
男生（人） 5 10 7
女生（人） 4 13 4
B
课后提升
4.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下：
（1）请你分别计算这两组数据的平均数；
（2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．
甲 85 88 84 85 83
乙 83 87 84 86 85
课后提升
解析：
1）计算两组数据的平均数
平均数公式：
甲的平均数：
乙的平均数：
（2）选派合适的工人参赛
我们通过方差比较两组数据的稳定性（方差越小，数据波动越小、越稳定）。
课后提升
方差公式：
两组数据平均数相同（均为85分），但乙的方差（）小于甲的方差（），说明乙的成绩更稳定,选派乙工人参加比赛更合适。
课后提升
5.某公司员工月工资：经理10000元，副经理8000元，5名普通员工各3000元。计算平均数、中位数、众数，哪个更能反映员工平均工资？
解答：平均数：（元）；
中位数：排序后数据为3000,3000,3000,3000,3000,8000,10000，中位数=3000（元）；
众数：3000（元，出现5次）；
【总结】平均数易受极端值影响；中位数、众数不受极端值影响，有极端值时，中位数/众数更具代表性。
能力提升：
课后提升
6.某学生平时成绩80分、期中90分、期末95分，权重2:3:5；若权重改为5:3:2，加权平均分如何变化？
解答：
原权重（2:3:5）计算：（分）
新权重（5:3:2）计算：（分）；
变化结论：加权平均分降低了，因为权重越大对结果影响越大，原权重中期末成绩（95分）权重最高，新权重中平时成绩（80分）权重最高，导致分数下降。
课后提升
7.甲组：1,2,3,4,5（离差平方和=10，方差=2）；乙组：1,2,3,4（离差平方和=5，方差=1.25）。乙组离差平方和更大，但方差更小，为什么？
解答：方差的定义是“离差平方和与数据个数的比值”，而非单纯的离差平方和。甲组数据个数甲，乙组乙，虽然乙组离差平方和（5）小于甲组（10），但除以数据个数后，乙组方差（1.25）小于甲组（2），因此方差大小需结合数据个数判断，不能直接比较离差平方和。
答案：因为方差是离差平方和除以数据个数，甲组n=5，乙组n=4，需结合数据个数计算，故乙组方差更小
课后提升
8.某公司10名员工月工资（元）：3000, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000, 6000, 8000, 12000, 15000。
（1）计算平均数、中位数、众数；
（2）分析哪个统计量更能反映员工月工资水平，并说明理由。
解答：
（1）计算统计量：
平均数：（元）；
中位数：排序后第5、6个数据为4500和5000，中位数（元）；
众数：3000（元，出现2次）；
课后提升
（2）统计量选择：中位数更能反映员工月工资水平，理由：平均数受12000元、15000元极端高工资影响，高于多数员工工资；众数仅出现2次，代表性不足；中位数4750元处于数据中间位置，更贴合多数员工的工资区间。
课后提升
9.两组数据：A组，方差；B组（），求B组方差（用表示）。
解析：
设A组平均数为，则B组平均数；
计算B组方差：。答案：
拓展迁移：
课后提升
10.某校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，七（1）班、七（2）班均有5名同学进入复赛，其中七（1）班5名同学的比赛成绩如下（单位：分）：7，9，10，7，8．根据以上信息，解答下列问题：
(1)七（1）班5名同学的比赛成绩的众数是______，中位数是______．
(2)求七（1）班5名同学的比赛成绩的平均数和方差．
(3)已知七（2）班5名同学的比赛成绩的平均数为8.4分，中位数为8分，方差为1.04．请根据统计数据进行分析，说说哪个班进入复赛的同学在比赛中的表现更优秀？
课后提升
解析：（1）众数与中位数：
排序后数据：7,7,8,9,10，众数=7（出现2次），中位数=8（第3个数据）；
（2）平均数与方差：
平均数：（分）；
方差：；
（3）班级表现对比：七（2）班表现更优秀，理由：七（2）班平均成绩（8.4分）高于七（1）班（8.2分），且方差（1.04）小于七（1）班（1.36），说明七（2）班不仅整体成绩更高，且成绩更稳定。
Thanks!
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分课时学案
课题 小结与反思 单元 第三单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.系统梳理本章核心统计量，明确其分类、定义、公式与核心作用，能准确计算各类统计量并绘制箱线图。 2.通过自主梳理、合作探究、典型应用，掌握知识整合与实际问题分析的方法，提升数据分析与问题解决能力。 3.感受统计知识的系统性与应用性，增强用统计知识解决实际问题的意识，激发对数据分析的兴趣。 4.通过知识体系构建与实际应用，深化数据分析、数学抽象和数学建模的核心素养。
重点 系统梳理并掌握各类统计量的意义、计算方法与适用场景，能根据实际问题选择合适的统计量刻画数据特征，形成完整的数据分析知识体系。
难点 理解不同统计量的核心区别与内在关联，能结合实际问题背景灵活选择统计量分析数据并作出合理判断，实现知识的融会贯通与灵活应用。
教学过程
导入新课 【引入思考】 本章学习流程和知识结构如下： 请你写出自己的思维导图：
新知讲解 回顾与反思 刚才我们回顾了旧知识，现在请大家打开课本，阅读“知识梳理”部分，带着以下问题自主探究： 1.数据的平均数、中位数、众数各有什么特点？ 2.加权平均数的“权”对于平均数有怎样的影响？ 3.离差平方和与方差之间有什么关系？方差的作用是什么？ 4.根据哪些数值绘制的统计图叫作箱线图？箱线图能直观反映数据的哪些特征？ 典型例题 例题1.在某次招聘考试中，主办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，且对人才的要求是具有强的“听”力，较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力。根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重应设计为( ) A.3:3:2:2 B.5:2:1:2 C.1:2:2:5 D.2:3:3:2 例题2.某校举行心理剧大赛，将剧情编排、表演技巧、思想意义三个方面分别按30%，50%，20%的比例计入总分。八年级1班的各项得分如表所示，则该班的最终得分为( ) 评分内容剧情编排表演技巧思想意义得分90分85 分95分
A.90分 B.89.5分 C.89分 D.88.5分 例题3.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分为5 分)，则所打分数的中位数是( ) A.5分 B.4分 C.3分 D.45% 例题4.某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数为：10，10，x，8。如果这组数据的唯一众数和平均数相等，那么 x= 。 例题5.已知 A，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则 A，B 两个班级平均分较高的是______班。 例题6.某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲789710109101010乙10879810109109
(1)甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． (2)计算乙队的平均成绩和方差． (3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队．
课堂练习 1.为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ） A．83分 B．86分 C．88分 D．91分 2.为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A．甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数 B．甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数 C．甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差 D．甲班视力值的方差等于乙班视力值的方差 3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表： 班级参加人数中位数方差平均数甲551491.91135乙551511.10135
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相等；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大． 上述结论正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4.已知一组数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数是2,方差是 ，那么另一组数据 的平均数和方差分别是( ) A.2, B.2,1 C.4, D.4,3 6. 为了解某班学生一周内做家务所用的时间，将其中25名学生的统计结果绘制成如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内做家务时间的中位数是 ． 7. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 随机调查某市名普通职工的个人年收入单位：元情况，得到这人年收入的数据，记这个数据的平均数为，中位数为，方差为若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则一定增大，那么对与的判断正确的是( ) A. 一定增大，可能增大 B. 可能不变，一定增大
C. 一定不变，一定增大 D. 可能增大，可能不变 9. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试，次跳远的成绩单位：如下：，，，，，，这次成绩的平均数为，方差为如果李刚再跳次，成绩分别为，，则李刚这次跳远成绩的方差 填“变大”“不变”或“变小” 10.在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图．请你根据以下信息，解答下列问题： 平均数（分）中位数（分）众数（分）一班二班
(1)求表格中的值． (2)请选择恰当的统计量，评价一班和二班的竞赛成绩哪个班更好． 11. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别平均数/分中位数/分众数/分方差甲组7a6乙组b7c
(1)以上成绩统计分析表中，______，______，______； (2)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生； (3)从平均数和方差看，若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？
课后作业 1.学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的分数分别为96,97,98,96,98。该组数据的标准差为 ( ) A.4 B. C. D 2. 已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk=6xk+5（k=1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ） A．S2=6S1+5 B．S2=6S1 C．S2=S D．S2=S1+5 3. 如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（ ） 成绩（分）708090男生（人）5107女生（人）4134
A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩 B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩 C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数 D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数 4.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲8588848583乙8387848685
（1）请你分别计算这两组数据的平均数； （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 5.某公司员工月工资：经理10000元，副经理8000元，5名普通员工各3000元。计算平均数、中位数、众数，哪个更能反映员工平均工资？ 某学生平时成绩80分、期中90分、期末95分，权重2:3:5；若权重改为5:3:2，加权平均分如何变化？ 7.甲组：1,2,3,4,5（离差平方和=10，方差=2）；乙组：1,2,3,4（离差平方和=5，方差=1.25）。乙组离差平方和更大，但方差更小，为什么？ 8.某公司10名员工月工资（元）：3000, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000, 6000, 8000, 12000, 15000。 （1）计算平均数、中位数、众数； （2）分析哪个统计量更能反映员工月工资水平，并说明理由。 9.两组数据：A组，方差；B组（），求B组方差（用表示）。 10.某校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，七（1）班、七（2）班均有5名同学进入复赛，其中七（1）班5名同学的比赛成绩如下（单位：分）：7，9，10，7，8．根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班5名同学的比赛成绩的众数是______，中位数是______． (2)求七（1）班5名同学的比赛成绩的平均数和方差． (3)已知七（2）班5名同学的比赛成绩的平均数为8.4分，中位数为8分，方差为1.04．请根据统计数据进行分析，说说哪个班进入复赛的同学在比赛中的表现更优秀？
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第三章小结与反思 教学设计
学科 数学 年级 八年级下册 课型 新授课 单元 第三单元
课题 小结与反思 课时
课标要求 依据义务教育数学课程标准，本节课要求学生系统理解算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、四分位数的统计意义，能熟练计算各类统计量并绘制箱线图；经历数据收集、整理、分析与应用的完整过程，掌握用样本特征估计总体特征的方法，能根据实际问题灵活选择合适的统计量刻画数据的集中趋势、离散程度与分布情况；感受统计与现实生活、科技的紧密联系，通过知识整合与实际应用，发展数据分析、数学抽象和数学建模的核心素养，提升用统计思维解决问题的能力。
教材分析 从教材编写角度看：本节课作为章节小结与反思，以 “知识梳理 — 核心探究 — 典型应用 — 巩固拓展” 为逻辑主线，通过整合本章分散的统计量知识点，构建完整的数据分析知识体系；教材设计了自主探究、同伴分享、分层练习等多元活动，搭配生活实际（如招聘权重设计、竞赛成绩分析）与大数据背景（如分布式计算）的素材，既强化知识的关联性，又突出统计的应用性，同时通过分层作业兼顾不同层次学生的巩固需求，助力学生深化理解。 从在教材中的地位与作用看：本节课是本章知识的 “收口” 环节，承接前面各小节对单个统计量的具体学习，实现从 “零散知识点” 到 “系统知识体系” 的整合，帮助学生形成对数据分析的整体认知；同时，作为初中统计板块的核心小结内容，它不仅巩固了基础统计知识与技能，还为高中阶段进一步学习复杂统计图表、概率与统计的综合应用等内容奠定坚实的知识与能力基础，是统计知识学习的承上启下关键节点。
学情分析 本节课的授课对象为八年级学生，他们已初步掌握本章各单个统计量的计算方法（如平均数、方差），具备有理数运算、代数式运算等数学技能，且逻辑思维正从具象向抽象过渡，具备一定的自主梳理、合作探究能力，能够参与知识整合与实际问题分析；但学生对不同统计量的适用场景、核心区别（如加权平均数与普通平均数、方差与离差平方和）理解不够深入，在实际问题中难以灵活选择合适的统计量，且对知识的系统化整合能力较弱，容易出现 “重计算、轻应用、缺体系” 的问题，需要通过小结课的引导实现知识的融会贯通。
教学目标 1.系统梳理本章核心统计量，明确其分类、定义、公式与核心作用，能准确计算各类统计量并绘制箱线图。 2.通过自主梳理、合作探究、典型应用，掌握知识整合与实际问题分析的方法，提升数据分析与问题解决能力。 3.感受统计知识的系统性与应用性，增强用统计知识解决实际问题的意识，激发对数据分析的兴趣。 4.通过知识体系构建与实际应用，深化数据分析、数学抽象和数学建模的核心素养。
教学重点 系统梳理并掌握各类统计量的意义、计算方法与适用场景，能根据实际问题选择合适的统计量刻画数据特征，形成完整的数据分析知识体系。
教学难点 理解不同统计量的核心区别与内在关联，能结合实际问题背景灵活选择统计量分析数据并作出合理判断，实现知识的融会贯通与灵活应用。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 本章学习流程和知识结构如下： 呈现本章知识结构，引导学生结合课本“知识梳理”自主思考核心问题 自主阅读课本，独立探究数字特征分类、统计量作用等问题并梳理答案 唤醒旧知，明确学习重点，培养自主研学能力
探究活动一：回顾与反思 1. 数据的平均数、中位数、众数各有什么特点？ 平均数：反映数据的平均水平，利用了所有数据的信息，计算简便；但容易受极端值的影响，当数据中存在极大或极小值时，平均数无法准确代表数据的总体集中趋势。 中位数：反映数据的中间水平，将数据从小到大排列后，处于中间位置的数值（或中间两数的平均值）；不受极端值的影响，在数据分布偏斜或存在极端值时，能更稳健地刻画数据的集中趋势。 众数：反映数据的多数水平，是一组数据中出现次数最多的数值；不受极端值影响，适用于分类数据或重复值较多的数据，能体现数据中最“普遍”的情况。 2. 加权平均数的“权”对于平均数有怎样的影响？ “权”代表数据的重要程度（或占比、权重），它直接决定了各数据对加权平均数的影响力大小： 某数据的权重越大，该数据在平均数计算中所占的比重越大，对最终加权平均数的影响就越大； 算术平均数是加权平均数的特例（当所有数据的权重相等时，加权平均数即为算术平均数）； “权”的变化会改变平均数的结果，实际问题中（如考试成绩、综合评分）需根据各指标的重要程度合理设定权重。 3. 离差平方和与方差之间有什么关系？方差的作用是什么？ （1）二者关系 离差平方和：，反映一组数据中各数据与平均数的总波动程度，其大小受样本容量 影响（数据越多，总波动易越大）； 方差：，是离差平方和除以样本容量得到的平均数，消除了样本容量对波动程度的影响，使不同样本容量的数据的波动大小可直接比较。 （2）方差的作用 方差是刻画数据离散程度（波动大小） 的核心统计量： 方差越大，说明数据与平均数的偏离程度越大，数据波动越大、越不稳定； 方差越小，说明数据越集中在平均数附近，数据波动越小、越稳定； 常用于比较两组或多组数据的稳定性（如比赛成绩、产品质量），辅助作出合理决策。 4. 根据哪些数值绘制的统计图叫作箱线图？箱线图能直观反映数据的哪些特征？ （1）箱线图的绘制依据 箱线图是根据数据的五个关键数值绘制的，从下至上依次为： 最小值； 下四分位数（，第25百分位数）； 中位数（，第50百分位数）； 上四分位数（，第75百分位数）； 最大值（若存在异常值，需剔除异常值后标注实际最值，并单独标注异常值）。 （2）箱线图反映的数据特征 箱线图能直观、清晰地呈现数据的分布特征，核心反映以下信息： 集中趋势：通过中位数的位置，反映数据的中间水平； 离散程度： 箱体高度（上四分位数与下四分位数的差）反映中间50%数据的波动范围，箱体越扁，中间数据越集中； 整体“须”的长度（最值之差）反映数据的整体取值范围； 分布形态：通过四分位数的位置，判断数据的分布是否对称、偏斜； 异常值：可直观识别偏离整体数据的极端值，发现数据中的特殊情况； 多组数据对比：可快速对比多组数据的集中趋势、离散程度及分布特征，是数据对比分析的高效工具。 提出5个核心探究问题，巡视指导学生自主学习，解答个别疑问 围绕问题研读教材，独立完成答案梳理，标记疑难之处 聚焦核心知识，引导学生深度理解数字特征的本质与关联
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二：典型例题 例题1.在某次招聘考试中，主办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，且对人才的要求是具有强的“听”力，较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力。根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重应设计为( ) A.3:3:2:2 B.5:2:1:2 C.1:2:2:5 D.2:3:3:2 答案：B 例题2.某校举行心理剧大赛，将剧情编排、表演技巧、思想意义三个方面分别按30%，50%，20%的比例计入总分。八年级1班的各项得分如表所示，则该班的最终得分为( ) 评分内容剧情编排表演技巧思想意义得分90分85 分95分
A.90分 B.89.5分 C.89分 D.88.5分 答案：D 例题3.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分为5 分)，则所打分数的中位数是( ) A.5分 B.4分 C.3分 D.45% 答案：B 例题4.某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数为：10，10，x，8。如果这组数据的唯一众数和平均数相等，那么 x= 。 答案：12 例题5.已知 A，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则 A，B 两个班级平均分较高的是______班。 答案：B 例题6.某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲789710109101010乙10879810109109
(1)甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． (2)计算乙队的平均成绩和方差． (3)已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 解析： (1) 甲队中位数、乙队众数： 甲队成绩排序：7,7,8,9,9,9,10,10,10,10； 中位数=第5、6个数据的平均：（分）； 乙队成绩排序：7,8,8,9,9,9,10,10,10,10； 众数=出现次数最多的数：10（分）。 (2) 乙队平均成绩和方差： 平均成绩： 方差： (3) 成绩整齐程度判断： 方差越小，数据波动越小、越整齐；甲队方差1.4＞乙队方差1，因此成绩较整齐的是乙队。 组织学生分组交流探究成果，展示典型例题，引导小组合作分析解答 小组内分享自主研学答案，讨论疑难问题，合作完成典型例题解析 通过同伴互助深化知识理解，培养合作探究与问题解决能力
环节三：巩固内化，拓展延伸 课堂练习 1.为庆祝“五一”国际劳动节，某学校举行了劳动技能比赛，经过初赛，小明和另外五名学生进入了决赛，通过实践操作、现场答辩两个环节，评委会根据这六名学生表现，经过认真评判，给出了每个学生的成绩，小明想提前知道自己的成绩，老师告诉了他两条信息：①其他五名学生的成绩（单位：分）分别为83，86，88，91，93；②你的成绩在这六个分数中既是众数，又是中位数，请你思考，小明的成绩是（ ） A．83分 B．86分 C．88分 D．91分 2.为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A．甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数 B．甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数 C．甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差 D．甲班视力值的方差等于乙班视力值的方差 3.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表： 班级参加人数中位数方差平均数甲551491.91135乙551511.10135
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相等；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大． 上述结论正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4.已知一组数据x ,x ,x ,x ,x 的平均数是2,方差是 ，那么另一组数据 的平均数和方差分别是( ) A.2, B.2,1 C.4, D.4,3 5.数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为，那么各数据与之差的平方和为 ． 6. 为了解某班学生一周内做家务所用的时间，将其中25名学生的统计结果绘制成如图所示的条形统计图，则这25名同学一周内做家务时间的中位数是 ． 7. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 随机调查某市名普通职工的个人年收入单位：元情况，得到这人年收入的数据，记这个数据的平均数为，中位数为，方差为若将其中一名职工的个人年收入数据换成世界首富的年收入数据，则一定增大，那么对与的判断正确的是( ) A. 一定增大，可能增大 B. 可能不变，一定增大
C. 一定不变，一定增大 D. 可能增大，可能不变 9. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试，次跳远的成绩单位：如下：，，，，，，这次成绩的平均数为，方差为如果李刚再跳次，成绩分别为，，则李刚这次跳远成绩的方差 填“变大”“不变”或“变小” 10.在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图．请你根据以下信息，解答下列问题： 平均数（分）中位数（分）众数（分）一班二班
(1)求表格中的值． (2)请选择恰当的统计量，评价一班和二班的竞赛成绩哪个班更好． 11. 某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如下： 甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别平均数/分中位数/分众数/分方差甲组7a6乙组b7c
(1)以上成绩统计分析表中，______，______，______； (2)小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生； (3)从平均数和方差看，若要从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 邀请小组展示例题解答过程，点评成果并补充讲解易错点、重难点 展示小组学习成果，倾听教师点评与补充，参与全班互动讨论 集中突破重难点，纠正认知偏差，强化知识应用能力
课堂小结 1.刻画集中趋势的统计量包括算术平均数、加权平均数、中位数、众数，各有适用场景（如无极端值用平均数，有极端值用中位数）。 2.算术平均数公式为，反映数据平均水平，受极端值影响。 3.加权平均数需考虑数据权重，公式为，更贴合实际场景。 4.中位数是数据排序后中间位置的数值（奇偶样本处理不同），众数是出现次数最多的数据，二者均不受极端值影响。 5.刻画离散程度的统计量有离差平方和（总波动）与方差（标准化波动），方差是离差平方和的平均数，公式为。 6.四分位数（下、中、上）将数据等分为四部分，是描述数据分布的关键依据。 7.箱线图基于最小值、四分位数、最大值绘制，可直观呈现数据集中趋势、离散程度、异常值及分布特征。 8.分布式计算通过拆分任务、并行计算、汇总结果，高效处理大数据，兼具降低难度、减少传输、规避风险的优势。 9.数据分组的核心原则是使组内离差平方和最小，统计量选择需结合实际（如比稳定性用方差，多组对比用箱线图）。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书设计 类别统计量核心公式/定义核心作用集中趋势算术平均数反映平均水平，受极端值影响加权平均数考虑权重，贴合实际场景中位数排序后中间位置（奇：中间值；偶：中间两数平均）不受极端值影响，反映中间水平众数出现次数最多的数据体现“多数水平”，适用于分类/重复数据离散程度离差平方和反映总波动程度方差标准化刻画波动，方差越大越不稳定分布情况四分位数（下）、（中位数）、（上）划分数据区间，反映分位水平箱线图绘制依据：最小值→→→→最大值（标注异常值）直观呈现分布、离散、异常值
利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系
作业设计 1.学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的分数分别为96,97,98,96,98。该组数据的标准差为 ( ) A.4 B. C. D 2. 已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk=6xk+5（k=1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ） A．S2=6S1+5 B．S2=6S1 C．S2=S D．S2=S1+5 3. 如表为初三（1）班全部43名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列说法正确的是（ ） 成绩（分）708090男生（人）5107女生（人）4134
A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩 B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩 C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数 D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数 4.某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲8588848583乙8387848685
（1）请你分别计算这两组数据的平均数； （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由． 5.某公司员工月工资：经理10000元，副经理8000元，5名普通员工各3000元。计算平均数、中位数、众数，哪个更能反映员工平均工资？ 6.某学生平时成绩80分、期中90分、期末95分，权重2:3:5；若权重改为5:3:2，加权平均分如何变化？ 7.甲组：1,2,3,4,5（离差平方和=10，方差=2）；乙组：1,2,3,4（离差平方和=5，方差=1.25）。乙组离差平方和更大，但方差更小，为什么？ 8.某公司10名员工月工资（元）：3000, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000, 6000, 8000, 12000, 15000。 （1）计算平均数、中位数、众数； （2）分析哪个统计量更能反映员工月工资水平，并说明理由。 9.两组数据：A组，方差；B组（），求B组方差（用表示）。 10.某校组织开展了主题为“青春齐奋进，携手向未来”的演讲比赛，七（1）班、七（2）班均有5名同学进入复赛，其中七（1）班5名同学的比赛成绩如下（单位：分）：7，9，10，7，8．根据以上信息，解答下列问题： (1)七（1）班5名同学的比赛成绩的众数是______，中位数是______． (2)求七（1）班5名同学的比赛成绩的平均数和方差． (3)已知七（2）班5名同学的比赛成绩的平均数为8.4分，中位数为8分，方差为1.04．请根据统计数据进行分析，说说哪个班进入复赛的同学在比赛中的表现更优秀？
教学反思 本节课作为第三章“数据分析初步”的小结与反思课，核心目标是帮助学生构建完整的知识体系，实现从“零散知识点”到“系统应用”的跨越。从教学实施来看，通过“自主研学—同伴互助—全班展学”的分层活动设计，有效调动了学生的参与积极性，多数学生能够熟练掌握各类统计量的定义、公式及核心作用，也能完成基础统计量计算和箱线图解读任务。结合生活实际案例（如成绩分析、工资水平描述）开展教学，让学生直观感受到统计知识的应用性，较好地落实了数据分析核心素养的培养目标。但教学中也发现，部分学生对“权重”的实际意义、方差与离差平方和的内在关联理解仍不够透彻，在复杂实际问题中灵活选择统计量的能力不足，存在“重计算、轻应用”的现象，这需要在后续练习中进一步强化。
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